2022版新高考数学人教版一轮练习：（58） 最值、范围、证明问题

这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：（58） 最值、范围、证明问题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 [练案58]
第二课时　最值、范围、证明问题
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·广西钦州、崇左质检)抛物线x＝上的点与其焦点的距离的最小值为(　B　)
A．2　　 B．1　　
C．　　 D．
[解析]　由题意，y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故应选B.
2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　D　)
A．5　　 B．＋
C．7＋　　 D．6
[解析]　设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝①，因为＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　C　)
A．9,12　　 B．8,11
C．8,12　　 D．10,12
[解析]　c＝＝4，椭圆的焦点为M′(－4,0)，N′(4,0)，又|PM′|＋|PN′|＝10，∴|PM|＋|PN|的最大值为|PM′|＋|PN′|＋1＋1＝12，最小值为|PM′|＋|PN′|－1－1＝8.故选 C．
4．(2021·四川宜宾模拟)M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线x－y－1＝0的对称圆上的一点，则|MN|的最小值是(　C　)
A．－1　　 B．－1
C．2－1　　 D．
[解析]　N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1，
设圆心为C(1,2)，半径为1，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为C′(3,0)
则|MN|＝|C′M|－|C′N|＝|C′M|－1，C′点坐标(3,0)，
由于M在y2＝4x上，设M的坐标为(x，y)，
∴|C′M|＝＝≥2，
∵圆半径为1，
所以|MN|最小值为：2－1.
故选：C．

5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　C　)
A．2　　 B．　　
C．4　　 D．2
[解析]　∵＝＋＝≥，即1≥，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选 C．
6．(2021·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　B　)
A．　　 B．6　　
C．8　　 D．12
[解析]　设P(x，y)，则·＝x2＋y2＋x＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，·取得最大值6，故选B.
7．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　C　)
A．e>　　 B．e>
C．1 [解析]　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，
所以>1，解得>，
又因为c2＝a2＋b2，所以e＝＝<.
又e>1，∴1 8．(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)已知双曲线－＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是(　D　)
A．　　 B．(，＋∞)
C．(1,3)　　 D．
[解析]　在双曲线－＝1中，当x＝c时，y＝±，取A.因为△ABF是锐角三角形，所以∠AFF1<，则tan∠AFF1＝1，则1 二、多选题
9．(2021·皖西南期末改编)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|＝8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左右焦点，则C的离心率的值可能是(　BCD　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝8|PF2|知|PF2|＝，∴a－c≤≤a＋c，∴e＝≥，即e∈，故选BCD.
10．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是(　AC　)
A．∠CFD＝90°
B．△CMD为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为±
D．△AOB的面积为4
[解析]　不妨设A在第一象限，如图作BH⊥AC于H，

记|BF|＝a，则|AH|＝2a，|AB|＝4a，
∴∠HAB＝60°，∴kAB＝.
(同理当A在第四象限时kAB＝－)，C正确；
又AB：y＝(x－1)，
由得A(3,2)，B，
∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝，D错；
又·＝(2，－2)·＝0，
∴⊥，即∠CFD＝90°，A正确；
又M，
∴·＝·＝≠0，
即与不垂直，B错．故选AC．
三、填空题
11．(2021·甘肃诊断)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是 [10，＋∞) .
[解析]　由题意可知以O为圆心，为半径的圆与直线有公共点，即5≤，∴p≥10.
12．(2021·河南安阳模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为 4 .
[解析]　因为椭圆＋＝1的两焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，离心率为，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝，|PF2|≥，所以＝＝|PF2|＋＋4a＝|PF2|＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．
13．(2021·江苏南通调研)椭圆与双曲线有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＝ 1 ；且3e＋e的最小值为　2　.
[解析]　设椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1，
则由直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，
得＝⇒＝⇒＝⇒＝e，
∴e1e2＝1；
所以3e＋e≥2e1e2＝2，
当且仅当取等号．
四、解答题
14．(2021·河南开封模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1.点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足RQ⊥PF，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程E；
(2)若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求·＋·的最大值．
[解析]　(1)由题意可知R是线段PF的中点，
因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，
即|QP|＝|QF|，又因为PQ⊥l，
即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，
设Q(x，y)，则|x＋1|＝，
化简得y2＝4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2＝4x.
(2)由题可知直线PF的斜率存在且不为0，
设直线PF：y＝k(x－1)，CD：y＝－(x－1)，
则，联立可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝1.
因为向量，方向相反，所以
·＝－||||＝－(x1＋1)(x2＋1)＝－(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－，
同理，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
可得·＝－||·||＝－4k2－4，
所以·＋·＝－4－8，
因为k2＋≥2，当且仅当k2＝1，即k＝±1时取等号，
所以·＋·的最大值为－16.
15．(2021·湖南益阳调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点A.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足＋＝λ，求△MON面积最大时直线l的方程．
[解析]　(1)由题意得，解得，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线MN的斜率显然存在，
设直线MN的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝12(3k2＋1－m2)>0①
所以，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
因为＋＝λ，所以，
解得k＝－，
代入①得－ 所以，S△MON＝
＝
＝＝
＝≤·＝，
当且仅当3m2＝4－3m2，即m＝±时上式取等号，此时符合题意，
所以直线MN的方程为y＝－x±.
B组能力提升
1．(2021·桂林模拟)若点P在椭圆7x2＋4y2＝28上，则点P到直线3x－2y－16＝0的距离的最大值为(　C　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　将椭圆方程7x2＋4y2＝28化为＋＝1.
设椭圆上点P的坐标为P(2cosα，sinα)、则点P到直线3x－2y－16＝0的距离
d＝＝，
∴dmax＝＝.故选 C．
2．(2021·河北联考)如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点A、B，则|AB|的取值范围为(　D　)

A．[2,3]　　 B．[3,4]　　
C．[4,5]　　 D．[5,6]
[解析]　由题意可知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，由得(x－2)2＋8x＝9，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5,6]，故选D.
3．(2021·北京延庆统测)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为4，则C的焦距的最小值为　4　.
[解析]　∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，
∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立，解得，即D(a，b)
联立，解得，即E(a，－b)
∴|ED|＝2b；
∴△ODE面积为：S△ODE＝a×2b＝ab＝4；
∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
∴其焦距为2c＝2≥2＝2＝4；
当且仅当a＝b＝2时，取等号；
∴C的焦距的最小值为4.
4．(2021·山西长治联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2交于点M.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若l1⊥l2，求三角形△MAB面积的最小值．
[解析]　(1)焦点到准线的距离为2，即p＝2，
所以求抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝x2，
所以y′＝x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
l1：y－＝(x－x1)，
l2：y－＝(x－x2)，
由于l1⊥l2，所以·＝－1，即x1x2＝－4，
设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
得所以x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，
x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1，
联立方程得，
即M(2k，－1)，
M点到直线l的距离
d＝＝
|AB|＝＝4(1＋k2)，
所以S＝×4(1＋k2)×＝4(1＋k2)≥4，
当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.
5．(2021·陕西质检)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率是.
(1)求椭圆D的方程；
(2)点E，轨迹D上的点A，B满足＝λ，求实数λ的取值范围．
[解析]　(1)由已知⇒a＝2，b＝1，c＝，
所以D的方程为＋y2＝1.
(2)过E的直线若斜率不存在，则λ＝或3.
设直线斜率k存在，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
又＝λ，
则
由②④解得x1，x2代入③式得
·2＝，
化简得＝，
由(1)Δ≥0解得k2≥代入上式右端得
<≤，解得<λ<3，
综上实数λ的取值范围是.