新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：7.1　基本立体图形、直观图、几何体的表面积和体积

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第七章　空间向量与立体几何
7.1　基本立体图形、直观图、几何体的表面积和体积
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.空间几何体的结构特征

(1)
多
面
体
①棱柱的侧棱都　　　　　　　,上、下底面是　　　　且平行的多边形. 
②棱锥的底面是　　　　　　　,侧面是　　　　　　　　　　　. 
③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是　　　　多边形 
(2)
旋
转
体
①圆柱是以　　　　的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 
②圆锥是以直角三角形的一条　　　　所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 
③圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕上、下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截　　　　得到. 
④球可以由　　　　　　　绕直径所在直线旋转得到 

2.特殊的四棱柱
四棱柱平行六面体直平行
六面体长方体正四棱柱正方体
3.直观图
(1)画法:斜二测画法.
(2)步骤:
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的　　　　. 
4.多面体的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式


圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图



侧面积
公式
S圆柱侧=
　　　 
S圆锥侧=
　　　 
S圆台侧=
　　　 


6.柱、锥、台和球的表面积和体积


表面积
体积
柱体(棱柱和
圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=　　　　　 
锥体(棱锥和
圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=　　　　　 
台体(棱台和
圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=13(S上+S下+S上S下)h
球
S=　　　　　 
V=　　　　　 


1.球的截面的性质
(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=R2-d2.
2.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
3.设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=a2,外接球半径R=32a.
4.设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=a2+b2+c22.
5.设正四面体的棱长为a,则它的高为63a,内切球半径r=612a,外接球半径R=64a.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)
(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(　　)
(4)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.(　　)

2.(2020天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12π B.24π C.36π D.144π
3.

(2020河北衡水中学高三九调)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为(　　)
A.12 cm B.13 cm
C.61 cm D.15 cm
4.(多选)(2020山东蒙阴实验中学高三期末)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧面PCD⊥平面ABCD,BC=23,CD=PC=PD=26.若点M为PC的中点,则下列说法正确的为(　　)
A.BM⊥平面PCD
B.PA∥平面MBD
C.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36π
D.四棱锥M-ABCD的体积为6
5.(2020江苏镇江质检)已知一个圆锥的底面积为π,侧面积为2π,则该圆锥的体积为　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
空间几何体的结构特征

【例1】(1)(多选)下列结论正确的是(　　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点相连的线段都是圆锥的母线
(2)给出下列几个命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;
③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)(2020全国1,理3)

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A.5-14 B.5-12
C.5+14 D.5+12
解题心得辨别空间几何体的两种方法

定义法
紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素,根据定义进行判定
反例法
通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可

对点训练1(1)给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
④存在每个面都是直角三角形的四面体.
其中正确命题的序号是　　　　. 
(2)(2019全国2,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　. 

图1

图2

考点
空间几何体的表面积



【例2】(1)(2020河南周口模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为(　　)
A.4+42
B.4+43
C.12
D.8+42

(2)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,从围成斜截面的曲线上任意一点向底面圆所在平面作垂线,垂线段最短50 cm,最长80 cm,则斜截圆柱的侧面面积为　　　　 cm2. 
解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路

求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积

对点训练2(1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是(　　)
A.4πS B.2πS
C.πS D.233πS

(2)如图,在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体的表面积为(　　)
A.4π B.(4+2)π
C.6π D.(5+2)π

考点
空间几何体的体积(多考向探究)



考向1　直接利用公式求体积
【例3】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D-BB1C1的体积为　　　　. 
考向2　割补法求体积
【例4】(1)(2019全国3,理16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　　g. 


(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为　　　　. 
考向3　等体积法求体积
【例5】如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　)

A.312 B.34 C.612 D.64
解题心得求空间几何体的体积的常用方法

公式法
对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积
等体
积法
一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积

对点训练3(1)(2020浙江镇海中学高三3月模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.1
(2)如图,正四棱锥P-ABCD的底面边长为23 cm,侧面积为83 cm2,则它的体积为　　　　 cm3. 

(3)如图,已知体积为V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一点,则四棱锥P-AA1C1C的体积为　　　　. 


考点
与球有关的切、接问题(多考向探究)

考向1　几何体的外接球
【例6】(2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(　　)
A.86π B.46π
C.26π D.6π
对点训练4(2020全国1,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　)
A.64π B.48π C.36π D.32π
考向2　几何体的内切球

【例7】(1)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是　　　　. 
(2)(2020全国3,理15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　　. 
解题心得解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:

对点训练5(1)已知正三棱锥的高为1,底面边长为23,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为　　　　. 
(2)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2a的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2a.若在这个四棱锥内放一球,则此球的最大半径为　　　　. 


【例1】如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2000π9 B.4000π27 C.81π D.128π
答案B

解析如图,设小圆柱体底面半径为5cosθ,所以高为5+5sinθ,θ∈0,π2,
小圆柱体积
V=π·(5cosθ)2(5+5sinθ),
设sinθ=t,t∈(0,1),
则V=125π(-t3-t2+t+1),
V'=125π(-3t+1)(t+1),易知当t∈0,13时,函数V=125π(-t3-t2+t+1)单调递增,当t∈13,1时,函数V=125π(-t3-t2+t+1)单调递减,所以当t=13时,Vmax=4000π27.
【例2】在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是(　　)
A.2327 B.13 C.239 D.33
答案A

解析如图,取AB中点E,连接CE,DE,
设AB=2x(0