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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.8 函数与方程
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2.8 函数与方程
必备知识预案自诊
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)与函数零点有关的等价关系
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有 ⇔函数y=f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
函 数
y=ax2+bx+c(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
图 象
与x轴
的交点
无交点
零点个数
3.二分法
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且 ,通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.
2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.( )
2.函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4.方程2x+3x=k的解都在[1,2)内,则k的取值范围为( )
A.[5,10) B.(5,10] C.[5,10] D.(5,10)
5.(2020天津和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)= .
关键能力学案突破
考点
判断函数零点所在的区间
【例1】(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是( )
A.(0,1) B.(e-1,1)
C.(0,e-1) D.(1,e)
解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.
(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-2x的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
考点
判断函数零点的个数
【例2】(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+x+41-2x在区间[-9,10]上零点的个数为( )
A.10 B.12 C.18 D.20
解题心得判断函数零点个数的方法:
(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.
对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为( )
A.5 050 B.4 041
C.4 040 D.2 020
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为 .
考点
函数零点的应用(多考向探究)
考向1 已知函数零点所在区间求参数
【例3】(1)(2020山东烟台模拟,6)函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
(2)(2020湖南湘潭三模,理16)已知函数f(x)=2x(x2+m),0≤x≤1,2x+1-x2-m,-1≤x<0,若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有一个解,则实数m的取值范围为 .
解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图象利用数形结合法求参数的范围.
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是 .
考向2 已知函数零点个数求参数问题
【例4】(1)(2020东北三省四市模拟,理11)已知函数f(x)=2x+1+2,x≤0,|log2x|,x>0,若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.3,165 B.3,165
C.(3,4) D.(3,4]
(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 .
解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数f(x)=x3-2x,x≤0,-lnx,x>0,若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2) B.[0,1)
C.(-∞,2] D.(-∞,1]
(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,∀x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是 .
2.8 函数与方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)f(x)=0 (2)零点 x轴
2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0
3.f(a)f(b)<0 一分为二 零点
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.C 由Δ=(-2)2-4m<0,得m>1,故选C.
3.C 易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.
4.A 令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5
关键能力·学案突破
例1(1)C (2)D (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.
(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.
又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=1x,x>0.
所以f(x)-f'(x)=lnx-1x+e.令g(x)=lnx-1x+e-e=lnx-1x,x∈(0,+∞).
因为g(x)=lnx-1x在(0,+∞)内的图象是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1-1e>0,
所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.
对点训练1(1)B (2)B (1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.
(2)由图象知12
例2(1)B (2)A (1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12x.
令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,画出g(x),h(x)的图象如图所示.
因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.
(2)求F(x)在[-9,10]上零点的个数,等价于f(x)与g(x)=-x+41-2x的图象在[-9,10]上交点的个数,
∵f(x)为偶函数,且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,∴当x∈[0,1]时,f(x)=x,
又f(1+x)=f(1-x),
∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期为2,g(x)=-x+41-2x=x+42x-1=12+94(x-12),
∴g(x)的图象关于点12,12对称,作出f(x)与g(x)在12,10上的函数图象如图所示,
由图象可知f(x)与g(x)在12,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,12上也有5个交点,故选A.
对点训练2(1)B (2)7 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=…=f(2020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图象关于y轴对称,由y=|f(x)|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f(x)|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2019,2020]上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图象是由f(x)的图象关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为1+2020×2=4041.
(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图象,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.
例3(1)C (2)m-1≤m<-12,或m=1 (1)函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,解得0
当-1≤x≤0时,由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.
设g(x)=(12) x,0≤x≤1,2x+1-1,-1≤x<0,h(x)=x2+m,则问题转化为g(x)与h(x)=x2+m的图象在[-1,1]上只有一个交点.
画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图象如图所示,
结合图象可知,当h(0)=1,即m=1时,两个函数的图象只有一个交点;
当h(1)
(2)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=2x-122-14,
因为x∈[-1,1],所以2x∈12,2,
所以2x-122-14∈-14,2.
所以实数a的取值范围是-14,2.
例4(1)B (2)1,e1e (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图象如图所示,
由图象可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x≤0时,2x+1+2>2,
要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,Δ=4a2-12a>0,2
所以lna=lnxx,设y=lnxx,则y'=1-lnxx2,故y=lnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以当x=e时,得ymax=1e,所以当0
要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值范围为[0,2),故选A.
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.
由g(x)=f(x)-loga(x+1)=0得f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图象在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.
作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9]上的图象如下,
当a>1时,loga(2+1)<2,loga(6+1)>2,
解得3
解得19
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