人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课时训练

4.3对数同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了

A.  B.  C.  D.

2. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为，则下列各数中与最接近的是     参考数据：

A.  B.  C.  D.

3. 天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯，又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为当较小时， 

A.  B.  C.  D.

4. 计算的结果为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是

A.  B.  C.  D.

6. 设方程的两个根分别为，则

A.  B.  C.  D.

7. 千字文是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为   

A. 2566 B. 2567 C. 2568 D. 2569

8. 化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化的热力学公式方程和方程，可以得到温度与可逆反应的平衡常数的关系式：式中为焓变在一定温度变化范围内视为定值，为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为时，可逆反应的平衡常数为；当温度为时，可逆反应的平衡常数为则   

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，若存在实数k，使得关于x的方程有两个不同的实根，，则的值为

A.  B.  C. 2 D. 4

10. 检测视力时，常用来记录视力水平，这种“5分记录”法的数值与标准对数视力表中“视标E”的大小有关，“5分记录”值和“视标E”边长满足为定值，且已知对应视标的边长约为92毫米，对应视标的边长约为73毫米，则对应视标的边长约为 

A. 52毫米 B. 54毫米 C. 56毫米 D. 58毫米

11. 统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的次方成正比例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有约倍观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这个国家的实际面积大约是该县面积的

A. 18倍 B. 21倍 C. 24倍 D. 27倍

12. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是千克地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是千克下列各数中与最接近的是     ，

A.                  B.                 
C.                 D.

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 求值：          ．
14. 已知，若，，则的最大值为          ．
15. 计算          ．
16. 的值是          ．
17. 已知，那么          ．
18. 已知，则          ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 求值：
    
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 声音通过空气的振动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级．声压级以符号表示，单位为分贝，公式为：声压级，式中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中参考声压一般取值根据上述材料，回答下列问题．
    若某两人小声交谈时的声压有效值，求其声压级；
    已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90dB，求此时该班教室内声压的有效值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知，求及的值；
    已知，，用a，b分别表示和．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知x，y，z为正数，，．
    求p的值；
    求证： ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 求值；

设，求的值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题．
利用香农公式分别计算出信噪比为1000和8000时的C的值，再利用对数的运算性质求出C的比值即可得到结果．

【解答】

解：当时，，当时，，
，
大约增加了，
故选：B．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查指数形式与对数形式的互化，属于中档题．
根据对数的性质：，可得：，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．

【解答】

解：由题意：，，
根据对数性质有：，
，
．
故选D．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了对数与对数运算，属于中档题．
利用题目所给条件和公式得和，再利用对数运算，最后再利用题目所给参考公式，计算得结论．

【解答】

解：因为“心宿二”的星等是，亮度为，
“天津四”的星等是，亮度为，且，
所以，
即，解得，
根据参考公式可得，
因此与r最接近的是．
故选B．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．
根据对数的运算性质，换底公式化简求值即可．

【解答】

解：原式
．
故选：D．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的实际应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．
分别令，，因此即可求解．

【解答】

解：依题意，令，
，
因此，正常人体血液的pH值的范围是．
故选：D．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象的运用，判断方程的根的问题，属于较难题．
构造，，画出图象，由两方程 可得，即可得结果．

【解答】

解：设，，
则方程的两个根即为函数和的交点的横坐标，
设，
函数和的图象为：

则有，
故，
，
，
故选：D．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．

由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案．

【解答】

解：由题可知，．

因为，所以，

所以的整数部分为2567．

故选：B．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算的实际应用，根据题中所给关系式，结合题中条件，得到，两式作差化简整理，即可得出结果．

【解答】

解：当温度为时，可逆反应的平衡常数为，当温度为时，可逆反应的平衡常数为，

则，所以

则，整理得．

故选：A．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的零点以及指数及对数的互化，属于中档题．
依题意，，，由此可得，，相乘求解即可．

【解答】

解：由题意，有两个不同的实根，，
设，则，，则，，
故．
故选：A．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了对数运算的实际运用，属于中档题．
由题意，得出和，即可得结果．

【解答】

解：由对应视标的边长约为92毫米，得，则，
由对应视标的边长约为73毫米，得，则，所以，
设对应视标的边长约为毫米，则，则，
即，则，
故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的实际应用，是中档题．
设这个国家的实际面积大约是该县面积的x倍，依题意，两边取以10为底的对数，再利用对数的运算性质即可算出结果．

【解答】

解：设这个国家的实际面积大约是该县面积的x倍，
若眼睛感觉全国面积约为某县面积的10倍，则，
解得：，，
，
，
故选：D．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算的应用，考查化归与转化的数学思想与数据处理能力，属于中档题．
由，得，从而求出的接近值．

【解答】

解：因为，
所以，
故，
故选D．

13.【答案】 
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算，以及根式和幂指数的运算．
根据对数的运算，以及根式和幂指数的运算求解即可．

【解答】

解：原式

．
故答案为：  ．

14.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，指数幂的运算以及对数运算，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意可得，再利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：，，若，
，，
，，

，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为4．
故答案为4．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查指对数的运算．

根据指对数的运算法则求解即可．

【解答】

解：原式

．

故答案为．

16.【答案】0
 

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算，属于基础题．
根据对数的运算法则求解即可．

【解答】

解：


，
故答案为0．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题的考点是对数和指数的运算性质的应用．
根据对数的定义先求出，再求出，进而求出x的值，再代入根据指数的运算性质进行化简．

【解答】

解：由得，，则，
解得，
．
故答案为．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的解析式的应用，以及对数的计算法则，函数值的求解，是基础题．
利用函数的解析式求解函数值即可．

【解答】

解：函数，则．
故答案为： ．
 

19.【答案】解：

；

．
 

【解析】本题考查了指数幂的运算性质，对数的运算性质，属于中档题．
运用指数幂的运算性质求解．
运用对数的运算性质求解．
 

20.【答案】解：由声压有效值，
根据
两人小声交谈时声压级为40dB
根据声压级，
可得帕．
教室内最高声压级达到90dB，此时该班教室内声压的有效值为帕．
 

【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的应用，考查学生的计算能力．
利用公式，代入帕，即可求得结论；
利用公式，代入，即可求得结论．
 

21.【答案】解：由知，
因为，即，
所以；
又，且，
所以，
因为，，
所以；
所以

．
 

【解析】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于中档题．
由知，然后结合完全平方即可求解；
由已知结合对数的换底公式及对数的运算性质即可求解．
 

22.【答案】解：设，
因为x，y，z为正数，
则，

所以，，

因为，所以．

因为，所以

，

，

所以．

【解析】本题主要考查了对数与对数运算．
设，则，所以，，，因为，所以，即可求出p．
，，即可证明．
 

23.【答案】解：


解：，
，
，
 



 

【解析】本题考查了指对数的运算，属于基础题，由指对数的运算法则计算即可．
本题考查了指数与对数的互化，对数的换底公式及运算，属于基础题．
首先求得x，y，再由换底公式求得，再利用对数的运算法则求值即可．