数学必修 第一册2.2 基本不等式综合训练题

2.2基本不等式同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 实数满足，，则的最小值是 

A. 4 B. 6 C.  D.

2. 已知，，，则的最小值为   

A.  B.  C.  D.

3. 设，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

4. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

5. 下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为周脾算经作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“”的几何解释．

A. 如果，，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立
D. 如果，那么
 

6. 已知，，若恒成立，则实数m的取值范围是

A. 或 B. 或
C.  D.

7. 设正数满足，则的最小值为   

A.  B. 3 C.  D.

8. 若a，，，则的最小值为   

A. 2 B.  C.  D.

9. 下列说法不正确的是

A. 的最小值是2
B. 的最小值是2
C. 的最小值是
D. 若，则的最大值是

10. 当时，函数的值域为D，且当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围为   

A.  B.
C.  D.

11. 已知，，且满足，则有

A. 最大值为 B. 最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为

12. 若正数a，b满足，则的最小值是   

A. 1 B.  C. 9 D. 16

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如果命题，为真命题，则实数m的取值范围是          ．
14. 若时，的最大值是          ．
15. 已知，则的最小值是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知正数x，y满足，当时，的最小值为          ；当时，的最小值为          ．
17. 已知，且，，则的最小值为          ，的最小值为          ．
18. 已知正数a、b满足，则的最小值等于          ，此时          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知，，且，求：

的最小值；

的最小值．






 

20. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
     

Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
Ⅱ求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；






 

21. 已知a，b，m为非零实数，且，．
    求证：；
    求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 合肥一中生活区拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一，游泳池平面图形为矩形且面积为200平方米，池的四周墙继建造单价为每米400元，中间一条墙壁与矩形的一边所在直线平行建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元池壁厚忽略不计：方案二，游泳池平面图形为圆且面积为平方米，池的四周墙继建造单价为每米500元，中间一条隔壁为圆的直径建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元池壁厚忽略不计．

如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？

方案一以最低价计算，选择哪种方案的总造价更低？






 

23. 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元设屋子的左右两面墙的长度均为．
    当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低
    现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求出最值，属于中档题．
令，，则，，再将所求转化m，n的表达式，再运用基本不等式求得最小值．

【解答】

解：令，，
则，．

，

当且仅当时取等号．
故选D．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值即可．

【解答】

解：因为，，，
则，
当且仅当时，即当，且，等号成立，
故的最小值为．
故选B．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了“乘1法”与利用基本不等式求最值．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：，
则
，
当且仅当，即时取等号．
故选：C．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，属于中档题．
先根据题中所给的面积公式用a，b表示出三角形面积，再运用基本不等式求出面积的最大值．

【解答】

解：由题意，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以此三角形面积的最大值为．
故选C．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．
求出外围的正方形的面积与四个阴影面积之和，即可求解．

【解答】

解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为，
则外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为2ab，
对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立．
故选C．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用以及一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题和解决问题的能力．

先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得，进而求得m的范围．

【解答】

解：，，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

若恒成立，则恒成立，
，解得．
故选：D．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了最值问题，基本不等式的应用，整体思想等，属于拔高题．
由，可得，再利用乘“1”法即可得解．

【解答】

解：正数x，y满足：，，则，据此有：




；
当且仅当，时等号成立．
即的最小值为，
故选A．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值的方法，考查基本不等式的适用条件，属于较难题．
先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值．

【解答】

解：，，，
，
，

，
，
当且仅当即时取，
故选D．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的应用，掌握利用基本不等式的条件是关键，属于中档题．
对于ACD根据基本不等式和不等式性质即可判断，对于B根据基本不等式的取等号时x的不存在即可判断．

【解答】

解：对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，显然x的值不存在，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：B．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的值域，不等式恒成立以及基本不等式求最值等问题，属于中档题．
由题意可得当时，函数的值域为，由可得，利用基本不等式求最值，即可求解．

【解答】

解：函数对称轴为，且，
所以
所以由可得恒成立，
即，
，当且仅当时等号成立，
所以，
故选A．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．

【解答】

解：，，且满足，
则，
当且仅当且即，时取等号，
故选B．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题得，则，利用基本不等式计算即可求得最值．

【解答】

解：由题意，正数a，b满足，
，

，
当且仅当，时取等号，
故选B．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题，注意运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于基础题．
由题意利用基本不等式可得，即可得出m的不等式，求解出m的范围．

【解答】

解：命题p为真命题，即当时，不等式恒成立，
又当时，，
当且仅当，即时，取得最小值12，
故，解得
故答案为

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题考查了利用基本不等式的性质求最值，可先变形为，再根据基本不等式性质可得到，即可得到原式最大值．

【解答】

解：，
即，
得到，
当且仅当，即时取等号，
，
即，
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，考查转化思想和化简运算能力．
方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；
方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值．

【解答】

解：方法一、由，可得，
由，可得，
则
，当且仅当，时，等号成立，
可得的最小值为；
方法二、，
故，
当且仅当，即，时取得等号，
可得的最小值为．
故答案为：．

16.【答案】 

7

【解析】

【分析】

当时，则，则，利用基本不等式即可求出；
当时，，则可得，利用基本不等式即可求出．
本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三相等，考查运算能力．

【解答】

解：已知正数x，y满足，
当时，，则，

，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为，
当时，，
当时，等式不成立，
当则，则，

，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为7，
故答案为；7．

17.【答案】

9

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，二次函数的最值．
利用二次函数的性质求解的最小值；，然后利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：因为，所以，
又因为，所以，

所以
，
当时，取得最小值；

因为，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为9．
故答案为；9．

18.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，难度中档．
根据已知条件，将所求式子变形为，直接利用基本不等式便可求得最小值，及取得最值时a的值．

【解答】

解：正数a，b满足，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值等于3，此时．
故答案为3，．

19.【答案】解：，，，
，
，
，当且仅当时取等号，
故xy的最小值为64；
由，得，
又，，

，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为18．
 

【解析】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．
利用基本不等式构建不等式即可得出；
由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
 

20.【答案】解：设AN的长为x米，
是矩形，且米，米，
，
 ，
Ⅰ由，得 ，
，
或
长的取值范围是，
Ⅱ令，令，则，

当且仅当，即时取等号．
此时，，最小面积为48平方米．
 

【解析】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．
Ⅰ求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；
Ⅱ利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．
 

21.【答案】证明：要证成立，
只需证，
即证，
只需证，
根据基本不等式，有成立．
当且仅当时等号成立，
所以；
因为，，
由知，，
即，
解得或，
又，可得，
，可得，
综上可得．
 

【解析】本题考查运用分析法证明不等式，利用基本不等式证明．
利用分析法转化为只需证，然后利用基本不等式进行不等式的证明
根据已知条件，结合的结论，得到，解得或，进一步根据条件求解．
 

22.【答案】解：方案一：设出矩形的长为x，则宽为，总造价为，

或者，

当造价为

元，当且仅当，即时取等号；

当造价为

元，当且仅当，即时取等号；

方案二：总造价元，

所以选择方案一的总造价更低．

答：游泳池的长度为15米或时总造价最低；

方案一的总造价更低．

【解析】本题重点考查基本不等式的实际应用，属于拔高题．
设出矩形的长为x，则宽为，总造价为，或者，然后利用基本不等式分情况求解即可；
求出方案二的总造价，对比方案一即可．
 

23.【答案】解：设甲工程队的总造价为y元，
则
．
当且仅当，即时等号成立．
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而，即恒成立，
又．
当且仅当，即时等号成立，
所以．
 

【解析】本题考查函数的应用，实际问题的处理方法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
设总造价为y元，列出利用基本不等式求解函数的最值即可．
由题意可得，对任意的恒成立．，恒成立，利用基本不等式求解函数的最值即可．