数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后复习题
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2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习人教 A版（2019)高中数学必修一
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 不等式的解集是
A. B.
C. 或 D.
- 设，若恒成立，则k的取值范围为
A. B.
C. D.
- 已知不等式的解集是，则等于
A. B. 1 C. D. 3
- 不等式的解集为，则实数a的取值范围是
A. ， B.
C. D.
- 已知不等式对任意实数x恒成立．则m取值范围是
A. B.
C. D.
- 不等式的解集为R，那么
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 设，则关于x的不等式的解集是
A. B.
C. D.
- 设一元二次不等式的解集为，则ab的值为
A. B. C. D.
- 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为
A. B.
C. D.
- 不等式的解集为
A. B.
C. D.
- 若命题“存在，使”是假命题，则实数a的取值范围为
A. 或 B. 或
C. D.
- 设，不等式，在上恒成立，则的最大值为
A. 1 B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知不等式的解集为R，则b的取值范围是 ．
- 若不等式的解集为，则实数a的取值范围是
- 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为 ，实数a的取值范围为 ．
- 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为 ，实数a的取值范围为 ．
- 已知不等式的解集是A，不等式的解集是B，则 ； ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知关于x的不等式的解集为．
求a，b的值；
当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围．
- 已知，若关于x的不等式的解集是．
求a的值；
若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．
- 已知的解集为．
求实数a的值；
若恒成立，求实数b的取值范围．
- 已知关于x的不等式．
当时，解关于x的不等式；
当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
- 设函数．
当时，若对于，有恒成立，求a的取值范围；
已知，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式求解．
把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【解答】
解：不等式可转化为，
即，即，
所以不等式等价于
解得：，
所以原不等式的解集是．
故选B
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力．
利用基本不等式，求出左边的最小值，再解一元二次不等式即可得到答案．
【解答】
解：由于，则得到，
当且仅当，即时，取等号，
恒成立，
，
．
k的取值范围为．
故选D．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系，难度较易由不等式的解集是，可知和2是方程的根，联立方程组求出a和b的值，即可求出答案．
【解答】
解：不等式的解集是，
则和2是方程的根，
故，解得，
则．
故选A．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于基础题．
根据不等式的解集为空集，可得不等式的解集为R，根据二次项系数为0和不为0两种情况讨论即可得到答案．
【解答】
解：不等式的解集为，
等价于不等式的解集为R，
当时，不等式化为，符合题意；
当时，要使不等式的解集为R，
则且，
解得，
综上所述， ．
实数a的取值范围是．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题．
由不等式对任意实数x恒成立，知或，由此能求出m的取值范围．
【解答】
解：因为不等式对任意实数x恒成立，
所以或
综合可得．
故选D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次不等式的解法，不等式的解集为R，得出且，题目简单．
【解答】
解：不等式的解集为R，
且，
故选A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，是中档题．
根据题意，把不等式化为，求出解集即可．
【解答】
解：时，，且
则关于x的不等式可化为，
解得或，
所以不等式的解集为 ．
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题．
根据一元二次不等式的解集是，说明方程的解为或，把解代入对应的方程即可求出a，b即可求解此题．
【解答】
解：一元二次不等式的解集是，
方程的解为或，
，解得，
．
故选B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于x的不等式的解集为，可得，，进而不等式可化为：，由此可求不等式的解集．
本题考查不等式的解集与方程解之间的关系，考查解不等式，解题的关键是确定，．
【解答】
解：关于x的不等式的解集为，
，，
，，
不等式可化为：，
，
或，
关于x的不等式的解集为：，
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的解法，属于基础题．
解分式不等式时，不能随便在不等式两边同乘或同除一个代数式，这样会导致不等价．把等价于，进而求解．
【解答】
解：因为等价于，解得，
所以不等式的解集为．
故选B．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使，根据命题否定是真命题，得到，解不等式即可．
本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．
【解答】
解：命题“存在，使”的否定是
“任意实数x，使”
命题否定是真命题，
，整理得出
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，属较难题．
若在上恒成立，则，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案．
【解答】
解：在上恒成立，
若在上恒成立，则，即，
此时当时，不成立，
若在上恒成立，则，即，
若在上恒成立，则，即，
故的最大值为，
故选：C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，解题时常用判别式来解答．
根据不等式的解集为R，，列出不等式求出解集即可．
【解答】
解：不等式的解集为R，
，
即，
解得；
的取值范围是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
讨论和时，求出满足题意的a的取值范围．
【解答】
解：不等式的解集为，
时，不等式化为，解集为；
时，应满足
解得；
综上，实数a的取值范围是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
对a进行分类讨论即可求解．
【解答】
解：当时，显然不符合题意；
当时，，解得，
综上，a的取值范围是，
故答案为．
16.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查含参数的一元二次不等式解法，不等式的性质，属于拔高题．
先求解不等式的解集为，再利用不等式的性质判断左右端点的取值范围即可求解．
【解答】
解：方程的解为，
则不等式的解集为，
因为，所以，
，
若不等式有且只有两个整数解，
则这两个整数解应为1和2，故两个整数解之和为3．
且，
得，因为，
所以解得．
故答案为．
17.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次不等式与方程根之间关系的应用，解题的关键是掌握一元二次不等式求解步骤，属于中档题．
利用一元二次不等式的解法求解不等式，然后判断不等式解集的两个端点的大小并确定之间的整数，然后列出不等关系求解即可．
【解答】
解：不等式，
令，
则，
所以方程有两个不相等的实数根
，，
因为，所以，，
故不等式的解集为，
由题意可知，不等式有且只有两个整数解，
所以这两个整数解为1和2，
则，解得，
又，所以，
故这两个整数解之和为3；实数a的取值范围为．
故答案为：3；．
18.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法，交集和并集的定义，属于基础题．
先解得集合A，B，再由交集和并集的定义即可求解．
【解答】
解：因为不等式的解集为，
不等式的解集为或，
故可得或，
，
故答案为或．
19.【答案】解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根，且，
所以
解得；
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根，且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
所以．
由知，于是有，
又，，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意必有，即，得，
所以k的取值范围为．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题．
方法一：利用韦达定理求解即可得结果；方法二：将1代入方程，求出a的值，进而解不等式可知b的值；
将问题转化为求最值，利用基本不等式，求得的最小值，再解一元二次不等式，即可得结果．
20.【答案】解：关于x的不等式的解集是，
，2是方程的两个根，
，，
解得；
当时，关于x的不等式在上恒成立，
当时，不等式恒成立，
当时，，
由于，当且仅当时等号成立，
，，
故b的取值范围为．
【解析】本题考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，考查不等式的恒成立问题，属于中档题．
由题意得1，2是方程的两个根，代入方程即可求出a；
分和两种情况进行分类讨论，采用分离参数法将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出实数b的取值范围．
21.【答案】解：因为的解集为，
所以而且的两根为和1，
，所以．
因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数b的取值范围为．
【解析】本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，及一元二次不等式解法、不等式恒成立问题．
由题意知：，且，1是方程的两根，利用韦达定理得出a的值；
不等式恒成立，即恒成立，则，解不等式即可．
22.【答案】解：不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，
解得，或；
当时，不等式化为；
时，，解不等式得，
时，，解不等式得，
时，，解不等式得．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
由题意不等式化为，
当时，，且，
所以原不等式可化为恒成立，
设，，
则的最小值为，
所以a的取值范围是
【解析】本题主要考查了含参数的不等式的求解，不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想，是拔高题．
不等式化为，讨论和、时，求出对应不等式的解集即可．
不等式化为，即恒成立，求出在时的最小值即可．
23.【答案】解：据题意知，对于，有恒成立，
即：时，恒成立，
因此，，
设，则，
所以，
函数在区间上是单调递减的，
，
；
由对于一切实数x恒成立，
可得，且，
由存在，使得成立，可得，
，
，
又，，
则
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
【解析】本题考查一元二次不等式恒成立问题和及利用基本不等式求最值，涉及二次函数最值与换元法，属中档题．
将对于，有恒成立转化为对于对于，，设，结合二次函数求得的最大值，即可求解；
由对于一切实数x，不等式恒成立和存在，使得成立得到，进而求得ab的值，再利用基本不等式求最值即可．
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