高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质同步达标检测题

3.2函数的基本性质同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若定义在R上的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

2. 已知定义在R上的函数在内为减函数，且为偶函数，则，，的大小关系为    ．

A.  B.
C.  D.

3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是 

A.  B.  C.  D.

4. 已知是R上的奇函数，是R上的偶函数，且，则   

A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

5. 函数在的图象大致为

A.  B.
C.  D.

6. 函数的单调增区间是

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

8. 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

9. 下列函数中是增函数的为

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则a，b，c，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

12. 定义在R上的函数的图象关于直线对称，且满足：对任意的，都有，且，则关于x的不等式的解集是．

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 写出一个在区间上单调递减的偶函数          ．
14. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，则x的取值范围为          ．
15. 已知函数，若对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 若函数是偶函数，定义域为，则          ，          ．
17. 已知定义在R上的函数，且当时，，若，则          的解集为          ．
18. 函数的单调减区间为          ；若函数在上在取得最小值，则实数a的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

19. 设定义在上的奇函数．

求b值；

若在上单调递增，且，求实数m的取值范围．






 

20. 已知是定义在上的奇函数．
    求的解析式；
    判断并证明的单调性；
    解不等式：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 设函数．

证明函数在区间上是增函数；

设函数，其中R，若对任意的，，都有，试求实数a的取值范围．






 

22. 设函数对任意非零实数恒有，且对任意，有．

求及的值；

判断并证明函数的奇偶性；

求不等式的解集．






 

23. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
     

现已画出函数在y轴左侧的图像，请补全函数的图像，并根据图像写出函数的单调递增区间；

写出函数的值域；

求出函数的解析式．






 

24. 已知定义域为R的函数是奇函数．
    求a的值；
    判断函数的单调性并证明；
    若关于m的不等式在有解，求实数t的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知函数对一切x，，有．

求证：是奇函数．

若，试用a表示．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法．
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量的不等式，最后求并集得结果．

【解答】

解：因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，
当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的x的取值范围是，

故选：D．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
为偶函数，可得函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，利用在内为减函数，即可得出结论．

【解答】

解：函数为偶函数，则函数的图象关于对称，
则函数的图象关于对称，，，
，，即．
故选 A．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．

【解答】

解：因为
，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：B．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于中档题．
根据已知，结合函数奇偶性的定义，可求出，，将和分别代入可得答案．

【解答】

解：因为，
所以，
又是奇函数，是偶函数，
所以，
则，，
故，
故选D．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的作法，涉及到函数的奇偶性，函数值的估计，属于中档题．
根据函数的奇偶性，排除选项C，结合函数在时的取值范围，排除选项D，再根据时函数值的估计，排除选项A，从而得正确选项．

【解答】

解：因为，所以，且，
所以函数为奇函数，排除
当时，恒成立，排除
因为，排除A．
故选B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据复合函数单调性之间的关系求函数的递增区间即可．
本题主要考查函数单调递增区间的求解．

【解答】

解：由得或，即函数的定义域为，
设，则函数的增区间为，减区间为，
是增函数，
根据复合函数的单调性的性质可知，函数的递增区间是，
故选：B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想．
任意，总存在，使得成立，得到函数在上值域是在上值域的子集，然后利用求函数值域之间的关系列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．

【解答】

解：，，对称轴为，开口向下，
，
即，即函数的值域为，
若任意，总存在，使得成立，
则函数在上值域B是在上值域A的子集，
即，
若，，此时，不满足条件．
当时，在是增函数，，即，
则，
，
，在是减函数，，
即，
，
，
综上，实数a的取值范围是或．
故选：C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案．

【解答】

解：函数为奇函数，
若，则，
又函数在上单调递减，，
，
，
解得：，
所以x的取值范围是．
故选D．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．

【解答】

解：由一次函数性质可知在R上是减函数，不符合题意；
由指数函数性质可知在R上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知在R上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知在R上单调递增，符合题意．
故选：D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性比较大小，属于基础题．
根据题意，由函数轴对称的性质可得，又由函数在上的单调性，可得，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数的图象关于对称，
则，即，
又由函数在上单调递增，
则，
即，
故选：B．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的单调性，属于中档题．
利用函数在定义域上是减函数，将转化为：，再结合定义域求解不等式组即可．

【解答】

解：函数在定义域上是减函数，
且，
则有：
解得：．
故选B．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数的单调性，函数的对称性，难度中档．
由已知可得函数在上为减函数，且，结合函数的图象关于直线对称，可得：在上为增函数，且，分类讨论可得答案．

【解答】

解：对任意的，都有，
函数在上为减函数，且，
又由函数的图象关于直线对称，
在上为增函数，且，
当，，满足，
当，，满足，
当，，不满足，
综上可得：，
故选：C．

13.【答案】答案不唯一
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性、函数的奇偶性，写出函数，再检验即可．

【解答】

解：设，，
因为，且在区间上单调递减，
故答案为答案不唯一．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性与奇偶性的结合，解题的关键是确定函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，属于基础题．
先将函数中的变量化简，再确定函数是在实数集R上单调递增，利用函数的单调性，即可求得x的取值范围．

【解答】

解：，
，可化为，
函数是定义在实数集R上的奇函数，
，
函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，
函数是在实数集R上单调递增，
，
，
，
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
由已知可得函数在R上为增函数，则分段函数的每一段均为增函数，且在分界点左段函数不大于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．

【解答】

解：对任意，都有成立，则函数在R上为增函数，

故，解得．
故答案为．

16.【答案】

0

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，属于基础题．

由函数是偶函数，可得其定义域关于原点对称，求得a的值；由函数是偶函数，则可得b的值．

【解答】

解：函数是定义域为的偶函数，
其定义域关于原点对称，故，解得，
所以，
，
解得，
故答案为；0．

17.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，涉及抽象函数的分析．
分析可得函数为奇函数，结合条件可得；再证明在R上是增函数，应用可得不等式的等价为，结合函数的单调性分析可得，即，解可得x的取值范围，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，对于，
令，则有，所以，
对于，令，则，即，
因为函数的定义域为R，
所以是奇函数
又由，则；
设，则，
因为当时，，所以，
则，
即，
则函数在R上是增函数；
可化为，
因此不等式的等价为，
则有，即．
解得或，
即不等式的解集为
故答案为2；

18.【答案】和

【解析】

【分析】

本题考查判断函数的单调区间，分段函数，其中画出满足条件的图象，利用数形结合的办法分析求解是解答的关键．
根据零点分段法，将函数的解析式化为分段函数，画出函数的图象，可知其单调区间，进而可求出实数a的取值范围．

【解答】

解：函数
其函数图象如下图所示：

由函数解析式可得，
时，函数的图象为二次函数图象的一部分，
而的对称轴为，图像开口向上，
因此的单调减区间为和；
由函数图象可得：
函数在上取得最小值，
当时，，解得，
当时，，解得，
实数a须满足，
故实数a的集合是
故答案为和；．

19.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得经检验符合题意．
因为函数在上是增函数，
又是奇函数，
所以在上是增函数．
因为，
所以，
所以，     
又需要不等式在函数定义域内有意义，
所以  ，
解得，
所以m的取值范围为．
 

【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．
根据奇函数的性质可得，从而求得b的值．
由条件可得，得，再由，即可求得m的范围．
 

20.【答案】解：是定义在上的奇函数，
，即，
．
又，
，
，
．
经检验符合题意．
函数在上为增函数．
证明如下，任取，
，．
，
，
为上的增函数．
，
即，

解得，
解集为．
 

【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数单调性的判断与证明以及利用函数的单调性和定义域解不等式，属于中档题．
利用是定义在上的奇函数，和即可求出的解析式；
任取，化简，即可判断的单调性；
因为，再根据其单调性和定义域即可解得x的范围．
 

21.【答案】解：方法一：对于任意的，，且，

当时，，即，

所以，即，

因此，函数在区间上是增函数．

方法二：对于任意的，，且，

当时， ，，
从而，

即，即，

因此，函数在区间上是增函数．

由知，在区间上是增函数，
所以，当时，的最小值是．

所以，对任意的，，都有，等价于函数在区间上的最大值不大于．
方法一：

因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上的最大值为．

由得即．

所以，实数a的取值范围是．

方法二：

对任意的，都有，

即，即．

同可证函数在区间上单调递增，
从而当时，取得最大值．

所以，实数a的取值范围是．

【解析】本题考查函数的单调性与单调区间、二次函数、不等式的恒成立问题．
可用定义法直接证明，在证明时，
方法一，借助反比例函数的单调性和复合函数的单调性证明，即，即可得出结论；
方法二，运用定义法中的做差法进行证明；
方法一，由的最小值是，且对任意的，，都有，转化为函数在区间上的最大值不大于，根据二次函数的性质可得在区间上的最大值为，即可得解；
方法二，转化为不等式，并借助函数在区间上单调递增直接求解．
 

22.【答案】解：对任意非零实数，恒有，
令，则，
可得，
又令，则，
可得；
函数是偶函数；
证明如下：取，，则，
得，
又函数的定义域为，
函数是偶函数；
任取，，且，则，
由对任意，有，则 ，
，
，
即函数在上为单调递减函数，
由得函数是上的偶函数，
，可得，， 
得，或，
解得：或，
不等式的解集为．
 

【解析】本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性及不等式的解法，属于拔高题．
分别令，令，代入求值即可；
取，，可得函数是偶函数；
证明函数在上为单调递减函数，由得函数是偶函数，
得到， 即可求解．
 

23.【答案】解：函数的图象补充完整后，图象如下图所示：

由图可得，递增区间为，；
结合函数的图象可得，
当或时，函数取得最小值为，
函数没有最大值，
故函数的值域为；
当时，，
再根据时，，
可得，
再根据函数为偶函数，
可得，
函数的解析式为．
 

【解析】本题考查函数图象的作法、函数解析式的确定与函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增区间；
结合函数的图象可得值域．
令，则，根据条件可得，利用函数是定义在R上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式．
 

24.【答案】解：根据题意，定义域为R的函数是奇函数，
必有，解可得，
函数在R上为减函数；
证明如下：由的结论，，
设，
则，
又由，则，
则，
则函数在R上为减函数；
根据题意，为奇函数且在R上为减函数，
则，
又由，则原不等式等价于，
设，，
在区间上为减函数，
则，
若不等式在有解，必有，
即，
即t的取值范围为
 

【解析】本题考查函数的奇偶性以及单调性的应用，关键是求出a的值．
根据题意，由奇函数的性质可得，解可得a的值，即可得答案；
根据题意，由作差法分析可得结论；
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得等价于，设，，分析可得在区间上为减函数，则，进而可得若不等式在有解，必有，解可得t的取值范围，即可得答案．
 

25.【答案】解：令，得，

，
．

令，有，

，即，

是奇函数．

是奇函数，且，

．

由，令，得，

．

【解析】本题考查函数奇偶性的判断和证明．
利用赋值法得到，证明其是奇函数
先由知，再由赋值法得到，把化为，即可得出．