人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用练习

6.4平面向量的应用同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则的面积为   

A.  B.  C.  D.

2. 若中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则角   

A.  B.  C.  D.

3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则的面积

A. 1 B.  C.  D.

4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知，且，点O满足，，则的面积为     

A.  B.  C.  D.

5. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是     

A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等边三角形
D. 若，则一定是锐角三角形

6. 已知中，，则  

A.  B.  C.  D.

7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的值为     

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 已知外接圆半径为1，圆心为O，若，则面积的最大值为     

A. 2 B.  C.  D. 1

9. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、已知，，，则

A.  B.  C. 2 D. 3

10. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

11. 在中，，，，则

A.  B.  C.  D.

12. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且的面积为，则    

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则          ．
14. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则          ．
     

15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则           ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 在中，角所对的边分别为已知向量且．D为边上一点，且则          ，面积的最大值为          ．
17. 我国古代数学家刘微在九章算术主释中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差。”也就是说目标“极高”、“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次或两次以上测量的方法加以实现．为测量某山的高度，在A，B测得的数据如图所示单位：，则山高          ，A到山顶的距离          ．

18. 在中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为，且为钝角，则          ；的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
     
    求c；
    设D为BC边上一点，且，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知a，b，c分别是锐角三个内角A，B，C所对的边，向量，，设．
    Ⅰ若，求角A；
    Ⅱ在Ⅰ的条件下，若，，求三角形ABC的面积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
    求B；
    若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．
    求A；
    若，求sinC．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在中，．

求的值；

若，求b以及的值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题。
根据正弦定理得，再由余弦定理解得a，b的值，即可得的面积．
【解答】

解：，
由正弦定理可得，
又，，
余弦定理得，
解得，，
．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用余弦定理可求得，结合范围可得C的值．

【解答】

解：，，，
，
，
．
故选：C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．

【解答】

解：，，
由正弦定理可得，
，
，
的面积，
故选：C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角形重心的性质及三角形的面积公式的应用，属于难题．
由已知结合正弦定理、余弦定理可求b，然后结合重心的性质及向量的运算可求AO，然后根据三角形的面积公式可求．

【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的重心，
，
，
两边平方可得，
令，
，
即，
解得，舍去，
，为锐角，
，
，
，
故选：D．  

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查正余弦定理，属于中档题．
由正弦定理、余弦定理逐个判断即可．

【解答】

解：若，则由正弦定理得
，
同理，，所以，则是等边三角形，所以命题正确；
B.，
所以或，命题不正确
C.
，所以，则一定是等腰三角形，命题不正确
D.若，由余弦定理得，C为锐角，
但是不一定是锐角三角形，命题错误．
故选A．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了解三角形的问题，考查了正弦定理的应用，难度一般．
由，可求得三个内角的度数，利用正弦定理进行边角互化即可求解．

【解答】

解：，，
，，，
．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理的应用，考查同角三角函数基本关系，属于基础题．
原式整理为，接下来用余弦定理解答．

【解答】

解：，

，
即，
即，所以，
又， 或．
故选C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加减法，正弦定理及三角形面积等，属于中档题．
利用向量的加法、减法、数乘运算的几何意义得是直角三角形，且A为直角，进而利用正弦定理及三角形面积公式求解即可．

【解答】

解：因为外接圆的半径为1，圆心为O，
由得，
则点O为BC中点，
所以是直角三角形，且A为直角，
，
由正弦定理得：，
，，

，
，
当时，的最大值为1．
故选D ．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理，属于基础题．
由余弦定理可得，利用已知整理可得，从而解得b的值．

【解答】解：，，，
由余弦定理可得：
，
整理可得：，
解得：或舍去．
故选D．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查两角和差公式，诱导公式，正弦函数的图象和性质，解得是解题的关键．
由正弦定理以及两角和差公式化简，可得可得b，由，结合同角三角函数公式可得B，再由正弦定理以及三角形内角和以及两角和差公式将表示成，结合A的范围以及正弦函数的图象和性质可得结果．

【解答】

解：，根据正弦定理，

，
，
，

  ，，
，得，

为锐角，则，

，

，

且，
，
，
，

，
 

故选：B．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB的值．

【解答】

解：，，，

，
，可得，
，
则．
故选：C．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理与余弦定理，三角形面积公式．
根据正弦定理与三角形面积公式化简题干条件得到且，再由余弦定理求解即可．

【解答】

解：，
由正弦定理得，，
的面积为，
，则，
代入得，，
由余弦定理得，，
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题．
根据正弦定理和两角和的正弦公式计算即可．

【解答】

解：，
由正弦定理可得，
．
，
．
，
．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用余弦定理求出BC，利用正弦定理推出的余弦值，利用展开求出的值．

【解答】

解：如图所示，在中，，，，

 

由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
由知为锐角，故，
故

．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．

【解答】

解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：．

16.【答案】 ；  
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，向量的加法、减法、数乘运算，向量的模，涉及两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及其应用，正弦定理的应用，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于综合题．
先由，利用向量的坐标运算，正弦定理，三角公式的化简可得，再由，利用向量模的计算，基本不等式可得，由三角形面积公式可得．

【解答】

解：向量，，
，
，
，
，
，
，，
，解得；
又 且，
，
，
即，当且仅当时，取等号，
，
，，
，
故 面积的最大值为．
故答案为 ；  

17.【答案】

【解析】

【分析】

 本题考查正弦定理和解三角形的实际应用，属于基础题．
 将相关的边角条件转化到中， 运用正弦定理可得AM，在中，结合，即可算出MN．

【解答】

 解：易知，，，其中，
在中，由正弦定理可得，解得，
在中，，
 故答案为；．

18.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，还考查了诱导公式，两角和的三角函数公式．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．
根据题意，先由余弦定理和三角形面积公式可得，整理为，据此可得答案；再由正弦定理和三角函数化简可得，结合诱导公式分析tanA的范围，计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，由余弦定理可知：，
则，
变形可得，
又C为钝角，则B为锐角，
故，
则，，


，
又由，
且C为钝角，则，
则，
则，
即的取值范围是；
故答案为，．

19.【答案】解：，
，
，
，
由余弦定理可得，
即，
即，
解得舍去或，
故．
，
，
，
，
，，
又
，
．
 

【解析】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
根据余弦定理即可求出c；
先求出cosC，求出CD的长，得到，即可得解．
 

20.【答案】解：Ⅰ

因为，即，
所以或舍去，故角．
Ⅱ由Ⅰ可得，
因为，
则，
所以，
又因为，
所以．
所以，
因为B为三角形内角，
所以，
所以三角形ABC是等边三角形，由，
所以面积．
 

【解析】本题主要考查了向量数量积的坐标表示及和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．
Ⅰ由已知结合向量数量积的坐标表示，再结合辅助角公式进行化简，代入即可求；
Ⅱ由已知结合同角基本关系进行化简可求B，C，然后结合三角形的面积公式可求．
 

21.【答案】解：，即为，
可得，
，
，
若，可得，，又，所以不成立，
，
由，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由为锐角三角形，可得且，
解得，
可得面积
 

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．
运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得且，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．
 

22.【答案】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又，
则，
由正弦定理得：，
，
，
．
，，
由正弦定理得，
，
即，
即，
即，
，
，
，，


．
 

【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
由正弦定理得：，再由余弦定理求出A．
由已知及正弦定理可得：，可解得C的值，即可得解．
 

23.【答案】解：由余弦定理及已知得．
因为A，B为三角形内角，
所以，
．
又因为，
所以由正弦定理得，
又因为．
所以，解得舍．
所以．
 

【解析】本题主要考查正余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于基础题．
直接把等式变形即可求解；
先利用同角三角函数关系式求出角A，B的正弦值，再借助于正弦定理求出b，代入已知条件求出c，进而求出三角形的面积．