高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积精练

8.3简单几何体的表面积与体积同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若圆锥的轴截面过圆锥轴的一个截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积是   

A.  B.  C.  D.

2. 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为

A.  B.  C.  D.

3. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为

A. 8 B.  C.  D.

4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为     

A.  B.  C.  D.

5. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代公元前476年前222年，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的细管长度忽略不计若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为   

A.  B.  C.  D.

6. 设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是       

A.
B.
C.
D.

8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有       

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

9. 已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为

A.  B.  C.  D.

11. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率为3，估算出堆放的米约有

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

12. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球若，，，，则V的最大值是         

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如图，中，，，在三角形内挖去半圆圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为          ．
    
     

14. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为          ．
15. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 农历五月初五是中国的传统节日-- 端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽籺”，故称“角黍”同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为          若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为          ．

17. 已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是          ，体积是          ．
18. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是，那么这个三棱柱的侧面积为          ，体积是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱，左右两端为相等的半球，若图中的，，试求该组合体的表面积和体积．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示，正方体的棱长为a，连接，，，BD，，，得到一个三棱锥．求：
            
    三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
    三棱锥的体积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐供融化高速公路上的积雪之用已建的仓库的底面直径为12m，高为养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大高不变二是高度增加底面直径不变．

分别计算按这两种方案所建的仓库的体积

分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积

哪个方案更经济些






 

22. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，  3D打印所用原料密度为说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，
    
    计算制作该模型所需原料的质量；
    计算该模型的表面积精确到

    参考数据：，，






 

23. 如图，梯形ABCD满足，，，，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记为 
    
    
    求的体积V；
    求的表面积S．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查立体几何的圆锥侧面积公式，属于基础题．
直接代入圆锥侧面积公式可得．

【解答】

解：由题意，知圆锥的母线长l为2，底面半径r为1，
则该圆锥的侧而积为．
故选B．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定所在圆的圆心的位置，属于中档题．
先确定所在的截面圆的圆心为斜边AB的中点，然后在和中，利用勾股定理求出，再利用锥体的体积公式求解即可．

【解答】

解：因为，，
所以为等腰直角三角形，
所以所在的截面圆的圆心为斜边AB的中点，
所以平面ABC，

在中，，则，
在中，，
故三棱锥的体积为．
故选：A．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，属于基础题．
画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．

【解答】

解：长方体中，，

与平面所成的角为，
即，可得，
可得，
所以该长方体的体积为：．
故选：C．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三棱锥的表面积，属于基础题．
此题棱长均为1的三棱锥实际上四个面就为四个边长等于1的正三角形．

【解答】

解：因为四个面是全等的正三角形，
所以 
故选A ．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积的求法，训练了利用等积法求旋转体的体积，是中档题．
由已知求得沙漏上部分圆锥中的细沙的体积，再由等积法求得圆锥形沙堆的高．

【解答】

解：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高，
底面圆的半径，
故细沙的体积．
当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为，
则，得．
故此锥形沙堆的高为．
故选：D．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是正方体的表面积，球的体积，其中根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，求出球的半径是解答本题的关键，属于基础题．
由已知中正方体的表面积为24，我们可以求出正方体的棱长，根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，可以求出球的半径，进而得到答案．

【解答】

解：若正方体的表面积为24，
则正方体的棱长为2，
即内切球的半径为1，
故内切球的体积是，
故选A．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，属基础题．
四棱锥的体积为，，由此能求出结果．

【解答】

解：是体积为1的棱柱，
四棱锥的体积为
又，
．
故选C．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查立体几何体积问题，属中档题．
求出底面圆的半径，进而得出米堆体积，求出结果．

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，
故米堆的体积为，
斛米的体积约为立方，
，
故选B．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥的外接球的体积的最值问题，属于中档题．
确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大是解题关键，再结合三棱锥的体积公式求出球的半径，则球的表面积可求．

【解答】

解：如图，
 

设球的半径为R，，，

，而面积为定值，

当点C到平面AOB的距离最大时，最大，

当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积最大，

最大值为 ，，

球O的表面积为，

故选C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查球的体积的求法，涉及到余弦定理．
设，，，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求出球O的体积．

【解答】

解：

设，，，
因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，，
在中，，
在中，，
整理得，
因为是边长为2的正三角形，所以，
又，则，，
由得，
所以，
所以，即，
同理可得，，则PA、PB、PC两两垂直，
则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，
所以球O的体积为．
故选D．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆锥体积的计算，属于基础题．
根据圆锥的体积公式计算出相应的值即可．

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r尺，则，
因为，所以，
所以米堆的体积为立方尺，
所以堆放的米约有斛，
故选B．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径是解答的关键．
根据已知可得直三棱柱的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．

【解答】

解：，，，
．
故三角形ABC的内切圆半径，
又由，
故直三棱柱的内切球半径为，
此时V的最大值，
故选：B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查旋转体的体积，组合体的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．
几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个内切球后的剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积．

【解答】

解：几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内切球，
圆锥的底面半径是：，高为，
设内切球的半径为r，
，所以，
所以圆锥的体积：，
球的体积：，
所以阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为
，
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的侧面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
利用已知条件求出圆锥的母线长，利用母线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．

【解答】

解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，
可得．
由的面积为，可得，
即，即．
SA与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：．
则该圆锥的侧面积：
故答案为：

15.【答案】 
 

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．画出图形，取SC的中点O，连接OA，OB，利用体积法，求解球的半径，然后求解球的表面积．

【解答】

解：取SC的中点O，连接OA，OB，

因为，，所以，．
因为平面平面SBC，平面平面，平面SAC，
所以平面SBC．
设，则
所以，
所以球的表面积为．
故答案为：．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查几何体的表面积的求法及球的组合体的有关知识，属于中档题．
由题意得出该几何体的形状和尺寸，再由球的体积公式可得答案．

【解答】

解：由题意知几何体是由两个正四面体组成的几何体，正四面体的高为，
所以该六面体的体积为．
若该六面体内有一小球，则小球的最大体积时应和六个面相切，
下图为几何体的上半部分，
由题意知四面体为边长为1的正四面体，O为底面的中心，即球的球心，
取BC的中点E，连接AE，OE，作于F，则OF为这时的球的半径．

因为，，所以，
所以，
所以小球的最大体积为．
故答案为．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题考查三棱锥的表面积及体积的求法，属于中档题．
由题意画出图形，求出一个等边三角形的面积，乘以4得表面积，再求出四面体的高，代入棱锥体积公式求得体积．
【解答】
解：四面体棱长为1，各面均为等边三角形，
，
如图，过S作底面垂线，垂足为O，
则O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于D，

显然，                                                                                   
则，
，
体积，
故表面积为；体积为．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题给出与正三棱柱各个侧面都相切的球，在已知球体积的情况下求三棱柱的体积．着重考查了正三棱柱的性质、球的体积公式和正三角形的内切圆等知识，属于中档题．
由球的体积公式算出半径，结合题意得出正三棱柱的高由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和底面正三角形边长的关系，算出出边长，进而可得该三棱柱的侧面积以及体积．

【解答】

解：设球半径为R，则由球的体积公式，得，解之得．
球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，
正三棱柱的高．
设正三棱柱的底面边长为a，可得其内切圆的半径为
，解之得．
所以正三棱柱的侧面积 ，
从而得出该正三棱柱的体积为

故答案为：；．

19.【答案】解：该组合体的表面积，
该组合体的体积．
 

【解析】本题考查组合体的表面积与体积可分别算出一个整球的表面积和圆柱的侧面积，即可得到组合体的表面积，属于基础题．
计算一个整球的体积和圆柱的体积，即可得出组合体的体积．
 

20.【答案】解：正方体的棱长为a，
则三棱锥的棱长为，
表面积为，正方体表面积为，
三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为；
三棱锥的体积为
．
 

【解析】本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
求出三棱锥的棱长为，即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
利用割补法，即可求出三棱锥的体积．
 

21.【答案】解：设两种方案所建的仓库的母线长分别为，，表面积分别为，，体积分别为，．

方案一：仓库的底面直径变成16m，则其体积

方案二：仓库的高变成8m，则其体积

方案一：仓库的底面直径变成16m，半径为8m，

此时圆锥的母线长，

则仓库的表面积

方案二：仓库的高变成8m，

此时圆锥的母线长，

则仓库的表面积

，，

方案二比方案一更经济些．

【解析】本题考查圆锥的体积、表面积的求法及应用，考查学生分析解决问题的能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，由此能求出仓库的体积；如果按方案二，仓库的高变成8m，由此能求出仓库的体积．
如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m，求出棱锥的母线长，由此能求出仓库的表面积；如果按方案二，仓库的高变成8m，求出棱锥的母线长，由此能求出仓库的表面积．
由，，得到方案二比方案一更加经济．
 

22.【答案】解：如图，

因为E，F，G，H分别为所在矩形各棱的中点，
所以四边形EFGH为菱形，
由，，
得，
又因为O为长方体的中心，
所四棱锥的高，
；
，
该模型体积为：
，
打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为：；
记面ABCD的中心为，连接，，，
则，，，
由题意，四棱锥的四个侧面为全等三角形，
在等腰中，取OH的中点M，连接EM，
，
所以，
该模型表面积为：

 

【解析】本题主要考查几何体的体积及表面积，考查长方体、四棱锥的表面积及体积公式，属于中档题．
由题意可知四边形EFGH为菱形，四棱锥的高，求出，可得，结合长方体体积可求出该模型体积，即可求解；
记面ABCD的中心为，连接，，，由题意四棱锥的四个侧面为全等三角形并求出面积，结合长方体的表面积，及该模型表面积为：，即可求解．
 

23.【答案】解：几何体为圆柱与圆锥的组合体，
圆锥和圆柱的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高．

圆锥的母线长．
几何体的面积

 

【解析】本题考查了旋转体的结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
分别求出圆锥和圆柱的体积，再相加即可；
几何体的表面积分为三部分，即圆柱的底面积，侧面积和圆锥的侧面积，分别求出各部分面积相加即可．