高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.3 函数的应用(一)课堂检测
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3.1函数的概念与性质同步练习人教 B版（2019）高中数学必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则
A. B. C. D.
- 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为
A. 8，0 B. 0， C. 4，0 D. ，
- 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
- 设函数的定义域为且为偶函数，为奇函数，则
A. B. C. D.
- 下列各组函数中是同一函数的是
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
- 下列各组函数中表示同一函数的是
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
- 下列各组函数中，表示同一函数的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 函数在的图象大致为
A. B.
C. D.
- 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为
A. 1，2， B. 1， C. 2， D.
- 已知函数，，则的值为
A. 13 B. C. 7 D.
- 若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
- 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
- 设函数，则 ．
- 若函数在R上为增函数，则a取值范围为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 函数的值域是 ，单调递增区间是 ．
- 一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，设，则的值域为 ；
函数与函数的交点有 个． - 函数的函数值表示不超过x的最大整数，，的值域 ，，的值域为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知函数f ，其中．
求函数f 的单调区间；
若不等式 在上恒成立，求实数a的取值范围．
- 已知求的解析式；
已知，求．
- 已知函数．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ当时，求函数的值域．
- 已知函数，．
判断函数的单调性，并证明；
求函数的值域．
- 已知函数是定义域为上的奇函数，且．
用定义证明：函数在上是增函数，
若实数t满足，求实数t的范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，属于拔高题．
由已知得的周期为4，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称．
由，得，
所以，
则，即的周期为4，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以．
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化思想的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，属于一般题．
由题意可知，1是方程的根，利用根与系数的关系可求a，b，然后结合二次函数的性质可求．
【解答】
解：的解集为，
，1是方程的根，
，，
则二次函数的图像开口向下，对称轴，
在区间上，当时，函数取得最大值0，当时，函数取得最小值．
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题．
把原函数用分离常数法分开，再利用反比例函数的性质求解即可．
【解答】
解：，
又因为在区间上单调递减，
而函数在区间上单调递增，
须有，即，
故选 B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性和对称性，属于基础题．
由奇、偶函数的定义可知，，则可得．
【解答】
解：由是奇函数，得．
令，则，即．
由是偶函数，得
所以函数的图象关于直线对称，
则．
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数．
两函数若为同一函数，需定义域和对应法则相同，根据条件，逐一判断各函数的定义域和对应法则即可．
【解答】
解：A．与的定义域都为R，对应法则也相同，是同一个函数；
B.的定义域为R，的定义域为，不是同一个函数；
C.的定义域为，与，不是同一个函数；
D.的定义域为， 的定义域为R，不是同一个函数；
故选A．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的概念，属于基础题．
分别判断定义域和对应法则是否相同，据此求解．
【解答】
解：选项A中，的定义域为R，的定义域为，不是同一函数；
选项B中，，，不是同一函数；
选项C中，的定义域为R，的定义域为，不是同一函数；
选项D中，，，为同一函数．
故选D．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
判断同一函数的依据是定义域相同，对应法则相同，缺一不可．
本题考查同一函数的判断方法，同一函数需满足定义域相同，对应法则相同，缺一不可，属于简单题．
【解答】
解：A中，定义域为R，，定义域为，定义域不同，不是同一函数；B中，定义域为R，，定义域不同不是同一函数，
C中，，定义域为R，，定义域为R，定义域相同，对应法则相同，是同一函数；D中，，定义域为R，，定义域为，两者定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象与奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
由的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算时的函数值，根据其值即可排除A，D．
【解答】
解：由，，
知，
是上的奇函数，因此排除C，
又，因此排除A，D．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了新定义的理解和应用，要求学生掌握利用分离常数法求函数的值域的方法，是中档题．
分离常数法化简，根据新定义即可求得函数的值域．
【解答】
解：因为，
而，，，
则，，
所以．
当时，；
当时，．
综上可知，函数的值域为．
故选D
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，解决本题的关键是利用函数奇偶性解题．
设，则可判断为奇函数，进而根据求解即可．
【解答】
解：设，其定义域为R，
则
，
函数为奇函数，
即．
故选B．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．
由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关系，即可得到答案．
【解答】
解：函数的图象是开口向上，以直线为对称轴，
又函数在区间上是减函数，
，
解得．
故选B．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，属于拔高题．
由已知得的周期为4，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称．
由，得，
所以，
则，即的周期为4，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以．
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属于中档题．
要使函数是R上的增函数，须有在上单调递增，在上单调递增，且，由此可得不等式组，解出即可．
【解答】
解：要使函数是R上的增函数，须有在上单调递增，在上单调递增，
且，
所以有，解得，
故a的取值范围为．
故答案为：．
14.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查分段函数求值，属于基础题．
根据所给的函数解析式，代入求解，即可得到答案．
【解答】
解：因为函数，
所以．
故答案为0．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴．
由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到，从而解该不等式组即可得出a的取值
【解答】
解：在内是增函数，
根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a满足：，
解得，
的取值范围为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查复合函数的单调性和值域，考查二次函数和指数函数的性质．
利用复合函数的单调性的求法，可得函数的单调增区间为，单调减区间为，进而可得函数的值域．
【解答】
解：令，，
因为在R上递减，在递增，在递减，
由复合函数的单调性可得，函数的单调增区间为，单调减区间为
则，
故函数的值域是
故答案为；．
17.【答案】1，2，3，4，5，6，7，8，
1
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的定义的简单应用，以及圆周率的特点，考查推理能力，属于基础题．
由对任意的n，y的值总为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，可得所求值域；
考虑，结合圆周率的特点，即可得到结论．
【解答】
解：根据函数的定义可知，每一个圆周率上的数字n都对应唯一的y，
对任意的n，y的值总为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，
所以值域为1，2，3，4，5，6，7，8，；
由，可得，2，
由于
当时，；
当时，，而，
故函数与函数的交点有1个．
故答案为：1，2，3，4，5，6，7，8，；．
18.【答案】0，1，
【解析】
【分析】
结合已知新定义直接对分段考虑进行求解，然后把函数写成分段函数的形式，可求函数的值域．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，解题的关键是把已知定义转化为基本初等函数进行求解．
【解答】
解：当时，可取，0，1，2，即函数值域0，1，，
，
，
根据分段函数的性质可知，函数值域．
故答案为0，1，，．
19.【答案】解：由f
故当时，f 在和上单调递增，
又 ，
在R上单调递增，
当时，f 在和上单调递增，
在上单调递减．
由题意只需f ，f ，
首先，由可知，f 在上单调递增，
则f ，
解得或，
其次，当时，f 在R上单调递增，
故f ，
解得，
当时，f 在上单调递增，
故f ，
解得．
综上，实数a的取值范围为或．
【解析】本题考查求函数的单调区间及不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题．
对x进行分类讨论去绝对值，利用二次函数的性质得出的单调区间即可；
转化为f ，f ，借助函数的单调性求出的最值得出a的取值范围即可．
20.【答案】解：设，则，，又，，
，
且；
，
令，当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
，，
，
【解析】本题考查的知识点是函数解析式的求解及其常用方法，其中本题使用的换元法与配凑法，是已知复合函数解析式及内函数的解析，求外函数解析式时常用的方法．
利用换元法设，得，代入，进一步得函数的解析式；
把用表示后，整体代换即得．同时注意取值范围．由此可得出函数的解析式．
21.【答案】解：由函数．
Ⅰ由，．
Ⅱ由，．
Ⅲ当时，，
，
当时，，
当时，，
，
故当时，函数的值域是．
【解析】本题考查了求分段函数的函数值和分段函数值域的求解，属于基础题．
Ⅰ先求解，再求，即可得的值为；
Ⅱ由，可得．
Ⅲ对x的范围进行分段求解即可．
22.【答案】解：函数，，
函数是定义域上的单调递增函数，证明如下：
任取、，且，
则，
因为，
所以，，，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数；
因为函数是定义域上的单调递增函数，
且，
；
所以的值域是
【解析】本题考查了函数的单调性和值域，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
判断函数是定义域上的单调递增函数，用定义证明即可；
根据函数在定义域上的单调性求出最值，即可求出的值域．
23.【答案】解：函数是定义域为上的奇函数，
，，
，，
任取，，且，
，
，，
，，，，
函数在上是增函数．
，，
函数是定义域为上的奇函数，且．
，
函数在上是增函数，
解得．
故实数t的范围是
【解析】本题考查函数单调性的证明，考查单调性和奇偶性的综合应用，考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．
由函数是定义域为上的奇函数，求出，从而，利用定义法能证明函数在上是增函数；
由奇偶性推导出，由函数在上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围．
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