2022版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章 第10节　函数模型及其应用 Word版含答案学案

第十节　函数模型及其应用

［最新考纲］　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

1.常见的几种函数模型

（1）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.

（2）反比例函数模型：y＝＋b（k，b为常数且k≠0）.

（3）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.

（4）指数函数模型：y＝a·bx＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0）.

（5）对数函数模型：y＝mlogax＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0）.

（6）幂函数模型：y＝a·xn＋b（a≠0）.

2.三种函数模型之间增长速度的比较

3.解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

形如f（x）＝x＋（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：

（1）该函数在（－∞，－］和［，＋∞）内单调递增，在［－，0）和（0，］上单调递减.

（2）当x＞0时，x＝时取最小值2，

当x＜0时，x＝－时取最大值－2.

一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点.

  （　　）

（2）幂函数增长比直线增长更快. （　　）

（3）不存在x0，使ax0＜x＜logax0. （　　）

（4）f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，恒有h（x）＜f（x）＜g（x）.              （　　）

［答案］　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√

二、教材改编

1.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（　　）

（注：结余＝收入－支出）

A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

D　［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60（万元），故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45（万元），故D错误.］

2.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是（　　）

A.y＝2x　　　　　　 B.y＝x2－1

C.y＝2x－2   D.y＝log2 x

D　［根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.］

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为　　　　万件.

18　［利润L（x）＝20x－C（x）＝－（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值.］

4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　　　　.

3　［设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，

∴当x＝3时，y最大.］

考点1　用函数图象刻画变化过程

　判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

（2）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

　1.（2019·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m（0＜a＜12）.不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（　　）

A　　　　　B　　　　　C　 　　　D

B　［设AD的长为x m，则CD的长为（16－x）m，则矩形ABCD的面积为x（16－x）m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a（16－a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.］

2.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（　　）

A　　　　B　　 　C　　 　D

B　［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.］

3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（　　）

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

D　［根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.］

　准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.

考点2　应用所给函数模型解决实际问题

　求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该模型求解实际问题.

　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝x2＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋－38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

［解］　（1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，

L（x）＝5x－－3＝－x2＋4x－3；

当x≥8时，L（x）＝5x－－3＝35－.

所以L（x）＝

（2）当0＜x＜8时，L（x）＝－（x－6）2＋9.

此时，当x＝6时，

L（x）取得最大值L（6）＝9万元，

当x≥8时，L（x）＝35－≤35－2＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L（x）取得最大值15万元.

因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

　解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈（0，＋∞）.

　一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过　　　　min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.

16　［当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，

∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝（e－8 b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.］

考点3　构建函数模型解决实际问题

　构建函数模型解决实际问题的步骤

　构造二次函数、分段函数模型

　国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.

（1）写出每张飞机票的价格关于人数的函数；

（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

［解］　（1）设每团人数为x，由题意得0＜x≤75（x∈N*），每张飞机票价格为y元，

则y＝

即y＝

（2）设旅行社获利S元，

则S＝

即S＝

因为S＝900x－15 000在区间（0,30］上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12 000.

又S＝－10（x－60）2＋21 000，x∈（30,75］，所以当x＝60时，S取得最大值21 000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.

　解题过程——谨防2种失误

（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.

（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.

　构造y＝x＋（a＞0）模型

　某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

［解］　设该养殖场x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.

因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6（元），所以x天饲料的保管费与其他费用共是6（x－1）＋6（x－2）＋…＋6＝（3x2－3x）（元）.

从而有y＝（3x2－3x＋300）＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417，

当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

　利用模型f（x）＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.

　构建指数函数、对数函数模型

　（1）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017）（　　）

A.1.5%　　　　　　　　 B.1.6%

C.1.7%   D.1.8%

（2）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（提示：1.0653≈1.208）（　　）

A.93.8万亿元   B.99.9万亿元

C.97万亿元   D.106.39万亿元

（1）C　（2）B　［（1）设每年人口平均增长率为x，则（1＋x）40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg（1＋x）＝lg 2，所以lg（1＋x）＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.

（2）由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×（1＋6.5%）3≈99.9（万亿元）.故选B.］

　（1）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.

（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.

　1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤　　　　次才能达到市场要求.（已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）

8　［设至少过滤n次才能达到市场要求，

则2%≤0.1%，即≤，

所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.］

2.某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

［解］　（1）当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115＞0，解得x＞2.3，

∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.

当x＞6时，y＝［50－3（x－6）］x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.

∴y＝

（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈Z），

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋（6＜x≤20，x∈Z），当x＝11时，ymax＝270.

∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.