高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后复习题

[A　基础达标]

1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310元 B．300元

C．290元  D．280元

解析：选B．设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，

则解得

所以y＝500x＋300，

当x＝0时，y＝300.

所以营销人员没有销售量时的收入是300元．

2．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I，若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈(　　)

A．16　 B．20  

C．32　 D．90

解析：选C．因为r＝0.6lg I，所以I＝10.

当r＝6.5时，I1＝10；

当r＝7.4时，I2＝10.

所以n＝＝10÷10＝10＝10×≈32.

3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是(　　)

解析：选A．从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快．于是下面大，上面小，故选A．

4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约为(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)

A．1.78  B．2.77

C．2.89  D．4.40

解析：选B．由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln ＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.

5．(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A．60　 B．63  

C．66　 D．69

解析：选C．由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋e，e＝，e＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C．

6．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2017年为第1年)之间的关系统计如下：

则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的是________．(填序号)

解析：若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2.于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；

若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3.

于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；

若模型为①，则根据表中数据得即

解得经检验是最适合的函数模型．

答案：①

7．某种细菌经30 min数量变为原来的2倍且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：h)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5 h，1个细菌通过繁殖个数变为________．

解析：由题意知：当t＝时，y＝2，即2＝ek.

所以k＝2 ln 2，所以y＝e2t ln 2.

当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.

即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.

答案：2 ln 2　1 024

8．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

注：地震强度是指地震时释放的能量．

地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值为________．(取lg 2≈0.3进行计算)

解析：由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.

所以②－①，得0.2＝a lg ，

即0.2＝a lg 2.所以a＝＝＝.

答案：

9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？(参考数据：lg 11≈1.04，lg 2≈0.30)

解：由题意知40－24＝(88－24)·，

即＝，解得h＝10.

故T－24＝(88－24)·.

当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝.

两边取对数，求得t≈25.

因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.

10．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元且y＝logax，y∈[3，6]，年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．

(1)求奖金y关于x的函数解析式；

(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．

解：(1)依题意知y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，

由题意得

所以a＝2.

所以y＝

(2)易知x≥8.

当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，

则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024，所以16≤x≤64.

当x＞64时，要使y∈[4，10]，

则x∈[4，10]，即40≤x≤100，

所以64＜x≤100.

综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元).

[B　能力提升]

11．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．125  B．100

C．75  D．50

解析：选C．由已知得a＝a·e－50k，

即e－50k＝＝.

所以a＝·a＝(e－50k)·a＝e－75k·a，

所以t＝75.

12．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(单位：℃)与时间t(单位：min)近似满足一次函数关系(图象为图中的直线)；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y与时间t近似满足的函数关系式为y＝80＋b(a，b为常数)(图象为图中的曲线)，通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为________．

解析：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象对应的解析式为y＝80＋b，图象过点(5，100)和点(15，60)，则得即y＝80＋20，t≥5，当y＝40时，得80＋20＝40，即80＝20，得＝，得＝2，得t＝25.即最少需要的时间为25 min.

答案：25 min

13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：

从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．　

解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2 (t≥0).

答案：4　320·2 (t≥0)

14．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响，经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．

(1)求常数k的值；

(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)

解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；

当t＝5时，P＝90%P0.

于是有90%P0＝P0e－5k，

解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022).

(2)由(1)，知P＝P0e，

当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e，

解得t＝≈＝≈42.

故污染物减少到40%至少需要42 h．

[C　拓展探究]

15．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.

(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7).

(2)若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

解：(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，

当x＝100时，y＝9，代入解得k＝，

所以y＝lg x＋＋5.

当x∈[50，500]时，y＝lg x＋＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg 50＋6>7.5，

即资金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．

(2)对于函数模型f(x)＝＝15－，

a为正整数，函数在[50，500]上单调递增；

f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；

要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，

即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立，

所以a≥315.综上所述，315≤a≤344.

所以满足条件的最小的正整数a的值为315.