人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数同步训练题

[A　基础达标]

1．下列函数中一定是指数函数的是(　　)

A．y＝5x＋1  B．y＝x4

C．y＝  D．y＝2·3x

解析：选C．只有y＝符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合y＝ax(a>0，且a≠1)的形式．

2．函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m＝(　　)

A．2  B．1  

C．3  D．2或－1

解析：选D．由指数函数的定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.故选D．

3．若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为(　　)

A．  B．1  

C．2  D．0

解析：选A．点(a，27)在函数y＝()x的图象上，所以27＝()a，即33＝3，所以＝3，解得a＝6，所以＝.故选A．

4．已知f(x)＝3x，g(x)＝9x，若f(a)·g(b)＝，则下列各式正确的是(　　)

A．a＋b＝－1  B．a＋b＝1

C．a＋2b＝－1  D．a＋2b＝1

解析：选C．由3a·9b＝知，3a·32b＝3－1，即3a＋2b＝3－1，从而a＋2b＝－1.

5．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是(　　)

A．12 h  B．4 h  

C．3 h  D．2 h

解析：选C．设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝＝3 h．

6．已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，则x＝________．

解析：因为函数的图象过点(－1，2)，所以＝2，所以a＝1，所以f(x)＝，g(x)＝f(x)可变形为4－x－2－x－2＝0，解得2－x＝2，所以x＝－1.

答案：1　－1

7．已知函数f(x)＝则f＋f＝________．

解析：因为f＝f－1＝4－1＝1，f＝4＝2，所以f＋f＝1＋2＝3.

答案：3

8．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．

解析：由已知得解得所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.

答案：7

9．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．

解：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝2x.

(2)F(x)＝f(x)－f(－x)＝2x－2－x是奇函数．

证明如下：

F(x)的定义域是R，关于原点对称，且F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，所以F(x)是奇函数．

10．一片成熟森林的总面积为a(近期内不再种植)，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.

(2)设经过m年剩余面积为原来的，由题意可得a(1－x)m＝a，由(1)得＝，即＝，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．

[B　能力提升]

11．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的有(　　)

A．f(x＋y)＝f(x)f(y)

B．f(x－y)＝

C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q)

D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

解析：选CD．f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)·f(y)，A正确；f(x－y)＝ax－y＝＝，B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．故选CD．

12．如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)

A．浮萍每月的增长率为2

B．浮萍每月增加的面积都相等

C．第4个月时，浮萍面积不超过80 m2

D．若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3

解析：选AD．将点(1，3)的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，所以函数的解析式为y＝3t.对于A，由＝2，可得浮萍每月的增长率为2，A正确；对于B，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2(m2)，第2个月增加的面积为32－31＝6(m2)，2≠6，B错误；对于C，第4个月时，浮萍的面积为34＝81>80，C错误；对于D，由题意可得3t1＝2，3t2＝4，3t3＝8，因为42＝2×8，所以(3t2)2＝3t1×3t3，即32t2＝3t1＋t3，所以2t2＝t1＋t3，D正确．故选AD．

13．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝________．

解析：因为f(x)＝2x＋，f(a)＝5，

所以f(a)＝2a＋＝5.

所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋＝－2＝23.

答案：23

14．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．

解：当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，

所以函数f(x)为指数型函数，

令f(x)＝k(k≠0)，

又f(0)＝3，所以k＝3，

所以f(x)＝3×.

[C　拓展探究]

15．截止到2020年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万).

(1)求y关于x的函数关系式为y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若按此增长率，2031年年底的人口数是多少？

(3)哪一年年底的人口数将达到135万？

解：(1)2020年年底的人口数为130万；经过1年，2021年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；

经过2年，2022年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万).

…

所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).

即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).

(2)2031年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).

(3)由(2)可知，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.

2032年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，

2033年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).

所以2033年年底的人口数将达到135万．