高中数学4.2 指数函数第2课时习题

[A　基础达标]

1．不等式52x>5x－1的解集是(　　)

A．(－1，＋∞)　 B．

C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)

解析：选A．由52x>5x－1得2x>x－1，

解得x>－1.故选A．

2．指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为(　　)

A．单调递增

B．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增

C．单调递减

D．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减

解析：选C．因为指数函数f(x)＝ax在R上是减函数，所以0<a<1.所以－2<a－2<－1，所以函数g(x)＝(a－2)x3在R上单调递减，故选C．

3．已知a＝，b＝π0，c＝30.9，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c<b<a  B．c<a<b

C．b<a<c  D．b<c<a

解析：选D．b＝π0＝1.又30<30.9<31，则1<c<3.a＝31.1>3，即有a>c>b，即b<c<a.故选D．

4．函数f(x)＝是(　　)

A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数

B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数

C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数

D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数

解析：选B．因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，

又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，

故f(x)＝为增函数．故选B．

5．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集是(　　)

A．{x|－1<x<2}   

B．{x|0<x<4}

C．{x|x<－2，或x>2}   

D．{x|x<0，或x>4}

解析：选D．由偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，可得f(x)＝f(|x|)＝2|x|－4，则f(x－2)＝f(|x－2|)＝2|x－2|－4，要使f(|x－2|)>0，只需2|x－2|－4>0，即|x－2|>2，解得x<0或x>4.故选D．

6．已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________．

解析：由f(0)＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f(x)＝，易证其是奇函数．

答案：2

7．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________．

解析：令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，所以f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，令t＝－1，则其在(－∞，0]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，又y＝为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，0].因为t＝－1，所以t≥－1，所以∈(0，2].故f(x)的值域为(0，2].

答案：(－∞，0]　(0，2]

8．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．

解析：由指数函数定义知，b＝1，故a＋a2＝6，解得a＝2，或a＝－3，又因为a>0，所以a＝2.

答案：2

9．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．

解：因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2，

令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2.

因为－1≤x≤1，所以≤3x≤3，即t∈.

又因为对称轴t＝1∈，

所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.

10．已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，单调递增区间为[－2，＋∞).

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此a>0，且＝－1，解得a＝1.

(3)由指数函数的性质可知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax2－4x＋3的值域应为R，因此只能是a＝0，因为若a≠0，则h(x)为二次函数，值域不可能是R，故a的取值范围是{a|a＝0}．

[B　能力提升]

11．(多选)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)

A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)

B．f(－2)＜f(3)

C．f(x)－g(x)＝π－x

D．f(2x)＝2f(x)g(x)

解析：选ABD．A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x).

12．已知实数a，b满足等式＝，则下列关系式中不可能成立的是(　　)

A．0<b<a  B．a<b<0

C．0<a<b  D．b<a<0

解析：选CD．画出函数y＝和y＝的图象，借助图象分析a，b满足等式＝时的a，b大小关系，如图所示，若a，b均为正数，则a>b>0；若a，b为负数，则a<b<0；若a＝b＝0，则＝＝1，故选CD．

13．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．

解析：因为－1<x<0，所以由指数函数的图象和性质可得2x<1，2－x>1，0.2x>1.又因为0.5x<0.2x，所以b<a<c.

答案：b<a<c

14．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性，并证明；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝是R上的奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即＋＝0，所以＋＝0，解得a＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝，取任意的x1，x2∈R，且x1<x2，则2<2，2＋1>0，2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)＝－＝＝>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上是减函数．

(3)因为f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).由(2)知，f(x)在R上是减函数，所以t2－2t>－2t2＋k，即3t2－2t－k>0恒成立，所以Δ＝4＋12k<0，解得k<－.故实数k的取值范围是.

[C　拓展探究]

15．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．

若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

解：方法一：f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0.因为f(x)的定义域为[－1，1]，

所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解．

令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋.

设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，

所以当t∈时，g(t)∈，

即－2m∈，所以m∈.

方法二：当f(x)＝2x＋m时，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0.

令t＝2x，则t∈，故关于t的二次方程t2＋2mt＋1＝0在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)＝t2＋2mt＋1.

①当方程t2＋2mt＋1＝0在上只有一个解或有两个相同的解时，

需满足或f·f(2)≤0.　

解得m＝－1或m＝－.

当m＝－时，方程在区间上有两个解，不符合，故m＝－1.

②当方程t2＋2mt＋1＝0在上有两个不相等实数根时，

需满足⇒

故－≤m＜－1，

综上，m∈.