高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数综合训练题

[A　基础达标]

1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f＝(　　)

A．3 B．－3

C．－log36  D．－log38

解析：选B．因为函数f(x)为对数函数，所以logax的系数为1，即a2＋a－5＝1，解得a＝2或－3.因为底数大于0，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f＝－3.

2．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f(1)＝1，则a＝(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C．因为f(1)＝loga(1＋1)＝1，所以a1＝2，则a＝2.故选C．

3．函数f(x)＝lg (x－1)＋的定义域为(　　)

A．(1，4]  B．(1，4)

C．[1，4]  D．[1，4)

解析：选A．由题意得所以1＜x≤4.

4．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－1，3) B．(－1，3]

C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)

解析：选A．若要函数有意义，则

解得－1＜x＜3.

5．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为(　　)

A．lg 101  B．1

C．2  D．0

解析：选C．f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2.

6．对数函数f(x)的图象经过点，则f(x)＝________．

解析：设f(x)＝logax，由loga＝2，得a＝，则f(x)＝logx.

答案：logx

7．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(x)＝________，f(30)＝________．

解析：由已知得loga(6＋2)＝3，a＝2，所以f(x)＝log2(x＋2)，f(30)＝5.

答案：log2(x＋2)　5

8．已知下列函数：

①y＝log(－x)(x＜0)；

②y＝2log4(x－1)(x＞1)；

③y＝ln x(x＞0)；

④y＝logx(x＞0，a是常数).

其中为对数函数的是________．(填序号)

解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③.

答案：③

9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1，0).

(1)求a的值；

(2)求函数的定义域．

解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，

有0＝loga(－1＋a)，

则－1＋a＝1，所以a＝2.

(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，

所以函数的定义域为{x|x＞－2}．

10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q(Q＞0)，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.

(1)求出V关于Q的函数解析式；

(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．

解：(1)设V＝k·log3(Q＞0)，

因为当Q＝900时，V＝1，所以1＝k·log3，

所以k＝，所以V关于Q的函数解析式为V＝log3(Q＞0).

(2)令V＝1.5，则1.5＝log3，所以Q＝2 700，

即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位．

[B　能力提升]

11．(多选)下列函数中，与函数y＝x(x≥0)不相同的是(　　)

A．y＝  B．y＝()2

C．y＝lg 10x  D．y＝2

解析：选ACD．A中函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；B中函数的定义域是[0，＋∞)；C中函数的定义域是R；D中函数的定义域是(0，＋∞).故选ACD．

12．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∪(∁RN)＝(　　)

A．{x|x＜1}  B．{x|x≥－1}

C．∅  D．{x|－1≤x＜1}

解析：选A．M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|x＞－1}，所以M∪(∁RN)＝{x|－1＜x＜1}∪{x|x≤－1}＝{x|x＜1}．

13．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　)

A．0  B．10

C．1  D．

解析：选C．由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1.故选C．

14．设函数f(x)＝ln (x2＋ax＋1)的定义域为A.

(1)若1∈A，－3∉A，求实数a的取值范围；

(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意，得

所以a≥.故实数a的取值范围为[，＋∞).

(2)由题意，得x2＋ax＋1＞0在R上恒成立，

则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.

故实数a的取值范围为(－2，2).

[C　拓展探究]

15．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅．

(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；

(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？

解：(1)M＝lg A－lg A0＝lg ＝lg ＝lg 104＝4.

即这次地震的震级为4级．

(2)由题意得所以lg A8－lg A5＝3，

即lg ＝3.

所以＝103＝1 000.

即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.