专题13存在性问题 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案

专题十三《解析几何》讲义

13.8存在性问题

知识梳理.存在性问题

1.存在性问题的求解方法

(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤：

①假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在，用待定系数法设出；

②列出关于待定系数的方程(组)；

③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在．

(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法

2.字母参数值存在性问题的求解方法

求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程

题型.存在性问题

1．已知椭圆的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b＝c，

又斜边长为2，即2c＝2，解得c＝1，故，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为；

当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝1，

由，

故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．

下证明Q（0，1）为所求：

若直线l斜率不存在，上述已经证明．

设直线，

由，

，

，

，

∴，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）．

2．（2015·四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，

∴点（，1）在椭圆E上，

又∵离心率是，

∴，解得a＝2，b，

∴椭圆E的方程为：1；

（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．

理由如下：

当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，

如果存在定点Q满足条件，则有1，即|QC|＝|QD|．

∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，

则M、N的坐标分别为（0，）、（0，），

又∵，∴，解得y0＝1或y0＝2．

∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．

法一：

下面证明：对任意直线l，均有．

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+1，

A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），

联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，

∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，

∴x1+x2，x1x2，

∴2k，

已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），

又kAQk，kQB′kk，

∴kAQ＝kQB′，即Q、A、B′三点共线，

∴．

法二：

当斜率存在时，过点A作AA'⊥y轴，垂足为A'，过点B作BB'⊥y轴，垂足为B'，易知AA'∥BB'，则△AA'P相似于△BB'P，则，

若证上命题，则需证直线QA与直线QB交于点Q（0，2）时关于y轴对称，则要证kQA+kQB＝0，

联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，

∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，

∴x1+x2，x1x2，∴2k，

kAQk，kQBkk，可证得kQA+kQB＝0，

所以△QAA'相似于△QBB'

进而得证：，

当斜率不存在时，由上可知，结论也成立．

故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．

3．已知直线l1是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l2：3x﹣4y﹣6＝0，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）点M在直线l1上运动，过点M做抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）作PA，PB分别垂直l1和l2，垂足为A，B，抛物线C的焦点为，

由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，

显见d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离，故，

所以抛物线C的方程为x2＝4y．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l1的方程为y＝﹣1，当点M在特殊位置（0，﹣1）时，显见两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得MN⊥P1P2，点N必须在y轴上．

故设M（m，﹣1），N（0，n），，，

抛物线C的方程为，求导得，所以切线MP1的斜率，

直线MP1的方程为，又点M在直线MP1上，

所以，整理得，

同理可得，

故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，由韦达定理得，[﹣4m+（n+1）（x2+x1）]，

可见n＝1时，恒成立，

所以存在定点N（0，1），使得MN⊥P1P2恒成立．

4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（m，2），且P到抛物线焦点的距离为2，直线l过点Q（2，﹣2），且与抛物线相交于A，B两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若点Q恰为线段AB的中点，求直线l的方程；

（3）过点M（﹣1，0）作直线MA、MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线l的斜率k；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（m，2），可得2pm＝4，即pm＝2，

P到抛物线焦点的距离为2，可得2，即m，

解得p＝2，m＝1，则抛物线方程为y2＝4x；

（2）直线l过点Q（2，﹣2），可设直线l的方程为y+2＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k﹣2，

代入y2＝4x，消去x，可得ky2﹣4y﹣8k﹣8＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2，

由点Q（2，﹣2）恰为线段AB的中点，可得4，即k＝﹣1，满足△＞0，

可得直线l的方程为y＝﹣x；

（3）设（，y1），B（，y2），C（，y3），D（，y4），

设直线l的方程为y+2＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k﹣2，

代入y2＝4x，消去x，可得ky2﹣4y﹣8k﹣8＝0，

y1+y2，y1y2，

由M，A，C三点共线可得，化为y1y3＝4，即y3，

同理可得y4，

假设C，D，Q三点共线，可得即y3y4+2（y3+y4）+8＝0，

可得1＝0，即1＝0，解得k，

所以当直线l的斜率为，C，D，Q三点共线．

课后作业.存在性问题

1．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，

因为动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，…………………………………（1分）

所以，①…………………………………………………（2分）

又动圆P与直线x＝﹣1相切，

所以r＝x+1，②…………………………………………………………………（3分）

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．………………………………………………（5分）

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，，，，………………（6分）

所以，③………………（7分）

显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty﹣2，

联立方程组，消去x得y2﹣8ty+16＝0，

由△＞0得t＞1或t＜﹣1，所以y1+y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2．…………………（8分）

代入③式得，令（m为常数），

整理得，④…………………………（9分）

因为④式对任意t∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，

所以，…………………………………………………（10分）

所以或，即M（2，4）或M（2，﹣4），

即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，﹣4）满足题意．……………………（12分）

2．设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，1），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T（0，t）（t≠1），问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．

【解答】解：（1）设点M的坐标（x0，y0），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，

∴，，

，，，∴a＝2，

∴椭圆E的方程．

（2）设直线l方程：y＝kx+t，代入，得（4k2+1）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，

假设存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B，则．

∴，，

0，

即x1x2+（kx1+t﹣1）（kx2+t﹣1）＝0，

得，

整理得4（t2﹣1）+（t﹣1）2＝0，

∴（∵t≠1），

当时，符合题意．

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日期：2021/8/23 0:15:37；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：3235506