新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.1　函数的概念及其表示

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必备知识预案自诊
知识梳理
1.函数及其相关的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的 ,在集合B中都有 确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示方法:表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)定义:
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果函数y=f(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.( )
(2)如果函数y=f(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.( )
(3)函数y=f(x)的图象与直线x=1有两个交点.( )
(4)两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
2.(2020北京,11)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是 .
3.已知f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:
则f(g(3))等于( )

A.1B.2
C.3D.不存在
4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f(x)=1-x2,x≤1,x2+x-2,x>1,则f1f(2)的值为( )
A.1516B.-2716
C.89D.18
5.已知函数f(2x+1)的定义域为(-2,0),则f(x)的定义域为( )
A.(-2,0)B.(-4,0)
C.(-3,1)D.-12,1
关键能力学案突破
【例1】以下给出的同组函数中,表示同一个函数的有 .
(1)f1:y=xx;f2:y=1.
(2)f1:y=1,x≤1,2,1f2:
(3)f1:y=2x;f2:如图所示.
解题心得两个函数是否表示同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才表示同一个函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一个函数.
对点训练1(1)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )

A.y=12xB.y=13x
C.y=23xD.y=x
(2)下列四个图象中,是函数图象的是( )
A.①B.①③④
C.①②③D.③④
(3)下列四组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=x2,y=(t)2B.y=|x|,y=t2
C.y=x2-1x-1,y=x+1D.y=x,y=x2x
【例2】(1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=lg2(1-x)+x+1的定义域为( )
A.(-∞,1)B.[-1,1)
C.(-1,1]D.[-1,+∞)
(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=xB.y=lg x
C.y=2xD.y=1x
(3)(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .
解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.
2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.
对点训练2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函数f(x)=25-4x2+ln(ex-1)的定义域为 .
(2)若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域为( )
A.[-1,1]B.[-1,0]
C.[0,1]D.[2,8]
【例3】(1)已知f2x+1=lg x,求f(x).
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.
(3)已知f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x).
解题心得函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(3)方程法:已知关于f(x)与f1x或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x).
提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.
对点训练3(1)如果f1x=x1-x,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于( )
A.1xB.1x-1(x≠0且x≠1)
C.11-xD.1x-1(x≠0且x≠1)
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)= .
(3)已知函数的定义域为R,且f(x)+2f(-x)=x2-x,则f(x)= .
考向1 分段函数求值
【例4】(2020广东汕头一模,文13)已知函数f(x)=2-x,x≤1,2-x,x>1,则f[f(-2)]= .
考向2 求参数的值(范围)
【例5】设f(x)=x,0
A.2B.4C.6D.8
考向3 求自变量的值(范围)
【例6】(2020安徽合肥二模,文9)已知函数f(x)=lg2x,x>1,x2-1,x≤1,则f(x)A.(-1,+∞)B.(-1,1)
C.-12,+∞D.-12,1
解题心得分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.
(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.
(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.
对点训练4(1)(2020湖南郴州二模,文14)函数f(x)=1+lg3(3-x),x<0,3x,x≥0,则f(-6)+f(lg37)= .
(2)(2020山东青岛二模,4)已知函数f(x)=sinx,x≤0,lg2(a+x),x>0,且ff-7π6=1,则a=( )
A.32B.2C.3D.ln 2
(3)设函数f(x)=x+1, x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+fx-12>1的x的取值范围是 .
【例7】某地区上年度电价为0.80元/kW·h,年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.40元/kW·h.
经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.30元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.
对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是 .
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.
类型一 已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域
其解法是:若f(x)的定义域为[a,b],则在f[g(x)]中,令a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域.
【例1】已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求f(3x-5)的定义域.
【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1≤u≤5,即-1≤3x-5≤5,求x的取值范围.
解∵f(x)的定义域为[-1,5],
∴-1≤3x-5≤5,∴43≤x≤103,
故函数f(3x-5)的定义域为43,103.
类型二 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域
其解法是:若f[g(x)]的定义域为m≤x≤n,则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.
【例2】已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f(x)的定义域.
【解题指导】令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),
由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.
解由0≤x≤3,得1≤x2-2x+2≤5.
令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),1≤u≤5.
故f(x)的定义域为[1,5].
类型三 已知f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域
其解法是:先由f[g(x)]的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f [h(x)]的定义域.
【例3】函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是( )

A.0,52B.[-1,4]
C.[-5,5]D.[-3,7]
答案A
解析因为f(x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4,则f(x)的定义域[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤52,所以f(2x-1)的定义域是0,52.故选A.
类型四 运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.
【例4】若函数f(x)的定义域是[-3,5],求φ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.
解由f(x)的定义域为[-3,5],则φ(x)必有-3≤-x≤5,-3≤2x+5≤5,解得-4≤x≤0.
所以函数φ(x)的定义域为[-4,0].
第二章 函数
2.1 函数的概念及其表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.对应关系f 唯一
考点自诊
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2.(0,+∞) 由题意得x>0,x+1≠0,则x>0,故答案为(0,+∞).
3.C 由题中表格知g(3)=1,
故f(g(3))=f(1)=3.
4.A 因为当x>1时,f(x)=x2+x-2,所以f(2)=4,1f(2)=14.又当x≤1时,f(x)=1-x2,所以f1f(2)=f14=1-142=1516,故选A.
5.C ∵f(2x+1)的定义域为(-2,0),则-2关键能力·学案突破
例1(2)(3) (1)不是同一个函数.y=xx的定义域为{x|x≠0},y=1的定义域为R.
(2)是同一个函数.f1与f2的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一个函数的不同表示方式.
(3)是同一个函数.理由同(2).
对点训练1(1)C (2)B (3)B (1)依据函数的概念,集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,故选项C不符合.
(2)①中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象;②中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.故选B.
(3)A,C,D中两个函数的定义域均不同,不是同一个函数;B中两个函数的定义域相同,化简后为y=|x|及y=|t|,对应关系也相同,是同一个函数.故选B.
例2(1)B (2)D (3)-1,-12 (1)使函数有意义,则x满足1-x>0,x+1≥0,解得-1≤x<1,即函数f(x)=lg2(1-x)+x+1的定义域为[-1,1),故选B.
(2)y=10lgx=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x的定义域和值域均为R;y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R;y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);y=1x的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.
(3)由题意知,-x-x2>0,∴-1对点训练2(1)0,52 (2)A (1)要使函数f(x)=25-4x2+ln(ex-1)有意义,则x满足25-4x2≥0,ex-1>0,解得-52≤x≤52,x>0,所以0(2)函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y=f(3x+2)的值域为[-1,1].故选A.
例3解(1)令2x+1=t.∵x>0,∴t>1,且x=2t-1.∴f(t)=lg2t-1.
故f(x)=lg2x-1(x>1).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx,
又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
所以2a+b=b+1,a+b=1,解得a=b=12.
所以f(x)=12x2+12x,x∈R.
(3)∵f(x)+2f1x=x,
∴f1x+2f(x)=1x.
解方程组f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x,
得f(x)=23x-x3(x≠0).
对点训练3(1)B (2)2x+7 (3)13x2+x (1)令t=1x,得t≠0且t≠1,x=1t,∴f(t)=1t1-1t=1t-1,∴f(x)=1x-1(x≠0且x≠1).
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,则有a=2,b+5a=17,解得a=2,b=7.故f(x)=2x+7.
(3)由f(x)+2f(-x)=x2-x,①
得f(-x)+2f(x)=x2+x,②
①-2×②,得f(x)=13x2+x.
例414 已知f(x)=2-x,x≤1,2-x,x>1,
则f[f(-2)]=f(2)=2-2=14.
例5C f(x)的图象如图所示.
因为f(a)=f(a+1),所以01,a=2(a+1-1),所以a=14.
所以f1a=f(4)=2×(4-1)=6.
例6C 当x≤0时,则x+1≤1,则不等式f(x)当01,则不等式f(x)此时f(x)=x2-1<0当x>1时,不等式f(x)1.
综上可得,不等式的解集为-12,+∞,故选C.
对点训练4(1)10 (2)A (3)-14,+∞ (1)由题意,得f(-6)+f(lg37)=1+lg39+3lg37=1+2+7=10.
故答案为10.
(2)因为f-7π6=sin-7π6=-sinπ+π6=sinπ6=12,
所以ff-7π6=f12
=lg2a+12=1,
所以a+12=2,a=32.
(3)由题意得当x>12时,2x+2x-12>1恒成立,即x>12;当01恒成立,即0当x≤0时,x+1+x-12+1>1,解得x>-14,即-14例7解(1)依题意,当实际电价为x元/kW·h时,用电量将增加至kx-0.4+akW·h,故电力部门的收益为y=kx-0.4+a(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)易知,上年度的收益为[(0.8-0.3)a]元,依题意,0.2ax-0.4+a(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),且0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.所以,当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
对点训练5①②③ -f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,故④错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,故③正确.
1.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.
2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
3.函数定义域的求法
类 型
x满足的条件
,n∈N*
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
lgaf(x)(a>0,a≠1)
f(x)>0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
x
1
2
3
f
3
1
2
g
3
2
1
考点
函数及其相关的概念
x
x≤1
1x≥2
y
1
2
3
考点
求函数的定义域、值域
考点
求函数的解析式
考点
分段函数(多考向探究)
考点
函数在实际生活中的应用