新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：5.1　平面向量的概念及线性运算

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必备知识预案自诊
知识梳理
1.平面向量的有关概念
2.平面向量的线性运算
续 表
3.向量共线定理
(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 .
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得OP=(1-λ)OA+λOB.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.( )
(2)AB+BC+CD=AD.( )
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.( )
(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
2.(2020河南开封模拟)AB+BC-AD=( )
A.CD
B.CB
C.AD
D.DC
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的中点为D,则下列结论正确的是( )
A.G是△ABC的三条中线的交点
B.GA+GB+GC=0
C.AG=2GD
D.AG=GD
4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ= .
5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
关键能力学案突破
【例1】给出下列四个说法:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确说法的序号是( )

A.②③B.①②C.③④D.②④
解题心得平面向量有关概念的关键点
(1)平面向量定义的关键是方向和大小.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
对点训练1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使a|a|+b|b|=0成立的是( )
A.a=2bB.a∥b
C.a=-13bD.a⊥b
【例2】(1)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=( )
A.23a+13bB.13a+23b
C.13a-23bD.23a-13b
(2)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),则λ+μ等于( )
A.1B.34C.23D.12
解题心得平面向量的线性运算的求解策略
(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加法、减法运算及数乘运算来求解.
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练2(1)在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且|BO|=3|CO|,当AO=xAB+yAC时,x-y=( )
A.-2B.-3
C.2D.3
(2)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则AF=( )
A.34AB+14ADB.14AB+34AD
C.12AB+ADD.34AB+12AD
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散1若将本例(1)中“BC=2a+8b”改为“BC=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线?
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解题心得
[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
使用向量共线定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.
对点训练3(1)在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形B.平行四边形
C.梯形D.菱形
(2)已知O为△ABC内一点,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t=( )
A.14B.13C.12D.23
第五章 平面向量、复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.大小 方向 长度 模 0 1个单位长度
相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反
2.b+a a+(b+c) |λ||a| 相同 相反
(λμ)a λa+μa λa+λb
3.(1)b=λa
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2.D AB+BC-AD=AC-AD=DC,故选D.
3.ABC 对于A,△ABC三条中线的交点就是重心,故A正确;对于B,根据平行四边形法则可知GB+GC=2GD,因为点G是△ABC的重心,所以GA=-2GD,所以GA+GB+GC=0,故B正确;
对于C,因为点G是△ABC的重心,所以AG=2GD,所以AG=2GD,故C正确,D错误.故选ABC.
4.-12 依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以1-2k=0,k+λ=0,解得k=12,λ=-12.
5.3 ∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,
∴a·b=-12,
∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.
关键能力·学案突破
例1A ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,因此AB=DC.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确说法的序号是②③.
对点训练1C 由a,b都是非零向量及a|a|+b|b|=0,得a|a|=-b|b|≠0,即a=-b|b|·|a|≠0,则a与b方向相反,因此当向量a与向量b方向相反时,能使a|a|+b|b|=0成立.对照各个选项可知,选项A中a与b的方向相同;选项B中a与b方向相同或相反;选项C中a与b的方向相反;选项D中a与b互相垂直.
例2(1)A (2)B (1)∵AB=a,AC=b,
BD=13BC,∴AD-AB=13(AC-AB),∴AD=23AB+13AC=23a+13b.故选A.
(2)∵E为线段AO的中点,
∴BE=12BA+12BO=12BA+12×12BD=12BA+14BD=λBA+μBD,∴λ+μ=12+14=34.故选B.
对点训练2(1)A (2)D (1)如图.
∵|BO|=3|CO|,
∴BO=3CO.
∴BO=32BC=32(AC-AB).
∴AO=AB+BO=AB+32(AC-AB)=-12AB+32AC.又AO=xAB+yAC,∴x=-12,y=32.
∴x-y=-2,故选A.
(2)根据题意得AF=12(AC+AE),又因为AC=AB+AD,AE=12AB,
所以AF=12AB+AD+12AB=34AB+12AD.故选D.
例3(1)证明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,
∴AB,BD共线,又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=0,λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.
变式发散1解BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使BD=λAB,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
∴4=λ,m-3=λ,解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
变式发散2解因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以k=λ,kλ=1,所以k=±1.
又因为λ<0,k=λ,所以k=-1.
故当k=-1时,两向量反向共线.
对点训练3(1)C (2)B (1)由已知,得AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,故AD∥BC.又因为AB与CD不平行,所以四边形ABCD是梯形.
(2)设E是BC边的中点,则12(OB+OC)=OE,由题意得AO=OE,所以AO=12AE=14(AB+AC)=14AB+14tAD.又因为B,O,D三点共线,所以14+14t=1,解得t=13,故选B.
名称
定 义
备 注
向量
既有 又有 的量叫做向量;向量AB的大小称为向量AB的 (或称 )
记作|AB|
零向量
长度为 的向量叫做零向量;其方向是任意的
记作0
单位
向量
长度等于 的向量,叫做单位向量
非零向量a的单位向量为±a|a|
平行
向量
方向 或 的非零向量叫做平行向量
零向量与任意向量 或共线
共线
向量
的非零向量又叫做共线向量
相等
向量
长度 且方向 的向量叫做相等向量
两向量只有相等或不相等,不能比较大小
相反
向量
长度 且方向 的向量叫做相反向量
零向量的相反向量仍是零向量
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运 算 律
加法
求两个向量和的运算,叫做向量的加法
(1)交换律:a+b=
(2)结合律:
(a+b)+c=

减法
向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法
a-b=a+(-b)
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运 算 律
数乘
求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘
(1)|λa|= ;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;当λ<0时,λa的方向与a的方向 ;当λ=0时,λa=0
λ(μa)= ;
(λ+μ)a= ;
λ(a+b)=
(λ,μ为实数)
1.P为线段AB的中点⇔OP=12(OA+OB).
2.若G为△ABC的重心,则有
(1)GA+GB+GC=0;(2)AG=13(AB+AC).
3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.
4.对于起点相同、终点共线的三个向量OP,OP1,OP2(O与P1,P2不共线),总有OP=uOP1+vOP2,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1.
5.对于任意两个向量a,b,都有:
(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
考点
平面向量的有关概念
考点
平面向量的线性运算
考点
向量共线定理的应用