人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试精品练习题

8.1.2向量数量积的运算律同步练习人教   B版（2019）高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在边长为3的等边三角形ABC中，，则       

A.  B.  C.  D.

2. 设向量，满足，，则的最小值为

A.  B.  C. 1 D.

3. 已知菱形ABCD的边长为a，，则

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量与的夹角为，，，则

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

5. 已知非零向量满足，则与的夹角为 

A.  B.  C.  D.

6. 在平行四边形ABCD中，，，，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的最大值为   

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6

7. 已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为

A.  B.  C.  D.

8. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则

A.  B.  C.  D.

9. 已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是     

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，是顶角为 的等腰三角形，且，则 

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为

A. 2
B. 4
C.
D.

12. 已知，，向量在上的投影向量的模长是4，则可能为   

A. 12 B. 8 C.  D. 2

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，D为“弦”BC上一点不含端点，且满足勾股定理，则          ．
14. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为          
15. 已知，，，则与的夹角为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知C是平面ABD上一点，，．

若，则          ；

若，则的最大值为          ；

17. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，且，则          ；若M为边BC的中点，则          
18. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，且，则          ；若M为边BC的中点，则          

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知向量．
    若，其中，求的坐标；
    若与的夹角为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知

求与的夹角；

在平面四边形ABCD中，若，求的面积．






 

21. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，，O为线段BC上一点．
     

Ⅰ求的值；

Ⅱ试确定点O的位置，使得最小．






 

22. 已知向量和，，且．

若与的夹角为，求k的值；

记，是否存在实数x，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数x的取值范围；若不存在，试说明理由．






 

23. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．

设，求的值；

若，求的值．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
利用已知条件求出，然后求解向量的数量积即可，注意判断向量的夹角．

【解答】

解：在边长为3的等边三角形ABC中，，
所以，
则．
故选C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的模长计算，考查二次函数的最值，属于基础题．
两边平方，得出关于x的二次函数，从而得出最小值．

【解答】

解：，
当时，取得最小值．
故选：B．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算．

由已知可求，，从而求得结果．

【解答】

解：菱形ABCD的边长为a，， 

，，
，

，

．
故选D ．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程，知道是解题的关键，属于基础题．
由已知条件对两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出．

【解答】

解：根据条件，；
解得，或舍去．
故选C．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用平面向量数量积运算求向量夹角，考查计算能力，属于基础题．
由向量模相等，两边平方可以得出答案．

【解答】解：由，
得，
解得，所以，
则与的夹角为，
故选B．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的几何意义及平面向量的数量积．
用、表示出、，再利用数量积公式计算即可．

【解答】

解：如图所示：

设
则有

，


，
当有最大值为5．
故选C．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围．
由平面向量的线性运算得：得：，由向量模的运算得：，由二次函数的性质可得：当时，取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．

【解答】

解：由题意有：不共线向量，夹角为，，，
由，，
得：，
所以
，
由二次函数的性质有：当时，取最小值，
即，
解得，
又，
即，
故选：C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

 本题考查平面向量的基本运算、垂直性质．
先求出和，再根据得，进而分析即可．

【解答】

解：如图，在中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，．

故．

同理．

由得，故．
由D为BC的中点，E为AB的中点，且，得，
所以又E为AB的中点，所以．
故选D．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属中档题．
由题意，可得，  ，解之即可．

【解答】

解：设与的夹角为，
方程有实根，，

．
，
，．
故选B．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的运算，属于基础题．
利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．

【解答】

解：是顶角为 的等腰三角形，且，则，
则，，
则
．
故选：C．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线定理以及平面向量数量积，考查基本不等式求最值，属于拔高题．
先由点D为BC的三等分点，利用表示，即可将表示为，由于P、C、D三点共线，则，再结合面积公式，借助基本不等式得解．

【解答】

 解：，，
，
由于P、C、D三点共线，
则，
，即，
设，
，，
，解得，
当且仅当时取等号．
，即的最小值为2．
故选A．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的数量积和投影向量，关键是知道向量的数量积的计算方法．
设与夹角为，根据投影向量的模长为4可得，进而可得．

【解答】

解：设与夹角为，由题意知，则
又，
．
故选A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题以历史文化为背景考查向量的数量积运算，属于基础题．
由题可知，，根据数量积运算即可求解．

【解答】

解：由等面积法可得，
依题意可得，
所以．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出与的夹角的余弦值，可得与的夹角．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．

【解答】

解：非零向量，满足，且，
设与的夹角，
则，
，
，，
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积、向量的夹角的计算，属于基础题．
根据向量的数量积公式，即可得出结果．

【解答】

解：，，，
，即：，
设与的夹角为，
则，
解得，又，
故 
故答案为．

 

16.【答案】     

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和模的运算，
由可得答案，先求得，结合C为BD的中点时等号成立可得答案

【解答】

解：因为，，所以，

又，所以；

因为，所以，由，

得，

所以，当且仅当C为BD的中点时，BD取得最大值为2．

即的最大值为2．
故答案为

17.【答案】

【解析】

【分析】

解：，
由正弦定理可得，
，
，，
，可得，
为边BC的中点，，，
则，
两边平方可得
，
解得．
故答案为：；．
 

【解答】

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量的数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求，可得，由题意，两边平方，利用平面向量的数量积的运算即可求解的值．

18.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量的数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于综合题．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求，可得，由题意，两边平方，利用平面向量的数量积的运算即可求解的值．

【解答】

解：，
由正弦定理可得，
，
，，
，可得，
为边BC的中点，，，
则，
两边平方可得，
解得．
故答案为：．
 

19.【答案】解：由题意，可知，
则，
故，
，
，
．
由题意，可知
，
则
，


．
 

【解析】本题主要考查向量的模的计算，以及数量积的运算，属基础题．
先根据已知条件代入可得向量关于的坐标，然后根据模的定义进行计算，即可得到的值，从而可得的坐标；
先计算出的模，然后根据向量的运算及向量的数量积对进行化简计算并代入数值即可计算出结果．
 

20.【答案】解

，
又，
，
，
边的长度为．
在中，由正弦定理可得
即
所以，得
又，
，

 

【解析】本题考查正弦定理与向量运算，属于中档题．
将展开化简即可；
利用，求出AC长度，再利用正弦定理列式从而求出，进而得出为直角三角形，求出面积．
 

21.【答案】解：Ⅰ，，
，，

，
，
即，
，
．
Ⅱ设，
则

，


 

当时，即时，最小．

【解析】本题考查向量的数量积的应用，向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，有一定难度．
Ⅰ通过向量共线以及向量的数量积转化求解即可．
Ⅱ设，由向量的加减运算可得，利用二次函数的性质求解最小值即可．
 

22.【答案】解：，与的夹角为，
则，
由，两边平方可得，
，
，
即有，
解得；
 由得，
即
即可得，

，
，
因为对于任意恒成立，
，                     
所以，
即对于任意恒成立，
构造函数，
从而．
由此可知不存在实数x使之成立
 

【解析】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，构造一次函数运用单调性是解题的关键，属于拔高题．
运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，解方程即可得到k的值；
求出，再由二次函数性质求得的最小值，假设存在实数x，使得对任意的恒成立，构造一次函数运用单调性，解不等式即可判断．
 

23.【答案】解：中，D是BC的中点，，AD与CE交于点O．
设，
又，，
所以，
所以，
又，
所以，
由组成方程组解得，
所以；
设，
；
所以，，
所以，，
所以；
又，
所以，
所以，
所以．
 

【解析】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
用、表示，再用、表示，利用向量相等列方程组求出x、y的值即可；
先求出，再用、表示出、，利用即可求得的值．