专题13 解析几何 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案

这是一份专题13 解析几何 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案，共18页。
专题十三《解析几何》专项练习
一．选择题（共8小题）
1．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为5，则直线l的方程为（　　）
A．x+2y+5＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+3＝0
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心C（1，2），
∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为5，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y＝k（x﹣1）+2，
且|-k+2|k2+1=5，
解得k=-12，
∴直线l的方程为y=-12（x﹣1）+2，即x+2y﹣5＝0．
故选：C．
2．已知点M（a，b）（ab≠0）是圆C：x2+y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是ax+by＝r2，那么（　　）
A．l∥m且m与圆c相切 B．l⊥m且m与圆c相切
C．l∥m且m与圆c相离 D．l⊥m且m与圆c相离
【解答】解：由题意可得a2+b2＜r2，且CM⊥直线l，故直线l的斜率为-1KCM=-ab．
直线m的方程是ax+by＝r2，那么直线m的斜率为-ab，圆心C到直线m的距离等于|0+0-r2|a2+b2＞r，
故l∥m且m与圆c相离，
故选：C．
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于A，B两点，交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则|AB|＝（　　）
A．103 B．163 C．3 D．5
【解答】解：作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|＝|BF|，
又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，∴|BN|P=23
∴|BN|=43，|CF|＝4
∵P|AM|=|CF||CA|，∴2|AF|=44+|AF|，解得AF＝4，
∴|AB|＝|BF|+|AF|＝4+43=163．
故选：B．

4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F且垂直于x轴的直线交双曲线C的一条渐近线于点P，若|OP|=2|OF|，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．5-1
【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，则P（c，bca），|OP|=2|OF|，
可得c2+b2c2a2=2c，可得a＝b，所以双曲线的离心率为：e=ca=1+b2a2=2．
故选：A．
5．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，交C于点P，若OP→⋅OF→=2，cos∠OPF=33，则椭圆C的方程为（　　）
A．x24+y23=1 B．x24+y22=1
C．x24+y2=1 D．x22+y2=1
【解答】解：∵|OF|＝c，PF⊥x轴，cos∠OPF=33，
∴sin∠OPF=63，|OP|=|OF|sin∠OPF=c63=62c，
∵OP→⋅OF→=2，
∴|OP|•c•cos∠OPF＝|OP|•c•63=62c•c•63=2，
解得c2＝2，
即c=2
∴|OP|=3，
∴|PF|=3×33=1，
∴P（2，1），
∴2a2+1b2=1，
∵a2﹣b2＝c2＝2，
∴a2＝4，b2＝2，
∴x24+y22=1
故选：B．

6．已知F2是双曲线C：x29-y23=1的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆E：x2+（y+2）2＝1上一点，则|AB|+|AF2|的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．53 D．63
【解答】解：设双曲线C的左焦点F1（﹣23，0），圆E：x2+（y+2）2＝1上一点，E（0，﹣2）
|AF2|＝|AF1|+2a＝|AF1|+6，
∴|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6＝|AB|+|AF1|+|BE|+5≥|F1E|+5=12+4+5＝9．
故选：A．

7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，若在以线段AB为直径的圆上存在两点M、N，在直线l：x+y+a＝0上存在一点Q，使得∠MQN＝90°，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣13，3] B．[﹣3，1] C．[﹣3.13] D．[﹣13.13]
【解答】解：过点F（1，0）且斜率为1的直线方程为：y＝x﹣1．
联立y=x-1y2=4x⇒x2﹣6x+1＝0
∴AB的中点坐标为（3，2）
AB＝x1+x2+p＝8
所以以线段AB为直径的圆圆D：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16，圆心D为：（3，2），半径为r＝4，
∵在圆C上存在两点M，N，在直线l上存在一点Q，使得∠MQN＝90°，
即在直线l上存在一点Q，使得Q到D（3，2）的距离等于2r＝42，
∴只需D（3，2）到直线l的距离小于或等于42，

∴|3+2+a|2≤42⇒﹣13≤a≤3，
故选：A．
8．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆上一点，|PF2|＝|F1F2|＝2c，若∠PF2F1∈（π3，π），则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A．（0，12） B．（0，13） C．（12，1） D．（13，12）
【解答】解：∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，
∴△PF1F2是以PF1为底的等腰三角形，|PF1|＝2a﹣2c，
过F2作F2A⊥PF1交PF1于A，
则有cos∠PF1F2=|AF1||F1F2|=12|PF1||F1F2|=a-c2c，
∵∠PF2F1∈（π3，π），∴∠PF1F2∈（0，π3），
∴cos∠PF1F2=a-c2c∈（12，1），
即12＜a-c2c＜1，解得13＜ca＜12．
∴该椭圆的离心率的取值范围是（13，12）．
故选：D．

二．多选题（共4小题）
9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　）
A．|PQ|的最小值为4
B．已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是4
C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥2
D．过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【解答】解：对于A，设直线PQ的方程为x＝ty+1,
联立解方程组x=ty+1y2=4x,可得y2﹣4ty﹣4＝0，x1x2=(y1y2)216=1，
|PQ|＝x1+x2+p＝x1+x2+2≥2x1x2+2＝4，故A正确；
对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|＝xS+xT+p＝10,则xS+xT＝8,
则线段ST的中点横坐标是xS+xT2=4,故B成立；
对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|＝|MP|+|PF|≥|MF|=2，所以C正确；
对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；
故选：ABC．
10．若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是（　　）
A．若C为椭圆，则1＜t＜3
B．若C是双曲线，则其离心率有1＜e＜2
C．若C为双曲线，则t＞3或t＜1
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2
【解答】解：若t＝2，方程x23-t+y2t-1=1即为x2+y2＝1，它表示圆，故A错．
对于B，若C为双曲线，则（3﹣t）（t﹣1）＜0，即t＜1或t＞3．
当t＜1时，则方程可变形为x23-t-y21-t=1，它表示焦点在x轴上的双曲线，
离心率e=1+1-t3-t=1+(3-t)-23-t=2+2t-3＜2，1＜e＜2；
当t＞3时，则方程可变形为y2t-1-x2t-3=1，它表示焦点在y轴上的双曲线，
离心率e=1+t-3t-1=1+(t-1)-2t-1=2+-2t-1＜2，1＜e＜2．
故B正确．
对于C，由B可知正确；
对于D，若方程x23-t+y2t-1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则t﹣1＞3﹣t＞0，得2＜t＜3．
故D错．
故选：AD．
11．已知F1，F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为35
B．存在点A使得AF1⊥AF2
C．若|AF2|+|BF2|＝12，则|AB|＝8
D．OP与AB的斜率满足kop⋅kAB=-925
【解答】解：因为椭圆的方程为x29+y225=1，
所以a2＝25，b2＝9，椭圆的焦点在y轴上，
所以c2＝a2﹣b2＝16，
所以F1（0，4），F2（0，﹣4），
设直线l的方程为y﹣4＝kx，即y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
对于A：由上知椭圆的离心率为e=ca=45，故A不正确；
对于B：AF1→•AF2→=（﹣x1，4﹣y1）•（﹣x1，﹣4﹣y1）＝x12﹣（4﹣y1）（4+y1），＝x12﹣16+y12＝0，
则x12+y12＝16，
所以A点到原点O的距离为4，
因为椭圆上到原点的距离的取值范围为[3，5]，故B正确；
对于C：|AB|＝|AF1|+|BF1|＝2a﹣|AF2|+2a﹣|BF2|＝4a﹣（|AF2|+|BF2|）＝4×5﹣12＝8，故C正确；
对于D：因为点A，B在椭圆上，
所以x129+y1225=1，x229+y2225=1，
两式相减得，(x1+x2)(x1-x2)9+(y1-y2)(y1+y2)25=0，
所以19•x1+x22+125•y1+y22•y1-y2x1-x2=0，
所以19•x0+125•y0•kAB＝0，
所以19+125•y0x0•kAB＝0，
所以19+125•kOP•kAB＝0，
所以kOP•kAB=-259，故D不正确；
故选：BC．
12．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣1，0），过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为32，则下列结论正确的有（　　）
A．双曲线C的方程为4x2-4y23=1
B．双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60°
C．F到双曲线C渐近线的距离为3
D．双曲线C的离心率为2
【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣1，0），则c＝1，
又过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A（﹣1，b2a），B（﹣1，-b2a）两点，
∴△AOB的面积S=12×1×2b2a=32，即b2a=32，
又a2+b2＝c2＝1，∴a=12，b2=34，
∴双曲线方程为4x2-4y23=1，故A正确；
双曲线C的渐近线方程为y±3x，则两渐近线的夹角为60°，故B正确；
F到双曲线C的渐近线的距离d=32，故C错误；
双曲线C的离心率为e=ca=112=2，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题）
13．已知圆的方程为x2+（y﹣1）2＝4，若过点P（1，12）的直线l与圆交于A、B两点，圆心为C，则∠ACB最小时，直线l的方程为　4x﹣2y﹣3＝0　．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2＝4的圆心为C（0，1），
当∠ACB最小时，CP和AB垂直，∴AB直线的斜率等于-11-120-1=2，
用点斜式写出直线l的方程为y-12=2（x﹣1），即4x﹣2y﹣3＝0，
故答案为：4x﹣2y﹣3＝0．
14．已知圆C的方程（x﹣1）2+y2＝1，P是椭圆x24+y23=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则PA→•PB→的取值范围为　[22-3，569]　．
【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|＝PB|=1tanα，
∴y=PA→•PB→=|PA||PB|cos2α=1tan2α•cos2α=1+cos2α1-sin2α•cos2α．
记cos2α＝u，则y=u(u+1)1-u=-3+（1﹣u）+21-u≥2(1-u)⋅21-u-3＝22-3，
∵P在椭圆的左顶点时，sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1-29=79，
∴PA→•PB→的最大值为1+791-79•79=569，
∴PA→•PB→的范围为[22-3，569]．
故答案为：[22-3，569]．

15．已知直线l经过抛物线C：y=x24的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为　（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5　．
【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），
直线AB的斜率k=yA-yBxA-xB=14(xA2-xB2)xA-xB=14（xA+xB）=84=2，
则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，
点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，
令y′=x2=2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d=|8-4+1|22+12=55=5，
所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．
16．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使OA→•OB→=0，则双曲线离心率的取值范围是　[1+52，3)　．
【解答】解：直线的斜率不存在时，A（c，b2a），B（c，-b2a），由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2＝0，可得e=1+52；
焦点为F（c，0），直线AB：y＝k（x﹣c），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则联立直线方程和双曲线的方程，可得
（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2＝0，
则△＝4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，
x1+x2=-2ca2k2b2-a2k2，x1x2=-a2k2c2-a2b2b2-a2k2，
则y1y2＝k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））＝k2•a2b2-b2c2a2k2-b2，
由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2＝0，
即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）＝0，
即有k2=a2b2b4-a4-a2b2，
∴a2b2b4-a4-a2b2＞b2a2，
∵b＞a，∴3＞e＞1+52，
综上，双曲线离心率的取值范围为[1+52，3)．
故答案为：[1+52，3)．
四．解答题（共6小题）
17．已知P(23，263)是椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与抛物线E：y2＝2px（p＞0）的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F．
（1）求椭圆C1及抛物线E的方程；
（2）设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C1交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值
【解答】解（1）∵P（23，263）是抛物线E：y2＝2px（p＞0）一点
∴p＝2，即抛物线E：的方程为y2＝4x，F（1，0）
∴a2﹣b2＝1
又∵P（23，263）在椭圆C：x2a2+y2b2=1上
∴49a2+83b2=1，结合a2﹣b2＝1知b2＝3（负舍），a2＝4，
∴椭圆C的方程为x24+y23=1，抛物线E的方程为y2＝4x．
（Ⅱ）由题可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
①当k＝0时，AB＝4，直线l2的方程x＝1，CD＝4，故SACBD=12•AB•CD＝8
②当k≠0时，直线l2的方程为y=-1k（x﹣1），由y=k(x-1)x24+y23=1得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
∴x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2
由弦长公式知AB=1+k2|x1﹣x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2=12(k2+1)4k2+3．
同理可得．CD＝4（k2+1）
∴SACBD=12•AB•CD=1212(k2+1)4k2+3•4（k2+1）=24(k2+1)24k2+3．
令令t＝k2+1，t∈（1，+∞），则SACBD=24t24t-1=244t-1t2=24-(1t-2)2+4，当t∈（1，+∞）时，1t∈（0，1）﹣（1t-2）2+4＜3，SACBD＞243=8
综上所述：四边形ACBD面积的最小值为8．

18．设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F1的直线m与椭圆E交于A、B两点，且使得F2A⊥F2B？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设过点F1且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段为MN，
由题意可知MN＝3，则M（﹣c，32），e=ca=12，即a＝2c，①
∵M（﹣c，32）在椭圆上，
∴(-c)2a2+(32)2b2=1，②
将①代入②解得b2＝3，
∵a2＝b2+c2，b2＝3，a＝2c，
∴a2＝4，
∴椭圆E的方程为x24+y23=1；
（Ⅱ）假设存在过点F1的直线m与椭圆E交于A、B两点，且使得F2A⊥F2B，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方程为x＝ny﹣1，
联立直线m的方程：x＝ny﹣1与椭圆E的方程：x24+y23=1，
得x=ny-13x2+4y2-12=0，即（3n2+4）y2﹣6ny﹣9＝0，
∴y1+y2=6n3n2+4y1y2=-93n2+4，
∵F2A→=（x1﹣1，y1），F2B→=（x2﹣1，y2），F2A⊥F2B，
∴F2A→•F2B→=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，
又∵x1＝ny1﹣1，x2＝ny2﹣1，
∴（ny1﹣2）（ny2﹣2）+y1y2＝0，
即（n2+1）y1y2﹣2n（y1+y2）+4=-9n2-93n2+4-12n23n2+4+4＝0，
解得9n2＝7，即n＝±73．
∴直线m的方程：x＝±73y﹣1即3x±7y+3＝0．

19．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（﹣2，y0）是C上一点，且|MF|＝2．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，p2），准线方程为y=-p2，
M（﹣2，y0）是C上一点，且|MF|＝2，可得4＝2py0，y0+p2=2，
解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；
（Ⅱ）由F（0，1），设lAB：y＝kx+1，
代入x2＝4y中，得x2﹣4kx﹣4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4．
所以|AB|=1+k2•|x1﹣x2|=1+k2•16k2+16=4（k2+1）．
因为C：x2＝4y，即y=x24，所以y′=12x．
所以直线l1的斜率为k1=12x1，直线l2的斜率为k2=12x2．
因为k1k2=x1x24=-1，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
点P关于直线AB的对称点Q，即有QA⊥QB，即四点Q，A，B，P共圆．
四边形PAQB存在外接圆，
所以外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．
因为|AB|＝4（k2+1），
所以当k＝0时线段AB最短，最短长度为4，
此时圆的半径最小，且为2，面积最小，最小面积为4π．
20．已知A是焦距为25的椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右顶点，点P（0，23），直线PA交椭圆E于点B，PB→=BA→．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P且斜率为k的直线l与椭圆E交于M、N两点（M在P、N之间），若四边形MNAB的面积是△PMB面积的5倍．求直线l的斜率k．
【解答】解：（1）由题意，得焦距2c＝25，PB→=BA→，
∴2c＝25，且点B为线段AP的中点，
∵点P（0，23），A（a，0），
∴PA＝2PB，B（a2，3），
点B（a2，3）在椭圆E上，
∴c=5，且a24a2+3b2=1，①，
又a2＝b2+c2，即a2＝b2+5，②，
联立①②解得b2＝4，a2＝b2+c2＝9，
∴椭圆E的方程为x29+y24=1．
（2）由题可得S△PAN＝6S△PBM，
即12|PA|•|PN|•sin∠APN＝6×12|PB|•|PM|•sin∠BPM，
∴|PN|＝3|PM→|，
∴PN→=3PM→，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
于是PM→=（x1，y1﹣23），PN→=（x2，y2﹣23），
∴（x1，y1﹣23）＝3（x2，y2﹣23），
∴x1＝3x2，即x2x1=3，
于是x2x1+x1x2=103，
即(x1+x2)2x1x2=163，①，
联立y=kx+23x29+y24=1，消去y，整理得（9k2+4）x2+363kx+72＝0，
由△＝（363k）2﹣4×（9k2+4）×72＞0，解得k2＞89，
∴x1+x2=-363k9k2+4，x1x2=729k2+4，
代入①可解得k2=329，满足k2＞89，
∴k＝±423，
即直线l的斜率k＝±423．
21．双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若B在第一象限，证明：tan2∠BAF＝tan∠BFA（2∠BAF≠π2，∠BFA≠π2）．
【解答】解：（1）当|AF|＝|BF|且BF⊥AF时，有c+a=b2a=c2-a2a，
所以a＝c﹣a，则e=ca=2；
（2）法一：
由（1）得c＝2a，b=3a，
设B（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，且x02a2-y02b2=1，即y02＝3x02﹣3a2．
①当|BF|＝|AF|且BF⊥AF时，∠BFA＝2∠BAF＝90°；
②当BF与AF不垂直时，
tan∠BAF=y0x0+a，tan∠BFA=-y0x0-c，
∴tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF=2(x0+a)y0-2(x0+a)(x0-2a)=-y0x0-c，
∴tan2∠BAF＝tan∠BFA，即∠BFA＝2∠BAF，
综上∠BFA＝2∠BAF．
法二：
延长AF至点B'，使FB'＝FB，设B（x0，y0），则BF＝ex0﹣a＝2x0﹣a，
所以B′（2x0﹣a+c，0），又因为点A（﹣a，0），
所以xB'+xA2=2x0-2a+c2=2x0-2a+2a2=x0＝xB，
所以BA＝BB'，
所以∠BAF＝∠BB'F=12∠BFA，即∠BFA＝2∠BAF．
22．已知Q为圆x2+y2＝1上一动点，Q在x轴，y轴上的射影分别为点A，B，动点P满足BA→=AP→，记动点_P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）过点(0，-35)的直线与曲线C交于M，N两点，判断以MN为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设Q（x0，y0），P（x，y），
则x02+y02=1，
由BA→=AP→得x0=x2y0=-y，
代入x02+y02=1，
得x24+y2=1，
故曲线C的方程为：x24+y2=1；
（2）假设存在满足条件的定点，
由对称性可知，该定点在y轴上，
设定点为H（0，m），
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＝kx-35，
由y=kx-35x24+y2=1，
得（1+4k2）x2-245kx-6425=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=24k5(1+4k2)，
x1x2=-6425(1+4k2)，
∴y1+y2=k(x1+x2)-65
=-65(1+4k2)，
y1y2=(kx1-35)(kx2-35)
=k2x1x2-35k(x1+x2)+925
=9-100k225(1+4k2)，
∵HM→=(x1，y1-m)，
HN→=(x2，y2-m)，
∴HM→⋅HN→=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=100(m2-1)k2+25m2+30m-5525(1+4k2)
＝0，
对任意的k恒成立，
∴100(m2-1)=025m2+30m-55=0，
解得m＝1，
即定点为H（0，1），
当直线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆也过定点（0，1），
综上，以MN为直径的圆过定点（0，1）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/23 0:32:05；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067