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专题13椭圆 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案
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这是一份专题13椭圆 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案，共21页。
专题十三《解析几何》讲义
13.3椭圆
知识梳理.椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
(a,0)，(－a,0)，
(0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)，
(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
题型一.椭圆及其性质
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(-25，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为 x236+y216=1 ．
【解答】解：由题可知，c=25，
过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|=25-t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即(25)2-t2=42-(25-t)2，解得t=655，
∴|PM|=(25)2-t2=855，
∴点P的坐标为（-655，855），
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则(-655)2a2+(855)2b2=1，化简得365a2+645b2=1，
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
∴椭圆的标准方程为x236+y216=1．
故答案为：x236+y216=1．
2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为33．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为43，那么C的方程为（ ）
A．x23+y2=1 B．x23+y22=1
C．x212+y24=1 D．x212+y28=1
【解答】解：如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)．
∵△ABF2周长为43，∴4a=43，得a=3．
又e=ca=33，∴c＝1．
则b2＝a2﹣c2＝2．
∴椭圆C的方程为：x23+y22=1．
故选：B．
3．（2019·全国3）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 （3，15） ．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：x236+y220=1的a＝6，b＝25，c＝4，
e=ca=23，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+23m＝8，即m＝3，n=15；
6-23m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，15）．
故答案为：（3，15）．
4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2的直线与C交于A，B两点．若2|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则C的方程为（ ）
A．x22+y2=1 B．x23+y22=1
C．x24+y23=1 D．x25+y24=1
【解答】解：设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝6m，所以|AF1|＝3m，
故点A在椭圆的上（下）顶点处，不妨设点A在上顶点处，则A（0，b），
设B点的坐标为（x，y），
则由2|AF2|＝3|F2B|可得：AF2→=32F2B→，即（1，﹣b）=32(x-1，y)，
解得x=53，y=-23b，即B（53，-23b），
代入椭圆方程可得：259a2+4b29b2=1，解得a2＝5，
所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，
故椭圆的方程为：x25+y24=1，
故选：D．
5．已知点A（1，1）而且F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6
∴|PF1|＝6﹣|PF2|
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|）
当点P位于P1时，|PA|﹣|PF2|的差最小，其值为﹣|AF2|=-2此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6-2；
当点P位于P2时，|PA|﹣|PF2|的差最大，其值为|AF2|=2此时，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值为6+2．
题型二.焦点三角形
1．过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为 2a+2b ．
【解答】解：如图，
由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a
由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，
∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，
∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．
故答案为：2a+2b．
2．已知F1，F2是椭圆x29+y25=1的焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=π3，则点P到x轴的距离为 536 ．
【解答】解：由椭圆x29+y25=1可得：a＝3，b=5，c=a2-b2=2．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
则m+n＝2a＝6，（2×2）2＝m2+n2﹣2mncosπ3，
可得：mn=203，
∴S△F1F2P=12×2c⋅|yP|=12mnsinπ3，
∴2×2|yP|=203×32，
解得|yP|=536．
故答案为：536．
3．已知F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．[32，1) B．(0，32] C．[12，1) D．(0，12]
【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|AF'|，
所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|⋅|AF'|≤3(|AF|+|AF'|2)2，
即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
即14⋅4a2≤4c2，可得e=ca≥12，所以椭圆的离心率e∈[12，1)，
故选：C．
4．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点．设线段NF1的中点为D，若MD→⋅NF1→=0，且MF→1∥DF2→，则椭圆C的离心率为（ ）
A．13 B．33 C．12 D．22
【解答】解：∵MD→⋅NF1→=0，∴MD⊥NF1，
又D为线段NF1的中点，∴|MF1|＝|MN|，
∵MF→1∥DF2→，∴F2是MN的中点，则|MF2|＝|NF2|，因此MN⊥x轴，
设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m，
由|MF1|+|MF2|＝3m＝2a，得m=2a3．
在△MF1F2中，由勾股定理可得(2a3)2+4c2=(4a3)2，
整理可得，3c2＝a2，
∴e=ca=33（0＜e＜1）．
故选：B．
5．（2013·山东）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴2b2a=1．
又e=ca=32，联立得2b2a=1a2=b2+c2ca=32解得a=2，b=1c=3，
∴椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）如图所示，设|PF1|＝t，|PF2|＝n，
由角平分线的性质可得tn=|MF1||F2M|=m+33-m，
又t+n＝2a＝4，消去t得到4-nn=3+m3-m，化为n=2(3-m)3，
∵a﹣c＜n＜a+c，即2-3＜n＜2+3，也即2-3＜2(3-m)3＜2+3，解得-32＜m＜32．
∴m的取值范围；(-32，32)．
题型三.椭圆第二定义——焦半径公式
1．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（ ）
A．23 B．23 C．12 D．22
【解答】解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e=AFAC=BFBD，
∵FA＝2FB，
∴AC＝2BD
直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD=12AC⋯②
①、②比较，可得AB＝AC，
又∵AF=23AB
∴e=AFAC=AFAB=23
故所求的离心率为23．
故选：B．
2．椭圆x24+y2=1两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则PF1→⋅PF2→的取值范围是（ ）
A．[1，4] B．[1，3] C．[﹣2，1] D．[﹣1，1]
【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（3，0），F2（-3，0）．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴PF1→⋅PF2→=（-3-2cosθ，﹣sinθ）•（3-2cosθ，﹣sinθ）＝4cos2θ﹣3+sin2θ＝3cos2θ﹣2，
∵0≤cos2θ≤1，
∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．
即PF1→⋅PF2→的最大值与最小值分别是1，﹣2．
故选：C．
3．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为2-32，点P为椭圆上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（ ）
A．[1，2] B．[2，3] C．[2，4] D．[1，4]
【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），
又F（﹣c，0），B（﹣a，0），
∴S△F1AB=12×(a-c)×1=2-32，
又a2﹣c2＝1，
∴a＝2，c=3．
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
∴1|PF1|+1|PF2|=4|PF1||PF2|=4|PF1|(4-PF1)，
∵2-3≤|PF1|≤2+3，
|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，
∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．
∴1≤4|PF1|(4-PF1)≤4．
故选：D．
题型四.离心率之焦点三角形
1．设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 33 ．
【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2x，|F1F2|=3x，
又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∴2a＝3x，2c=3x，
∴C的离心率为：e=ca=33．
故答案为：33．
2．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，MF→1⋅MF2→=0，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A．22 B．32 C．23 D．33
【解答】解：设|MF2|＝m，
∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，
∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，
∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，
∴|MN|=43a，
∴|NF2|=43a﹣m，
∴|NF1|＝2a﹣（43a﹣m）=23a+m，
∵MF→1⋅MF2→=0，
∴MF1⊥MF2，
∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，
∴（2a﹣m）2+（43a）2＝（23a+m）2，
整理可得m＝a，
∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，
∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，
∴4c2＝2a2，
∴e=ca=22，
故选：A．
3．（2013·辽宁）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF=45，则C的离心率e＝ 57 ．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|＝|BF'|＝6
∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF=45，
∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|×45，解之得|BF|＝8
由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2
∴∠AFB＝90°，可得|OF|=12|AB|＝5，即c＝5
因此，椭圆C的离心率e=ca=57
故答案为：57
题型五.离心率之寻求等量关系
1．（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．12 B．23 C．34 D．45
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F2F1|
∵P为直线x=3a2上一点
∴2(32a-c)=2c
∴e=ca=34
故选：C．
2．（2015•浙江）椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 22 ．
【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（﹣c，0），如图连接QF1，QF，
设QF与直线y=bcx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，
∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，
在Rt△MOF中，tan∠MOF=|MF||OM|=bc，|OF|＝c，
可得|OM|=c2a，|MF|=bca，
故|QF|＝2|MF|=2bca，|QF1|＝2|OM|=2c2a，
由椭圆定义得|QF|+|QF1|=2bca+2c2a=2a，得b＝c，
∴a=b2+c2=2c，
故e=ca=22．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A．13 B．12 C．23 D．34
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，ka2），
由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM，
即为ka2-a=k(a-c)-c-a，
化简可得a-ca+c=12，即为a＝3c，
可得e=ca=13．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得a-ca=MFOE，
由△BOH∽△BFM，
可得aa+c=OHFM=OE2FM，
即有2(a-c)a=a+ca即a＝3c，
可得e=ca=13．
故选：A．
题型六.离心率取值范围之椭圆的有界性
1．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为椭圆上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．（0，13] B．[13，1） C．（0，12] D．[12，1）
【解答】解：P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，
可得|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|=32a≤a+c，
∴e≥12．
∴椭圆离心率的范围是[12，1）
故选：D．
2．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的二个焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点，且F1M→•F2M→=0，则离心率e的取值范围 22≤e＜1 ．
【解答】解：设点M的坐标为（x，y），则F1M→=（x+c，y），F2M→=（x﹣c，y）．
由F1M→•F2M→=0，得x2﹣c2+y2＝0．①
又由点M在椭圆上，得y2＝b2-b2x2a2，代入①，解得x2＝a2-a2b2c2．
∵0≤x2≤a2，
∴0≤a2-a2b2c2≤a2，
即0≤2-1e2≤1．
∵e＞0，
解得22≤e≤1．
又∵e＜1，
∴22≤e＜1．
故答案为：33；22≤e＜1．
3．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1→•PF2→=c2，则此椭圆离心率的取值范围是 [33，22] ．
【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，①
∵PF1→•PF2→=c2，
∴|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝c2，②
由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，③
由①②③得cos∠F1PF2=c22a2-3c2≤1，|PF1||PF2|＝2a2﹣3c2，
∴e≤22，
∵|PF1||PF2|≤14（|PF1|+|PF2|）2＝a2，
∴2a2﹣3c2≤a2，
∴e≥33，
∴此椭圆离心率的取值范围是[33，22]．
故答案为：[33，22]．
4．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为 (2-1，1) ．
【解答】解：在△PF1F2中，
由正弦定理得：|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|sin∠PF2F1
则由已知得：a|PF2|=C|PF1|，
即：a|PF1|＝c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0
则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）
解得：x0=a(c-a)e(c+a)=a(e-1)e(e+1)
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则a(e-1)e(e+1)＞-a，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜-2-1或e＞2-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(2-1，1)，
故答案为：(2-1，1)．
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日期：2021/8/19 23:35:42；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
题型七.椭圆的第三定义——点差法
1．（2013•大纲版）椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．[12，34] B．[38，34] C．[12，1] D．[34，1]
【解答】解：由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则x024+y023=1，得y02x02-4=-34．
∵kPA2=y0x0-2，kPA1=y0x0+2，
∴kPA1⋅kPA2=y02x02-4=-34，
∵-2≤kPA2≤-1，
∴-2≤-34kPA1≤-1，解得38≤kPA1≤34．
故选：B．
2．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当KPM⋅KPN=-14时，则椭圆方程为（ ）
A．x216+y24=1 B．x24+y22=1
C．x2+y24=1 D．x24+y2=1
【解答】解：由长轴长为4得2a＝4，解得a＝2，
设P（x0，y0），直线l方程为y＝kx，M（x1，kx1），N（﹣x1，﹣kx1），
则KPM=y0-kx1x0-x1，KPN=y0+kx1x0+x1，
由KPM⋅KPN=-14得，y0-kx1x0-x1•y0+kx1x0+x1=-14，即y02-k2x12x02-x12=-14，
所以4y02=（4k2+1）x12-x02①，
又P在椭圆上，所以x024+y02b2=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b2-b2x02=（4k2+1）x12-x02，
所以4b2＝（4k2+1）x12+（b2﹣1）x02，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x0无关，
所以b2﹣1＝0，解得b＝1，
所以所求椭圆方程为x24+y2=1．
故选：D．
3．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
【解答】解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，
则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x1+x2=-2kb9+k2，则xM=x1+x22=-kb9+k2，yM＝kxM+b=9b9+k2，
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-9k，
即kOM•k＝﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
课后作业.椭圆
1．已知点A（0，1），而且F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|+|PA|的最小值为（ ）
A．6-5 B．6-2 C．6+2 D．6+5
【解答】解：由椭圆x29+y25=1，得a2＝9，b2＝5，
∴c=a2-b2=2，则F1（﹣2，0），又A（0，1），
如图，设F2是椭圆的右焦点，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6﹣|PF2|，
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|），
|PA|﹣|PF2|的最小值为﹣|AF2|=-5，
此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6-5．
故选：A．
2．以椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M，N两点，若过椭圆左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则该椭圆的离心率为 3-1 ．
【解答】解：由题意得：|MF2|＝|OF2|＝c
|MF1|+|MF2|＝2a
|F1F2|＝2c
直角三角形MF1F2中
|MF1|2+|MF2|2＝|F1F2|2
即（2a﹣c）2+c2＝4c2
整理得2a2﹣2ac﹣c2＝0
即e2+2e﹣2＝0，解得e=3-1或-3-1（舍去）
故答案为：3-1．
3．已知点P（﹣2，142）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，过点P作圆O：x2+y2＝2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y-144）2=3016．
与圆O：x2+y2＝2相减，可得直线AB的方程为2x-142y+2＝0，
令y＝0，可得x＝﹣1，∴c＝1，
∵4a2+72b2=1，∴a2＝8，b2＝7，
∴a2+b2＝8+7＝15，
故选：C．
4．如图，从椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭圆的离心率为（ ）
A．12 B．55 C．22 D．32
【解答】解：由椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，可得A（a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），
设P（﹣c，y），则c2a2+y2b2=1，解得y＝±b2a，可取P（﹣c，b2a），
由AB∥OP，则kAB＝kOP，
即为-ba=-b2ac，
即为b＝c，
则a=b2+c2=2c，
即有e=ca=22．
故选：C．
5．若点O和点F分别为椭圆x29+y25=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP→⋅FP→的最小值为（ ）
A．114 B．3 C．8 D．15
【解答】解：椭圆x29+y25=1的中心和左焦点为O（0，0），F（﹣2，0）
∵x29+y25=1，∴y2＝5-59x2（﹣3≤x≤3）
设P（x，y），则OP→⋅FP→=（x，y）•（x+2，y）＝x2+2x+y2＝x2+2x+5-59x2=49(x+94)2+114
∵﹣3≤x≤3
∴x=-94时，OP→⋅FP→的最小值为114
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且OT→=3OM→则该椭圆的离心率为 5-172 ．
【解答】解：直线A1B2的方程为y=bax+b，直线B1F的方程为y=bcx﹣b，
联立方程组y=bax+by=bcx-b，解得T（2aca-c，ab+bca-c）．
∵OT→=3OM→，
∴M（2ac3(a-c)，ab+bc3(a-c)），
把M代入椭圆方程得：4a2b2c29(a-c)2+a2b2(a+c)29(a-c)2=a2b2，
即4c2+（a+c）2＝9（a﹣c）2，
化简得：2a2+c2﹣5ac＝0，
∴e2﹣5e+2＝0，
解得e=5-172或e=5+172（舍去）．
故答案为：5-172．
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日期：2021/8/19 23:42:29；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
专题十三《解析几何》讲义
13.3椭圆
知识梳理.椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
(a,0)，(－a,0)，
(0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)，
(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
题型一.椭圆及其性质
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(-25，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为 x236+y216=1 ．
【解答】解：由题可知，c=25，
过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|=25-t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即(25)2-t2=42-(25-t)2，解得t=655，
∴|PM|=(25)2-t2=855，
∴点P的坐标为（-655，855），
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则(-655)2a2+(855)2b2=1，化简得365a2+645b2=1，
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
∴椭圆的标准方程为x236+y216=1．
故答案为：x236+y216=1．
2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为33．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为43，那么C的方程为（ ）
A．x23+y2=1 B．x23+y22=1
C．x212+y24=1 D．x212+y28=1
【解答】解：如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)．
∵△ABF2周长为43，∴4a=43，得a=3．
又e=ca=33，∴c＝1．
则b2＝a2﹣c2＝2．
∴椭圆C的方程为：x23+y22=1．
故选：B．
3．（2019·全国3）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 （3，15） ．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：x236+y220=1的a＝6，b＝25，c＝4，
e=ca=23，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+23m＝8，即m＝3，n=15；
6-23m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，15）．
故答案为：（3，15）．
4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2的直线与C交于A，B两点．若2|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则C的方程为（ ）
A．x22+y2=1 B．x23+y22=1
C．x24+y23=1 D．x25+y24=1
【解答】解：设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝6m，所以|AF1|＝3m，
故点A在椭圆的上（下）顶点处，不妨设点A在上顶点处，则A（0，b），
设B点的坐标为（x，y），
则由2|AF2|＝3|F2B|可得：AF2→=32F2B→，即（1，﹣b）=32(x-1，y)，
解得x=53，y=-23b，即B（53，-23b），
代入椭圆方程可得：259a2+4b29b2=1，解得a2＝5，
所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，
故椭圆的方程为：x25+y24=1，
故选：D．
5．已知点A（1，1）而且F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6
∴|PF1|＝6﹣|PF2|
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|）
当点P位于P1时，|PA|﹣|PF2|的差最小，其值为﹣|AF2|=-2此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6-2；
当点P位于P2时，|PA|﹣|PF2|的差最大，其值为|AF2|=2此时，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值为6+2．
题型二.焦点三角形
1．过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为 2a+2b ．
【解答】解：如图，
由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a
由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，
∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，
∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．
故答案为：2a+2b．
2．已知F1，F2是椭圆x29+y25=1的焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=π3，则点P到x轴的距离为 536 ．
【解答】解：由椭圆x29+y25=1可得：a＝3，b=5，c=a2-b2=2．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
则m+n＝2a＝6，（2×2）2＝m2+n2﹣2mncosπ3，
可得：mn=203，
∴S△F1F2P=12×2c⋅|yP|=12mnsinπ3，
∴2×2|yP|=203×32，
解得|yP|=536．
故答案为：536．
3．已知F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．[32，1) B．(0，32] C．[12，1) D．(0，12]
【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|AF'|，
所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|⋅|AF'|≤3(|AF|+|AF'|2)2，
即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
即14⋅4a2≤4c2，可得e=ca≥12，所以椭圆的离心率e∈[12，1)，
故选：C．
4．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点．设线段NF1的中点为D，若MD→⋅NF1→=0，且MF→1∥DF2→，则椭圆C的离心率为（ ）
A．13 B．33 C．12 D．22
【解答】解：∵MD→⋅NF1→=0，∴MD⊥NF1，
又D为线段NF1的中点，∴|MF1|＝|MN|，
∵MF→1∥DF2→，∴F2是MN的中点，则|MF2|＝|NF2|，因此MN⊥x轴，
设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m，
由|MF1|+|MF2|＝3m＝2a，得m=2a3．
在△MF1F2中，由勾股定理可得(2a3)2+4c2=(4a3)2，
整理可得，3c2＝a2，
∴e=ca=33（0＜e＜1）．
故选：B．
5．（2013·山东）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴2b2a=1．
又e=ca=32，联立得2b2a=1a2=b2+c2ca=32解得a=2，b=1c=3，
∴椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）如图所示，设|PF1|＝t，|PF2|＝n，
由角平分线的性质可得tn=|MF1||F2M|=m+33-m，
又t+n＝2a＝4，消去t得到4-nn=3+m3-m，化为n=2(3-m)3，
∵a﹣c＜n＜a+c，即2-3＜n＜2+3，也即2-3＜2(3-m)3＜2+3，解得-32＜m＜32．
∴m的取值范围；(-32，32)．
题型三.椭圆第二定义——焦半径公式
1．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（ ）
A．23 B．23 C．12 D．22
【解答】解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e=AFAC=BFBD，
∵FA＝2FB，
∴AC＝2BD
直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD=12AC⋯②
①、②比较，可得AB＝AC，
又∵AF=23AB
∴e=AFAC=AFAB=23
故所求的离心率为23．
故选：B．
2．椭圆x24+y2=1两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则PF1→⋅PF2→的取值范围是（ ）
A．[1，4] B．[1，3] C．[﹣2，1] D．[﹣1，1]
【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（3，0），F2（-3，0）．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴PF1→⋅PF2→=（-3-2cosθ，﹣sinθ）•（3-2cosθ，﹣sinθ）＝4cos2θ﹣3+sin2θ＝3cos2θ﹣2，
∵0≤cos2θ≤1，
∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．
即PF1→⋅PF2→的最大值与最小值分别是1，﹣2．
故选：C．
3．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为2-32，点P为椭圆上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（ ）
A．[1，2] B．[2，3] C．[2，4] D．[1，4]
【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），
又F（﹣c，0），B（﹣a，0），
∴S△F1AB=12×(a-c)×1=2-32，
又a2﹣c2＝1，
∴a＝2，c=3．
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
∴1|PF1|+1|PF2|=4|PF1||PF2|=4|PF1|(4-PF1)，
∵2-3≤|PF1|≤2+3，
|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，
∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．
∴1≤4|PF1|(4-PF1)≤4．
故选：D．
题型四.离心率之焦点三角形
1．设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 33 ．
【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2x，|F1F2|=3x，
又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∴2a＝3x，2c=3x，
∴C的离心率为：e=ca=33．
故答案为：33．
2．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，MF→1⋅MF2→=0，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A．22 B．32 C．23 D．33
【解答】解：设|MF2|＝m，
∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，
∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，
∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，
∴|MN|=43a，
∴|NF2|=43a﹣m，
∴|NF1|＝2a﹣（43a﹣m）=23a+m，
∵MF→1⋅MF2→=0，
∴MF1⊥MF2，
∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，
∴（2a﹣m）2+（43a）2＝（23a+m）2，
整理可得m＝a，
∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，
∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，
∴4c2＝2a2，
∴e=ca=22，
故选：A．
3．（2013·辽宁）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF=45，则C的离心率e＝ 57 ．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|＝|BF'|＝6
∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF=45，
∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|×45，解之得|BF|＝8
由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2
∴∠AFB＝90°，可得|OF|=12|AB|＝5，即c＝5
因此，椭圆C的离心率e=ca=57
故答案为：57
题型五.离心率之寻求等量关系
1．（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．12 B．23 C．34 D．45
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F2F1|
∵P为直线x=3a2上一点
∴2(32a-c)=2c
∴e=ca=34
故选：C．
2．（2015•浙江）椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 22 ．
【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（﹣c，0），如图连接QF1，QF，
设QF与直线y=bcx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，
∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，
在Rt△MOF中，tan∠MOF=|MF||OM|=bc，|OF|＝c，
可得|OM|=c2a，|MF|=bca，
故|QF|＝2|MF|=2bca，|QF1|＝2|OM|=2c2a，
由椭圆定义得|QF|+|QF1|=2bca+2c2a=2a，得b＝c，
∴a=b2+c2=2c，
故e=ca=22．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A．13 B．12 C．23 D．34
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，ka2），
由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM，
即为ka2-a=k(a-c)-c-a，
化简可得a-ca+c=12，即为a＝3c，
可得e=ca=13．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得a-ca=MFOE，
由△BOH∽△BFM，
可得aa+c=OHFM=OE2FM，
即有2(a-c)a=a+ca即a＝3c，
可得e=ca=13．
故选：A．
题型六.离心率取值范围之椭圆的有界性
1．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为椭圆上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．（0，13] B．[13，1） C．（0，12] D．[12，1）
【解答】解：P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，
可得|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|=32a≤a+c，
∴e≥12．
∴椭圆离心率的范围是[12，1）
故选：D．
2．椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的二个焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点，且F1M→•F2M→=0，则离心率e的取值范围 22≤e＜1 ．
【解答】解：设点M的坐标为（x，y），则F1M→=（x+c，y），F2M→=（x﹣c，y）．
由F1M→•F2M→=0，得x2﹣c2+y2＝0．①
又由点M在椭圆上，得y2＝b2-b2x2a2，代入①，解得x2＝a2-a2b2c2．
∵0≤x2≤a2，
∴0≤a2-a2b2c2≤a2，
即0≤2-1e2≤1．
∵e＞0，
解得22≤e≤1．
又∵e＜1，
∴22≤e＜1．
故答案为：33；22≤e＜1．
3．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1→•PF2→=c2，则此椭圆离心率的取值范围是 [33，22] ．
【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，①
∵PF1→•PF2→=c2，
∴|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝c2，②
由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，③
由①②③得cos∠F1PF2=c22a2-3c2≤1，|PF1||PF2|＝2a2﹣3c2，
∴e≤22，
∵|PF1||PF2|≤14（|PF1|+|PF2|）2＝a2，
∴2a2﹣3c2≤a2，
∴e≥33，
∴此椭圆离心率的取值范围是[33，22]．
故答案为：[33，22]．
4．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为 (2-1，1) ．
【解答】解：在△PF1F2中，
由正弦定理得：|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|sin∠PF2F1
则由已知得：a|PF2|=C|PF1|，
即：a|PF1|＝c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0
则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）
解得：x0=a(c-a)e(c+a)=a(e-1)e(e+1)
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则a(e-1)e(e+1)＞-a，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜-2-1或e＞2-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(2-1，1)，
故答案为：(2-1，1)．
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题型七.椭圆的第三定义——点差法
1．（2013•大纲版）椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．[12，34] B．[38，34] C．[12，1] D．[34，1]
【解答】解：由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则x024+y023=1，得y02x02-4=-34．
∵kPA2=y0x0-2，kPA1=y0x0+2，
∴kPA1⋅kPA2=y02x02-4=-34，
∵-2≤kPA2≤-1，
∴-2≤-34kPA1≤-1，解得38≤kPA1≤34．
故选：B．
2．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当KPM⋅KPN=-14时，则椭圆方程为（ ）
A．x216+y24=1 B．x24+y22=1
C．x2+y24=1 D．x24+y2=1
【解答】解：由长轴长为4得2a＝4，解得a＝2，
设P（x0，y0），直线l方程为y＝kx，M（x1，kx1），N（﹣x1，﹣kx1），
则KPM=y0-kx1x0-x1，KPN=y0+kx1x0+x1，
由KPM⋅KPN=-14得，y0-kx1x0-x1•y0+kx1x0+x1=-14，即y02-k2x12x02-x12=-14，
所以4y02=（4k2+1）x12-x02①，
又P在椭圆上，所以x024+y02b2=1，即4y02=4b2-b2x02，代入①式得4b2-b2x02=（4k2+1）x12-x02，
所以4b2＝（4k2+1）x12+（b2﹣1）x02，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x0无关，
所以b2﹣1＝0，解得b＝1，
所以所求椭圆方程为x24+y2=1．
故选：D．
3．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
【解答】解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，
则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x1+x2=-2kb9+k2，则xM=x1+x22=-kb9+k2，yM＝kxM+b=9b9+k2，
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-9k，
即kOM•k＝﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
课后作业.椭圆
1．已知点A（0，1），而且F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|+|PA|的最小值为（ ）
A．6-5 B．6-2 C．6+2 D．6+5
【解答】解：由椭圆x29+y25=1，得a2＝9，b2＝5，
∴c=a2-b2=2，则F1（﹣2，0），又A（0，1），
如图，设F2是椭圆的右焦点，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6﹣|PF2|，
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|），
|PA|﹣|PF2|的最小值为﹣|AF2|=-5，
此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6-5．
故选：A．
2．以椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M，N两点，若过椭圆左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则该椭圆的离心率为 3-1 ．
【解答】解：由题意得：|MF2|＝|OF2|＝c
|MF1|+|MF2|＝2a
|F1F2|＝2c
直角三角形MF1F2中
|MF1|2+|MF2|2＝|F1F2|2
即（2a﹣c）2+c2＝4c2
整理得2a2﹣2ac﹣c2＝0
即e2+2e﹣2＝0，解得e=3-1或-3-1（舍去）
故答案为：3-1．
3．已知点P（﹣2，142）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，过点P作圆O：x2+y2＝2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y-144）2=3016．
与圆O：x2+y2＝2相减，可得直线AB的方程为2x-142y+2＝0，
令y＝0，可得x＝﹣1，∴c＝1，
∵4a2+72b2=1，∴a2＝8，b2＝7，
∴a2+b2＝8+7＝15，
故选：C．
4．如图，从椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭圆的离心率为（ ）
A．12 B．55 C．22 D．32
【解答】解：由椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，可得A（a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），
设P（﹣c，y），则c2a2+y2b2=1，解得y＝±b2a，可取P（﹣c，b2a），
由AB∥OP，则kAB＝kOP，
即为-ba=-b2ac，
即为b＝c，
则a=b2+c2=2c，
即有e=ca=22．
故选：C．
5．若点O和点F分别为椭圆x29+y25=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP→⋅FP→的最小值为（ ）
A．114 B．3 C．8 D．15
【解答】解：椭圆x29+y25=1的中心和左焦点为O（0，0），F（﹣2，0）
∵x29+y25=1，∴y2＝5-59x2（﹣3≤x≤3）
设P（x，y），则OP→⋅FP→=（x，y）•（x+2，y）＝x2+2x+y2＝x2+2x+5-59x2=49(x+94)2+114
∵﹣3≤x≤3
∴x=-94时，OP→⋅FP→的最小值为114
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且OT→=3OM→则该椭圆的离心率为 5-172 ．
【解答】解：直线A1B2的方程为y=bax+b，直线B1F的方程为y=bcx﹣b，
联立方程组y=bax+by=bcx-b，解得T（2aca-c，ab+bca-c）．
∵OT→=3OM→，
∴M（2ac3(a-c)，ab+bc3(a-c)），
把M代入椭圆方程得：4a2b2c29(a-c)2+a2b2(a+c)29(a-c)2=a2b2，
即4c2+（a+c）2＝9（a﹣c）2，
化简得：2a2+c2﹣5ac＝0，
∴e2﹣5e+2＝0，
解得e=5-172或e=5+172（舍去）．
故答案为：5-172．
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