专题13直线方程 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案

这是一份专题13直线方程 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案，共13页。

专题十三《解析几何》讲义
13.1 直线方程
知识梳理.直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.　
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.


5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .　

















题型一.倾斜角与斜率之间的关系
1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．[0，π4]∪[3π4，π)
C．[0，π4] D．[0，π4]∪(π2，π)
【解答】解：直线sinθ•x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，
设直线的倾斜角为α，
则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，
∴3π4≤α＜π或0≤α≤π4．
∴直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）．
故选：B．
2．若0＜α＜π2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（　　）
A．α B．π2+α C．π﹣α D．﹣α
【解答】解：经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的斜率为：-cosαsinα=-cotα.0＜α＜π2，
∴直线的倾斜角为β．tanβ＝﹣cotα＝tan（π2+α）．
∴β=π2+α．
故选：B．
3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是　（﹣∞，-12]∪[5，+∞）　．
【解答】解：∵点P（﹣1，2）、A（﹣2，﹣3），
∴直线AP的斜率k1=-3-2-2+1=5．同理可得直线BP的斜率k2=-12．
设直线l与线段AB交于M点，
当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，
l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；
当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到
直线BP的斜率，此时l的斜率k≤-12．
综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，-12]∪[5，+∞）．
故答案为：（﹣∞，-12]∪[5，+∞）


题型二.直线方程
1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的斜率的取值范围为　（﹣1，1）　．
【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），化为：y＝kx+1﹣k，
由题意可得：0＜1﹣k＜2，
解得﹣1＜k＜1．
∴直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　3　．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴直线AB的方程是：x3+y4=1，即4x+3y﹣12＝0，
设P（x，y），则x＝3-34y，
∴xy＝3y-34y2=-34（y﹣2）2+3≤3．
当且仅当y＝2，x=32时，取等号，
∴xy的最大值是3．
故答案为：3．
3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b=42-32=7，
设点P（0，m）（0＜m＜7），
∵直线AC的方程为x3+y7=1，即7x+3y﹣37=0，
∴点P（0，m）到直线7x+3y﹣37=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=|3m-37|(7)2+32=34|m-7|=34（7-m），
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）＝m•34（7-m）≤34•(m+(7-m)2)2=34•74=2116（当且仅当m=72时取“＝”）．
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为2116．


题型三.直线的平行与垂直关系
1．k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】①当k＝5时，
直线l1：2x﹣y+1＝0与l2：4x﹣2y+3＝0平行；
②若直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，
则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，
解得，k＝3或k＝5．
故k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分不必要条件．
故选：A．
2．已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为　﹣4　．
【解答】解：∵直线l1与直线l2互相垂直，
∴2a+4×（﹣5）＝0，解得a＝10，
∴l1：10x+4y﹣2＝0，
∵垂足（1，c）在l1上，
∴10+4c﹣2＝0，解得c＝﹣2，
再由垂足（1，﹣2）在l2上可得2+10+b＝0，
解得b＝﹣12，
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故答案为：﹣4
3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），
（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，
已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，
解方程组：x+y=02x-3y+1=0得：x=-15y=15，
∴△ABC的垂心坐标（-15，15）；
（2）∵点A的坐标为（1，2），
根据直线方程的两点式得：
y-215-2=x-1-15-1
即：3x﹣2y+1＝0．
∴BC边上的高所在直线的方程3x﹣2y+1＝0．
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题型四.距离问题
1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（　　）
A．y＝x或x＝0 B．y＝x或y＝0 C．y＝x或y＝﹣4x D．y＝x或y=12x
【解答】解：①当直线l与直线AB平行时，直线AB的斜率为4-21-(-1)=1，
此时直线l的方程为y＝x；
②当直线l过线段AB的中点时，AB中点的坐标为（0，3），
此时直线l的方程为x＝0．
故选：A．
2．P、Q分别为3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为是　52　．
【解答】解：∵3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0是平行线，
即3x+4y﹣10＝0与3x+4y+52=0
∴|PQ|的最小值d=|52+10|32+42=52，
故答案为：52．
3．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．
①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．
②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．
【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，
∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），
则A（-4k+1，0），B（0，﹣k+4），
∴|OA|+|OB|=-4k+1+(-k+4)
＝（-4k-k）+5≥2(-4k)⋅(-k)+5＝9，
当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣6＝0．
②由①知|PA|•|PB|=(-4k+1-1)2+42•12+(-k+4-4)2
=16(k2+1)2k2=-4k(k2+1)=4（-1k-k）≥4⋅2(-1k)⋅(-k)=8，
当且仅当k＝﹣1时取等号，
∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．

题型五.对称问题
1．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线l：x+y＝0对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：设点A（1，2）关于直线x+y＝0 对称点为B（m，n），
则n-2m-1=1且n+22+m+12=0，
解得m＝﹣2，n＝﹣1，
则点A（1，2）关于直线l：x+y＝0 的对称点B为（﹣2，﹣1），
故选：D．
2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是　3x+y+1＝0　．
【解答】解：联立x+3y-1=0x-y+1=0，解得x=-12y=12．其交点为M(-12，12)．
在直线x+3y﹣1＝0上取一点P（1，0），设点P关于直线x﹣y+1＝0的对称点为Q（m，n），则m+12-n2+1=0nm-1×1=-1解得m=-1n=2，即Q（﹣1，2）．
∴直线MQ的方程为y-2=12-2-12-(-1)(x+1)，化为3x+y+1＝0，即为所求．
故答案为3x+y+1＝0．
3．若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点　（0，2）　．
【解答】解：∵直线l1：y＝k（x﹣4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对称点为N（0，2），
又直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点N（0，2），
故答案为（0，2）．
4．过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段AB恰被点P平分，则此直线的方程为　8x﹣y﹣24＝0　．
【解答】解：设点A（x，y）在l1上，
由题意知：线段AB的中点为P（3，0），
∴点B（6﹣x，﹣y），
解方程组2x-y-2=0(6-x)-y+3=0，
解得x=113y=163，
∴k=163113-3=8．
∴所求的直线方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．
故答案是：8x﹣y﹣24＝0．
5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

A．210 B．6 C．33 D．25
【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4＝0的对称点P″（a，b）
∴b-0a-2×(-1)=-1a+22+b+02-4=0，解得a=4b=2，
∴光线所经过的路程|P′P″|＝210，
故选：A．
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日期：2021/8/18 22:04:18；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
课后作业. 直线方程
1．若直线l：y=kx-3与直线x+y﹣3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）
A．（00，600） B．（300，600） C．（300，900） D．（600，900）
【解答】解：联立两直线方程y=kx-3x+y-3=0，
解得：x=3+31+k，y=3k-31+k，
∴两直线的交点坐标为（3+31+k，3k-31+k），
∵两直线的交点在第一象限，
∴3+31+k＞03k-31+k＞0，
解得：k＞33，
设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞33，
∴θ∈（30°，90°）．
故选：C．
2．过点P（1，2）的直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程为　4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0　．
【解答】解：当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝1，不成立；
当直线l的斜率不存在时，
设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0，
∵直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，
∴|2k-3-k+2|k2+1=|4k+5-k+2|k2+1，
解得k＝﹣4或k=-32，
∴直线l的方程为﹣4x﹣y+4+2＝0或-32x﹣y+32+2=0，
整理，得：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．
故答案为：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．
3．若直线l被4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0两条直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．
【解答】解：设所求直线l与已知两直线的交点分别是A、B，设A（x0，y0），
∵A、B关于原点对称，
∴B（﹣x0，﹣y0）．
又∵A、B分别在两直线上，
∴4x0+y0+6=0-3x0+5y0-6=0，解得x0+6y0＝0，即点A在直线x+6y＝0上，又直线x+6y＝0过原点，
∴直线l的方程是x+6y＝0．
4．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则(m-a)2+(n-b)2的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．12
【解答】解：此题可理解为点A（m，n）与点B（a，b）分别在直线l1：3x+4y＝6与直线l2：3x+4y＝1上，求A、B两点间的距离的最小值，
∵l1∥l2，
∴|AB|min=|6-1|32+42=1．
故选：C．
5．已知b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，则ab的最小值等于（　　）
A．1 B．2 C．22 D．23
【解答】解：b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，
∴a≠0，1b2•（-b2+1a）＝﹣1，化为：ab＝b+1b≥2，当且仅当b＝1，a＝2时取等号．
则ab的最小值等于2．
故选：B．
6．设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小值是（　　）
A．5 B．25 C．35 D．10
【解答】解：作出点A（3，1）关于y＝x的对称点A′（1，3），
关于x轴的对称点A″（3，﹣1），
连结A′A″，交直线y＝x于点C，交x轴于点B，
则AC＝A′C，AB＝A''B，
∴△ABC周长的最小值为：
|A′A″|=(1-3)2+(3+1)2=25．
故选：B．

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日期：2021/8/18 22:07:10；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067