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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.5 第1课时 椭圆及几何性质
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.5 第1课时 椭圆及几何性质，共10页。
8.5 椭圆
第1课时 椭圆及几何性质
必备知识预案自诊
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a c,则点M的轨迹为椭圆;
(2)若a c,则点M的轨迹为线段;
(3)若a c,则点M不存在.
2.椭圆的标准方程及性质
标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图 形
性
质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
离心率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,
(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;
(2)S=b2tanθ2=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.( )
(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成的△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )
2.已知椭圆x24+y23=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )
A.25 B.35 C.235 D.255
4.如图,圆O的半径是定长r,A是圆O内一个定点(不与圆心O重合),P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
5.“0
考点
椭圆的定义及应用
【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=( )
A.10 B.8
C.6 D.4
(2)已知椭圆x28+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为( )
A.32 B.42
C.62 D.72
解题心得常利用椭圆的定义求解的问题
(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;
(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.
对点训练1(1)(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为( )
A.514 B.59
C.49 D.513
(2)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的一动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .
考点
椭圆的标准方程及应用
【例2】(1)椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为 .
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(6,1),P2(3,2),则椭圆的方程为 .
(3)与椭圆x24+y23=1有相同离心率且经过点P(2,-3)的椭圆方程为 .
(4)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 .
解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.
2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.
3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.
(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.
4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.
对点训练2(1)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为( )
A.x236+y216=1 B.x240+y215=1
C.x249+y224=1 D.x245+y220=1
(2)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22-2,离心率为22,则椭圆E的方程为 .
考点
椭圆的几何性质及应用(多考向探究)
考向1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3】(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于( )
A.5 B.6 C.9 D.10
解题心得利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x,y的范围、离心率的范围等不等关系.
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系.
对点训练3(1)(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆x2m+y24=1(m>0)的焦距为2,则m的值等于( )
A.5 B.5或3
C.3 D.8
(2)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( )
A.x216+y27=1
B.x216+y27=1或x27+y216=1
C.x216+y225=1
D.x216+y225=1或x225+y216=1
考向2 求椭圆的离心率
【例4】(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈π6,π4,则该椭圆的离心率e的值可以是( )
A.22 B.33 C.63 D.3-1
解题心得1.求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e2=c2a2=a2-b2a2=1-ba2直接求.
(2)列出含有a,b,c的方程(组)或不等式(组),借助b2=a2-c2消去b,转化为关于e的方程(组)或不等式(组)求解.
2.当离心率e=ca越接近1时,椭圆的短半轴长b=a2-c2越小,椭圆就越“扁”,当e越接近0时,b=a2-c2越大也越接近a,椭圆就越“圆”.
对点训练4已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则椭圆C的离心率为( )
A.23 B.12 C.13 D.14
考向3 根据椭圆的性质求参数
【例5】(1)(2021年1月8省适应测试)椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.2
(2)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,sin∠MF1F2a=sin∠MF2F1c,则该椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0,2-1) B.22,1
C.0,22 D.(2-1,1)
对点训练5已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于32(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是 .
8.5 椭圆
第1课时 椭圆及几何性质
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)> (2)= (3)<
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.B 由题意可知|MF1|-|MF2|=1,|MF1|+|MF2|=4,
解得|MF1|=52,|MF2|=32.又|F1F2|=2,
所以|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
所以△MF1F2为直角三角形.故选B.
3.B 由题意,得2b=16.4,2a=20.5,则ba=45,故离心率e=1-452=35.故选B.
4.A 连接QA.由已知得|QA|=|QP|.
所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又点A在圆O内,且不与圆心O重合,所以0<|OA|
例1(1)A (2)D (1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:x225+y29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.
(2)由已知得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×22=82.
所以|AF2|+|BF2|=82-|AB|,当AB⊥x轴时,|AB|最小,|AF2|+|BF2|最大.|AB|min=2b2a=2×222=2,所以|AF2|+|BF2|的最大值为82-2=72.故选D.
对点训练1(1)D (2)6+2 6-2 (1)如图,设线段PF1的中点为M,因为O为F1F2的中点,所以OM∥PF2,由题意可得PF2⊥x轴,易得|PF2|=53,|PF1|=2a-|PF2|=133,|PF2||PF1|=513.故选D.
(2)如图,
设椭圆右焦点为F1,则|PF|+|PF1|=6,F1(2,0).
所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.
因为-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立).
又|AF1|=2.所以|PA|+|PF|≤6+2,|PA|+|PF|≥6-2.故|PA|+|PF|的最大值为6+2,最小值为6-2.
例2 (1)x218+y29=1或y218+x29=1 (2)x29+y23=1 (3)x28+y26=1或y2253+x2254=1 (4)m|m<-1或1b>0),在椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF的中点M为x0-c2,y02,根据条件可得y02=x0-c2+4,kPF=y0x0+c=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=32,b=3.由此可得椭圆的方程为x218+y29=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y218+x29=1.
(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).椭圆经过点P1,P2,
故点P1,P2的坐标适合椭圆方程,
则6m+n=1,3m+2n=1,解得m=19,n=13.
所求椭圆的方程为x29+y23=1.
(3)若焦点在x轴上,则设所求椭圆方程为x24+y23=t(t>0),将点P(2,-3)的坐标代入,得t=2.故所求椭圆方程为x28+y26=1.若焦点在y轴上,则设所求椭圆方程为y24+x23=λ(λ>0),将点P(2,-3)的坐标代入,得λ=2512,故所求方程为y2253+x2254=1.故椭圆方程为x28+y26=1或y2253+x2254=1.
(4)由x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1
在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'|2-|PF|2=102-62=8,
由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,则a=7,a2=49,
所以b2=a2-c2=49-52=24,所以椭圆C的方程为x249+y224=1.故选C.
(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=22-2,因为离心率e=22,所以ca=22,
解得a=22,c=2,则b2=a2-c2=4,
所以椭圆E的方程为x28+y24=1.
例3 C 由椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,可得m-3-11+m=2,解得m=9.故选C.
对点训练3(1)B (2)B (1)焦距2c=2,所以c=1.当m>4时,m-4=1,m=5;当0
(2)因为a=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x27+y216=1.
例4 AD 由题意知,点B和点A关于原点对称,则点B也在椭圆上.
设椭圆的左焦点为F',原点为O,则根据椭圆定义,有|AF|+|AF'|=2a.
根据椭圆的对称性可知|AF'|=|BF|,
因此|AF|+|BF|=2a.①
因为AF⊥BF,且在Rt△ABF中,O为斜边的中点,所以|AB|=2|OF|=2c,
所以|AF|=2csinα,②
|BF|=2ccosα.③
将②③代入①,得2a=2ccosα+2csinα,
所以e=2c2a=1sinα+cosα=12sinα+π4.因为α∈π6,π4,所以5π12≤α+π4≤π2,则22≤12sinα+π4≤3-1.因此所求椭圆离心率e的取值范围为22,3-1.故选AD.
对点训练4D ∵∠F1F2P=120°,△PF1F2为等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PE⊥x轴于点E,∴∠PF2E=60°.
∴|F2E|=c,|PE|=3c,∴P(2c,3c).
∵kPA=36,∴PA所在直线方程为y=36(x+a).
∴3c=36(2c+a).∴e=ca=14.
例5(1)C (2)D
(2)由正弦定理,可得|MF1|sin∠MF2F1=|MF2|sin∠MF1F2,结合题意可得|MF1|c=|MF2|a,所以|MF1|c=|MF2|a=|MF1|+|MF2|a+c.根据椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=2aca+c,|MF2|=2a2a+c,易知|MF2|>|MF1|.
因为M为椭圆上一点,所以a-c<|MF2|
依题意,有(a-c)2-(b-c)2≥32(a-c),所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),
所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),
所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0.①
又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,
所以2e2<1.②
联立①②,解得35≤e<22.
8.5 椭圆
第1课时 椭圆及几何性质
必备知识预案自诊
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a c,则点M的轨迹为椭圆;
(2)若a c,则点M的轨迹为线段;
(3)若a c,则点M不存在.
2.椭圆的标准方程及性质
标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图 形
性
质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
离心率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,
(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;
(2)S=b2tanθ2=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.( )
(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成的△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )
2.已知椭圆x24+y23=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )
A.25 B.35 C.235 D.255
4.如图,圆O的半径是定长r,A是圆O内一个定点(不与圆心O重合),P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
5.“0
考点
椭圆的定义及应用
【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=( )
A.10 B.8
C.6 D.4
(2)已知椭圆x28+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为( )
A.32 B.42
C.62 D.72
解题心得常利用椭圆的定义求解的问题
(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;
(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.
对点训练1(1)(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为( )
A.514 B.59
C.49 D.513
(2)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的一动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .
考点
椭圆的标准方程及应用
【例2】(1)椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为 .
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(6,1),P2(3,2),则椭圆的方程为 .
(3)与椭圆x24+y23=1有相同离心率且经过点P(2,-3)的椭圆方程为 .
(4)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 .
解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.
2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.
3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.
(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.
4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.
对点训练2(1)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为( )
A.x236+y216=1 B.x240+y215=1
C.x249+y224=1 D.x245+y220=1
(2)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22-2,离心率为22,则椭圆E的方程为 .
考点
椭圆的几何性质及应用(多考向探究)
考向1 椭圆的长轴、短轴、焦距
【例3】(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于( )
A.5 B.6 C.9 D.10
解题心得利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x,y的范围、离心率的范围等不等关系.
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系.
对点训练3(1)(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆x2m+y24=1(m>0)的焦距为2,则m的值等于( )
A.5 B.5或3
C.3 D.8
(2)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( )
A.x216+y27=1
B.x216+y27=1或x27+y216=1
C.x216+y225=1
D.x216+y225=1或x225+y216=1
考向2 求椭圆的离心率
【例4】(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈π6,π4,则该椭圆的离心率e的值可以是( )
A.22 B.33 C.63 D.3-1
解题心得1.求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e2=c2a2=a2-b2a2=1-ba2直接求.
(2)列出含有a,b,c的方程(组)或不等式(组),借助b2=a2-c2消去b,转化为关于e的方程(组)或不等式(组)求解.
2.当离心率e=ca越接近1时,椭圆的短半轴长b=a2-c2越小,椭圆就越“扁”,当e越接近0时,b=a2-c2越大也越接近a,椭圆就越“圆”.
对点训练4已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则椭圆C的离心率为( )
A.23 B.12 C.13 D.14
考向3 根据椭圆的性质求参数
【例5】(1)(2021年1月8省适应测试)椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.2
(2)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得在△MF1F2中,sin∠MF1F2a=sin∠MF2F1c,则该椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0,2-1) B.22,1
C.0,22 D.(2-1,1)
对点训练5已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于32(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是 .
8.5 椭圆
第1课时 椭圆及几何性质
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)> (2)= (3)<
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.B 由题意可知|MF1|-|MF2|=1,|MF1|+|MF2|=4,
解得|MF1|=52,|MF2|=32.又|F1F2|=2,
所以|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
所以△MF1F2为直角三角形.故选B.
3.B 由题意,得2b=16.4,2a=20.5,则ba=45,故离心率e=1-452=35.故选B.
4.A 连接QA.由已知得|QA|=|QP|.
所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又点A在圆O内,且不与圆心O重合,所以0<|OA|
例1(1)A (2)D (1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:x225+y29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.
(2)由已知得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×22=82.
所以|AF2|+|BF2|=82-|AB|,当AB⊥x轴时,|AB|最小,|AF2|+|BF2|最大.|AB|min=2b2a=2×222=2,所以|AF2|+|BF2|的最大值为82-2=72.故选D.
对点训练1(1)D (2)6+2 6-2 (1)如图,设线段PF1的中点为M,因为O为F1F2的中点,所以OM∥PF2,由题意可得PF2⊥x轴,易得|PF2|=53,|PF1|=2a-|PF2|=133,|PF2||PF1|=513.故选D.
(2)如图,
设椭圆右焦点为F1,则|PF|+|PF1|=6,F1(2,0).
所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.
因为-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立).
又|AF1|=2.所以|PA|+|PF|≤6+2,|PA|+|PF|≥6-2.故|PA|+|PF|的最大值为6+2,最小值为6-2.
例2 (1)x218+y29=1或y218+x29=1 (2)x29+y23=1 (3)x28+y26=1或y2253+x2254=1 (4)m|m<-1或1
(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).椭圆经过点P1,P2,
故点P1,P2的坐标适合椭圆方程,
则6m+n=1,3m+2n=1,解得m=19,n=13.
所求椭圆的方程为x29+y23=1.
(3)若焦点在x轴上,则设所求椭圆方程为x24+y23=t(t>0),将点P(2,-3)的坐标代入,得t=2.故所求椭圆方程为x28+y26=1.若焦点在y轴上,则设所求椭圆方程为y24+x23=λ(λ>0),将点P(2,-3)的坐标代入,得λ=2512,故所求方程为y2253+x2254=1.故椭圆方程为x28+y26=1或y2253+x2254=1.
(4)由x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1
在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'|2-|PF|2=102-62=8,
由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,则a=7,a2=49,
所以b2=a2-c2=49-52=24,所以椭圆C的方程为x249+y224=1.故选C.
(2)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,所以a-c=22-2,因为离心率e=22,所以ca=22,
解得a=22,c=2,则b2=a2-c2=4,
所以椭圆E的方程为x28+y24=1.
例3 C 由椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,可得m-3-11+m=2,解得m=9.故选C.
对点训练3(1)B (2)B (1)焦距2c=2,所以c=1.当m>4时,m-4=1,m=5;当0
(2)因为a=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x27+y216=1.
例4 AD 由题意知,点B和点A关于原点对称,则点B也在椭圆上.
设椭圆的左焦点为F',原点为O,则根据椭圆定义,有|AF|+|AF'|=2a.
根据椭圆的对称性可知|AF'|=|BF|,
因此|AF|+|BF|=2a.①
因为AF⊥BF,且在Rt△ABF中,O为斜边的中点,所以|AB|=2|OF|=2c,
所以|AF|=2csinα,②
|BF|=2ccosα.③
将②③代入①,得2a=2ccosα+2csinα,
所以e=2c2a=1sinα+cosα=12sinα+π4.因为α∈π6,π4,所以5π12≤α+π4≤π2,则22≤12sinα+π4≤3-1.因此所求椭圆离心率e的取值范围为22,3-1.故选AD.
对点训练4D ∵∠F1F2P=120°,△PF1F2为等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PE⊥x轴于点E,∴∠PF2E=60°.
∴|F2E|=c,|PE|=3c,∴P(2c,3c).
∵kPA=36,∴PA所在直线方程为y=36(x+a).
∴3c=36(2c+a).∴e=ca=14.
例5(1)C (2)D
(2)由正弦定理,可得|MF1|sin∠MF2F1=|MF2|sin∠MF1F2,结合题意可得|MF1|c=|MF2|a,所以|MF1|c=|MF2|a=|MF1|+|MF2|a+c.根据椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=2aca+c,|MF2|=2a2a+c,易知|MF2|>|MF1|.
因为M为椭圆上一点,所以a-c<|MF2|
依题意,有(a-c)2-(b-c)2≥32(a-c),所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),
所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),
所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0.①
又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,
所以2e2<1.②
联立①②,解得35≤e<22.
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