2020-2021学年1.1正弦定理学案

这是一份2020-2021学年1.1正弦定理学案，共10页。
§1　正弦定理与余弦定理1.1　正弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角形问题．(重点、难点)1.通过正弦定理的推导提升逻辑推理的素养．2．通过利用正弦定理解三角形，培养数学运算的素养.1．正弦定理阅读教材P45～P46例1以上部分，完成下列问题．语言表述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示＝＝比值的含义＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)变形(1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C作用揭示了三角形边、角之间的数量关系正弦定理的推导：当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，CD＝asinB，CD＝bsinA，所以asinB＝bsinA，得到＝.同理，在△ABC中＝.从以上的讨论和探究可得＝＝.思考：(1)在△ABC中，若已知角A和角B，边b，能求△ABC的其它的角和边吗？[提示]　能求，由C＝π－(A＋B)可求角C，由a＝，c＝，可求边a和c．(2)在△ABC中，若已知a＞b，能否利用正弦定理得到sin A＞sin B?[提示]　能得到，由a＞b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A＞2Rsin B，即sin A＞sin B．2．三角形面积公式阅读教材P47～P48问题3，完成下列问题．三角形ABC的面积：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．思考：(1)在△ABC中，若已知边a，b和角B，能否确定△ABC的面积？[提示]　不能，因为由条件不能得到角C，故不能求其面积．(2)若已知△ABC的边a，c和角B，选择哪个公式求△ABC的面积？[提示]　S＝acsin B．1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是(　　)A．＝　　　　　　 B．＝C．asinB＝bcosA D．acosB＝bsinAB　[在△ABC中，由正弦定理＝，得＝.]2．在△ABC中，若＝，则B的值为________．45°　[根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°<B<180°，所以B＝45°.]3．在△ABC中，若a＝2，b＝3，B＝60°，则sin A＝________.　[由正弦定理得sin A＝＝＝.]利用正弦定理解三角形【例1】　在△ABC中，(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；(2)若B＝30°，b＝5，c＝5，求A、C与a．[解]　(1)由三角形内角和定理，得：C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理＝＝，得b＝＝＝＝，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝，c＝＝＝＝＋1.(2)∵b＝5，c＝5，B＝30°，∴c·sin B<b<c，∴△ABC有两解，由正弦定理得：sin C＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，易得a＝10；当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝5.1．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知△ABC的两边a，b和角A，判断三角形解的个数，有以下三种方法法一：作图判断．作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．法二：根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sin B＝，当＞1时，无解；当＝1时，有一解；当＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，有一解；如果a＜b，即A＜B，有两解．法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判断解的个数．1．(1)在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于(　　)A．或　　　　　　 B．C． D．(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，sin B＝，a＝1，则b＝________.(1)C　(2)　[(1)由正弦定理，得sin C＝＝.因为BC>AB，所以A>C，则0<C<，故C＝.(2)因为A为△ABC的内角，且cos A＝，所以sin A＝，又a＝1，sin B＝，由正弦定理得b＝＝＝×＝.]判断三角形的形状【例2】　在△ABC中，已知acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状．[解]　由正弦定理，得sin A cos B＝sin Bcos A，即sin A cos B－cos A sin B＝0，sin(A－B)＝0，因为A，B为△ABC的内角，故A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断．(2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、纯角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．2．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．[解]　由已知得＝，由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)，得＝，sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B．∴2A＋2B＝π或2A＝2B．∴A＋B＝或A－B＝0.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.三角形的面积[探究问题]1．已知△ABC中的边a和b，角B，能否确定△ABC的面积？[提示]　不一定，因为△ABC可能有一解或两解，也可能无解．2．已知△ABC的边a和b，角C，能否确定△ABC的面积．[提示]　能，可由公式S△ABC＝absin C求得．3．已知在△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，求△ABC的面积．[提示]　由cos∠BAC＝得sin∠BAC＝，则△ABC的面积为S＝×AB×AC×sin∠BAC＝×2×3×＝1.【例3】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.思路探究：cos＝⇒sin B⇒sin A⇒求边c⇒△ABC的面积．[解]　∵cos＝，∴cos B＝2cos2－1＝.∴B∈，∴sin B＝.∵C＝，∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.∵＝，∴c＝＝×＝.∴S＝acsin B＝×2××＝.1．(变条件)在例3中，把条件换为“已知b＝1，B＝30°，c＝”，求△ABC的面积．[解]　由正弦定理＝得sin C＝＝，故C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，所以S△ABC＝bcsin A＝×1××1＝；当C＝120°时，A＝180°－30°－120°＝30°，所以S△ABC＝bcsin A＝×1××＝.综上所述△ABC的面积为或.2．(变结论)在例3中，若已知D是△ABC的边AC上一点，且CD＝，求△ABD的面积． [解]　法一：由例3的解答可知sin B＝，sin A＝，c＝，由正弦定理b＝＝＝，又CD＝，所以AD＝－＝，所以S△ABD＝×AB×AD×sin A＝×××＝.法二：由例3的解答可知S△ABC＝，又S△BCD＝×CB×CD×sin C＝×2××＝1，所以S△ABD＝S△ABC－S△BCD＝－1＝. 1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式．(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha、hb、hc分别表示a，b，c边上的高)．(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求另外两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若a＝2bcos C，则这个三角形一定是等腰直角三角形．(　　)(2)在△ABC中，若sin A＝，则A＝.(　　)(3)在△ABC中，a≥bsin A一定成立．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√[提示]　(1)错误，由正弦定理，a＝2bcos C可化为sin A＝2sin Bcos C，所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，所以sin(B－C)＝0，得B＝C，故△ABC是等腰三角形．(2)错误，由sin A＝得A＝或.(3)正确．2．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，b＝2，则a等于(　　)A．　　　　　　　　 B．C． D．3C　[由正弦定理得a＝＝＝.]3．在△ABC中，A＝60°，b＝2，c＝3，则△ABC的面积等于________．　[S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝.]4．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＝sin2C．求证：△ABC为直角三角形．[证明]　由正弦定理得＝＝.设＝k，sin2 A＝，sin2 B＝，sin2C＝.∵sin2 A＋sin2 B＝sin2 C，∴＋＝，即a2＋b2＝c2.∴△ABC为直角三角形．