高中数学第五章 三角函数本章综合与测试测试题

这是一份高中数学第五章 三角函数本章综合与测试测试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合检测(五)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．角α＝－2弧度，则α所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C．角α＝－2弧度，－2∈，所以α在第三象限，故选C．
2．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(　　)
A．135平方米 B．270平方米
C．540平方米 D．1 080平方米
解析：选B．根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝×45×＝270(平方米).故选B．
3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
解析：选C．由题意得P(1，－)，它与原点的距离为2，所以sin α＝－.故选C．
4．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选C．以O为圆心作单位圆，与x轴正半轴交于点A，作∠POA＝1交单位圆第一象限于点P，做PB⊥x轴，作AT⊥x轴交OP的延长线于点T，如图所示：

由三角函数的定义知，OB＝cos 1，BP＝sin 1，AT＝tan 1，因为>1>，所以AT>BP>OB，所以tan 1>sin 1>cos 1，所以c>a>b.故选C．
5．定义运算：＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移m(m>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝化为f(x)＝sin －cos ＝2sin ，再向左平移m(m>0)个单位即为f(x＋m)＝2sin ，又为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x＝0时函数值为最大或最小值，即sin ＝1或sin ＝－1，所以－＝kπ＋，k∈Z，即m＝2kπ＋，k∈Z，又m>0，所以m的最小值是.
6．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：选B．由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，联立方程组，可得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，又由tan αtan β＝＝－.故选B．
7．设函数f(x)＝3sin (ω>0)与函数g(x)＝2cos (3x＋φ)的对称轴完全相同，则φ的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选C．由题意，求函数g(x)＝2cos (3x＋φ)的对称轴，令3x＋φ＝kπ，解得x＝(k∈Z)，函数f(x)＝3sin (ω>0)，令ωx＋＝mπ＋，解得x＝(m∈Z)，因为函数f(x)＝3sin (ω>0)与函数g(x)＝2cos (3x＋φ)的对称轴完全相同，所以ω＝3，φ＝，故选C．
8．函数f(x)＝3sin cos ＋sin2－＋m，若对于任意的－≤x≤有f(x)≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m≥－
C．m≥－ D．m≥
解析：选D．f(x)＝3sincos ＋sin2－＋m＝sin＋－＋m＝sin ＋m，因为－≤x≤，所以－≤－≤，所以f(x)最小值－＋m≥0，所以m≥.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是(　　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1
C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
解析：选CD．因为tan2x－2tan2y－1＝0，－2·－1＝0，
整理得sin2x cos2y－2sin2y cos2x＝cos2y cos2x，
所以(1－cos2x)(1－sin2y)－sin2y cos2x＝(cos2y＋sin2y)cos2x，
即1－cos2x－sin2y＋sin2y cos2x－sin2y cos2x＝cos2x，
即sin2y＝1－2cos2x＝2sin2x－1，所以CD正确．故选CD．
10．在下列命题中，是真命题的是(　　)
A．y＝sin|x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)的图象与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝sin |x|的图象与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x的图象与y＝cos (－x)的图象相同
解析：选BD．对于A，y＝sin |x|是偶函数，而y＝sin x为奇函数，故y＝sin |x|与y＝sin x的图象不关于y轴对称，故A错误；对于B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，即其图象相同，故B正确；对于C，当x<0时，y＝sin |x|＝sin (－x)，即两图象相同，故C错误；对于D，y＝cos (－x)＝cos x，故这两个函数图象相同，故D正确，故选BD．
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
解析：选AC．因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件；B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故C符合条件；D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D不符合条件．故选AC．
12．对于函数f(x)＝，下列四个结论正确的是(　　)
A．f(x)是以π为周期的函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1
C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)
D．当且仅当2kπ 解析：选CD．函数f(x)＝的最小正周期为2π，画出f(x)在一个周期内的图象可得当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)＝cos x，
当2kπ＋ 可得f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，
当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；
当且仅当2kπ0，
f(x)的最大值为f＝，可得0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sin ＝，则sin ＝________．
解析：sin ＝sin
＝cos ＝cos 2＝1－2sin2
＝1－＝.
答案：
14．若函数y＝2sinx＋ cos x＋4的最小值为1，则实数a＝________．
解析：y＝2sin x＋ cos x＋4＝ sin (x＋φ)＋4，其中tan φ＝，且φ终边过点(2，).所以ymin＝－＋4＝1，解得a＝5.
答案：5
15．已知函数f(x)＝sin (0≤x≤π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________．
解析：方法一：因为函数f(x)＝sin (0≤x≤π)，所以2x＋∈.
因为f(α)＝sin ＝f(β)＝sin ＝∈(α≠β)，
不妨假设α<β，则2α＋∈，2β＋∈，
所以α＋∈，β＋∈.
所以α∈，β∈，
所以α＋β∈，α－β∈.
再根据sin －sin
＝sin －sin
＝2cos sin ＝2cos sin (α－β)＝0，
所以cos ＝0，
所以α＋β＋＝，或α＋β＋＝，则α＋β＝(舍去)或α＋β＝，
方法二：因为函数f(x)＝sin (0≤x≤π)，所以2x＋∈.
因为f(α)＝f(β)＝(α≠β)，
则由正弦函数的图象的对称性可得：2α＋＋2β＋＝2·，即α＋β＝.
答案：
16．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，最小正周期T∈，则T＝________，f(x)的单调递减区间是________．
解析：由于f(x)的最小正周期T∈，ω>0，所以∈⇒2<ω<4.
由于f(x)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，
所以k1，k2∈Z，
两式相加得2φ＝(k1＋k2)π＋，k1，k2∈Z，
由于0<φ<，0<2φ<π，所以2φ＝⇒φ＝.
则ω＋＝k1π⇒ω＝4k1－1，k1∈Z，结合2<ω<4可得ω＝3，
所以f(x)＝sin .
所以f(x)的最小正周期为T＝.
由2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋，解得＋≤x≤＋，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
答案：　(k∈Z)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知－ (1)求的值；
(2)求sin x－cos x的值．
解：(1)因为sin x＋cos x＝.
所以1＋2sin x cos x＝，即sin x cos x＝－.
＝，
＝＝sin x cos x＝－.
(2)由(1)知sin x cos x＝－<0，又－ 所以cos x>0，sin x<0，
所以sin x－cos x＝－＝－＝－.
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递增区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
解：(1)由函数的图象可得A＝3，T＝×＝4π－，解得ω＝.
再根据五点法作图可得×＋φ＝2kπ，k∈Z，由|φ|<，则令k＝0，所以φ＝－，所以f(x)＝3sin .
(2)令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，求得5kπ－π≤x≤5kπ＋，故函数的单调递增区间为，k∈Z.
函数的最大值为3，此时，x－＝2kπ＋，即x＝5kπ＋，k∈Z，即f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为{x|x＝5kπ＋，k∈Z}．
(3)设把f(x)＝3sin 的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．
则由(x＋m)－＝x＋，求得m＝π，
把函数f(x)＝3sin 的图象向左平移π个单位，
可得y＝3sin ＝3cos x的图象．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos ωx sin ＋(ω>0)，____________，求f(x)在的值域．
从①若|f(x1)－f(x2)|＝2，|x1－x2|的最小值为；
②f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为；
③若f(x1)＝f(x2)＝0，|x1－x2|的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
解：由于f(x)＝2cos ωx sin ＋＝2cos ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin ∈[－1，1].
选①②③都可以得到f(x)的半周期为，则＝＝⇒ω＝1.
所以f(x)＝sin .由于－≤x≤，－≤2x－≤0，
所以f(x)∈[－1，0]，即f(x)的值域为[－1，0].
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinx cos x.　
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝，求cos 的值．
解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinx cos x
＝－cos 2x＋sin 2x＝2＝2sin ，
所以T＝π.
(2)因为f(α)＝，即2sin ＝，sin ＝，
所以cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋sin x·，其中x∈R.
(1)求使得f(x)≥的x的取值范围；
(2)若函数g(x)＝sin，且对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1 解：(1)由题意得，f(x)＝cos 2x＋sinx＝sin .
令sin ≥，得sin ≥，
即＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，故x的取值范围为，k∈Z.
(2)由题意得，f(x1)－g(x1) 令h(x)＝f(x)－g(x)＝sin －sin
＝－＝sin 2x，
即h(x1) 由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z得，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，则函数h(x)包含原点的单调递增区间为，即t≤.故正实数t的最大值为.
22．(本小题满分12分)某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．

(1)设∠OPA＝α，将展板所需总费用表示成α的函数；
(2)若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
解：(1)过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH＝cos α，OH＝sin α，

因为正方形ABCD的中心在展板圆心，
所以铜条长相等，每根铜条长为2cos α，
所以AD＝2OH＝2sin α，所以展板所需总费用为y＝80cos α＋80sin2α.
(2)y＝80cosα＋80sin2α＝－80cos2α＋80cosα＋80
＝－80＋100≤100，当cos α＝时等号成立．
所以上述设计方案不会超出班级预算．