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中考数学压轴题剖析与精炼（含解析）：17 二次函数的面积问题
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这是一份中考数学压轴题剖析与精炼（含解析）：17 二次函数的面积问题，共72页。
17二次函数的面积问题
【考点1】二次函数的线段最值问题
【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）最大值是．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
由勾股定理得，BC＝＝5，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析是为y＝﹣x+3，
设点M的坐标为（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，即＝，
解得，DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式1-1】．已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.
【解析】
【分析】
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，
mx2+mx=0，mx（x+1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=-1．
∴抛物线与直线有两个交点．
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图1，当-1≤t≤0时，PQ==．
∵m＞0，
当时，PQ有最大值，且最大值为．
∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值为．
②如图2，当0＜t≤1时，PQ==．
∵m＞0，
∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．
综上所述，PQ的最大值为6．
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．
【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，
∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.
∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
当n=时，S△OPB的最大值为．
此时y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立，
∴﹣（x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.
【考点2】二次函数的面积定值问题
【例2】已知二次函数．
（1）图象经过点时，则_________；
（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面积是与m无关的定值，S△AMN＝.
【解析】
【分析】
（1）将点代入二次函数解析式即可求出m；
（2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围；
（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN的面积是与m无关的定值．
【详解】
解：（1）将点代入可得：，
解得：m=4；
（2）二次函数的对称轴是：x＝m，
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
∴m≥2；
（3）的面积是与m无关的定值；
如图：顶点A的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B，
∵tan∠AMB＝tan60°＝，
∴AB＝BM＝BN，
设BM＝BN＝a，则AB＝a，
∴点M的坐标为（m＋a，a−m2＋4m−8），
∵点M在抛物线上，
∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，
整理得：，
解得：a＝或a＝0（舍去），
∴△AMN是边长为的正三角形，
∴AB=3，S△AMN＝，与m无关.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．
【变式2-1】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+x+2；(2)见解析；（3）见解析.
【解析】
【详解】
分析：（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
详解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，
联立解得：M2（，），M3（，），
此时S=1．
点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式2-2】如图：已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与交于点C，抛物线对称轴与轴交于点D，为轴上一点．
（1）写出点A、B、C的坐标（用表示）；
（2）若以DE为直径的圆经过点C且与抛物线交于另一点F，
①求抛物线解析式；
②P为线段DE上一动（不与D、E重合），过P作作，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；
（3）如图②，将线段绕点顺时针旋转30°，与相交于点，连接.点是线段的中点，连接.若点是线段上一个动点，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，延长交于点．若△的面积等于△的面积的，求线段的长．
【答案】（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，)
（2）①，② ，理由见解析；
（3）线段的长为2或
【解析】
（1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，）
（2）△DCE为直角三角形．
①OC2=OD·OE，m=，∴
②∵DE为直径，∴∠DCE=∠DFE=90°，∵PQ⊥EC，PH⊥DF，∴PQ∥DC，PH∥EF，，∴
（3）A（，0），B（，0），又∠OAM=60° ，∴cos30°=，∴OM=6，M（0，6）
又tan∠ABM==，∴∠OBM=60° ，∠AMB=90° ，
是线段的中点，∴∠OSM=60° ，∴∠AOS=30° ，又∠SOT=90° ，∠AOT=60° ，
∴直线TK：y=-x；BM：y=x-6，联立两个方程，解得：K（，-3）
设MN=a，TK=TO+OK=a+2，∴△KTN的高h=TK·sin60°=
NK=，∵S△KTN=S△ABM
， ∴
a=2或a=
点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转化，属于中考压轴题．
【考点3】二次函数的面积最值问题
【例3】已知抛物线．
（1）求证：抛物线与轴必定有公共点；
（2）若P（，y1），Q（－2，y2）是抛物线上的两点，且y1y2，求的取值范围；
（3）设抛物线与x轴交于点、，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，记△ACE的面积为S1，△DCE的面积为S2，求是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）或，（3）没有最小值；有最大值是
【解析】
分析：（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都大于零，再判断出物线与x轴总有交点．
（2）分两种情况：当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，得；当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，，故得解.
详解：（1）令 得
∴
∴
无论取何值，
∴ 抛物线与轴必定有公共点
（2）∵，抛物线的对称轴是
当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，
∵y1y2，
当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，
Q（－2，y2）关于对称轴的对称点是（3，y2）
∵y1y2，
综上所述：或
（3），
∵ 、∴ ，解得或
∴
∴ 、，
∴ 直线BC的解析式是
设点A到直线BC的距离是，点D到直线BC的距离是，
△ACE的面积S1，△DCE的面积S2
∴ ，
∴ 求的最值转化为求的最值
设过点D与直线BC平行的直线解析式为
当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，无最小值，仅当直线与抛物线只有一个公共点时，有最大值
即方程组有两个相等的实数根
∴， ，
∴，此时
∴ 没有最小值；有最大值是
∴、
点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．
【变式3-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点.
①求点的坐标；
②求抛物线的解析式；
③如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标和面积的最大值.
【答案】①；②；③点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
【解析】
【分析】
①利用利用x轴上点的坐标特点代入一次函数即可.
②根据抛物线经过、两点，先求出B点坐标，再用待定系数法求解析式即可.
③根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，利用E、M横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出EM的长，再利用，把EM看作△BEM和△MEC的底，求出面积写出关系式，最后利用二次函数求最值即可.
【详解】
解：①∵直线与轴交于点，
∴当y=0时，解得x=4
∴C点坐标为：
②直线与轴交于点，与轴交于点，
当x=0时，解得y=3
∴点的坐标是，点的坐标是，
抛物线经过、两点，
解得,
抛物线的解析式为.
③如图，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，
已知点是直线上方抛物线上的一动点，则可设点的坐标是，
点的坐标是，
.
，
.
即当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
【点睛】
此题考查的是①一次函数的与坐标轴的交点坐标；②待定系数法求二次函数解析式；③用“铅垂高，水平宽”求面积最值问题.
【变式3-2】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
(1)求这个抛物线的函数表达式；
(2)若点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)；(2)的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）根据A,B两点坐标可得出函数表达式；
（2）设点，根据列出S关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.
【详解】
解：（1）将A,B两点的坐标代入解析式得，解得
故抛物线的表达式为：；
（2）连接，设点，
由（1）中表达式可得点，
则
，
∵，故有最大值，当时，的最大值为.
【点睛】
本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.
【考点4】二次函数面积的其它问题
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过两点，与轴交于另一点.
（1）求抛物线解析式及点坐标；
（2）连接，求的面积；
（3）若点为抛物线上一动点，连接，当点运动到某一位置时，面积为的面积的倍，求此时点的坐标.
【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为， ，，见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用两点是一次函数上的点求出两点，再代入二次函数求解即可.
（2）根据，求出，求出△ABC.
（3）根据面积为的面积的倍，求出，得出求出此时M的坐标即可.
【详解】
（1）解：∵直线
∴令，则，解得
∴
令，则，∴
将点，代入中得，
，解得
∴抛物线的解析式为：；
令，则，解得
∴.
（2）解：∵，∴
∴
（3）∵面积为的面积的倍，
∴
∵AB=4 ,
∴，
∵
∴抛物线的顶点坐标为符合条件，
当时，，解的，x1=，x2=，
∴点的坐标为（3，-4）， ，.
【点睛】
本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.
【变式4-1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．
1. 求直线与抛物线的解析式．
2.若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝，求当△PON的面积最大时tan的值．
3. 若动点P保持（2）中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1) 所求的抛物线为． (2) (3) 存在点，其坐标为（1，3）
【解析】
【分析】
（1）根据C点的坐标可确定直线AD的解析式，进而可求出B点坐标，将B、C、O三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；
（2）此题的关键是求出P点的坐标；△PON中，ON的长为定值，若△PON的面积最大，那么P点离ON的距离最远，即P点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得P点的坐标，进而可求出α的正切值；
（3）设出点P的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出P点的纵坐标；根据直线AD和抛物线的解析式可求出A、N的坐标；以ON为底，P点纵坐标为高可得到△OPN的面积，以OA为底，P点横坐标为高可得到△OAP的面积，根据题目给出的△POA和△PON的面积关系即可求出P点的横坐标，进而可求出P点的坐标．
【详解】
（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时，y=3，
所以B点的坐标为（1，3）
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，
可得
解得，
所以所求的抛物线为y=-2x2+5x．
（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
又该抛物线的顶点坐标为（，此时tan∠α=
（3）存在；
把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）
把y=0代入抛物线y=-2x2+5x
得x=0或x=，所以点N（，0）
设动点P坐标为（x，y），
其中y=-2x2+5x （0＜x＜）
则得：S△OAP=|OA|•x=2xS△ONP=|ON|•y=ו（-2x2+5x）=（-2x2+5x）
由S△OAP=S△ONP，
即2x=•（-2x2+5x）
解得x=0（舍去）或x=1，
得x=1，由此得y=3
所以得点P存在，其坐标为（1，3）．
【点睛】
此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
【变式4-2】如图，抛物线与直线交于、两点，过作轴交抛物线于点，直线交轴于点．
求、、三点的坐标；
若点是线段上的一个动点，过作轴交抛物线于点，连接、，当时，求的值；
如图，连接，及，设点是的中点，点是线段上任意一点，将沿边翻折得到，求当为何值时，与重叠部分的面积是面积的．
【答案】（1）点坐标，点坐标，点坐标；（2）；（3）当或 时，与重叠部分的面积是面积的 ．
【解析】
【分析】
（1）列方程组可知A、B两点坐标，根据点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，列方程可求得点C坐标．
（2）如图1中，设，，则，根据 列出方程求出点H的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．
（3）分两种情形①若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG．如图2，可证四边形PFCG是平行四边形，得，在Rt△PBO中，根据，即可解决问题．②若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG．如图3，可证四边形PFGC是平行四边形，得即可解决问题．
【详解】
解：由解得或，
∴点坐标，点坐标，
∵轴，
∴点纵坐标为，
由，解得或，
∴点坐标．
如图中，设，，则，
由题意，
解得或（舍弃），
∴．
∵，，
∴，，，
∵，
∴．
①若翻折后，点在直线下方时，连接．如图，
∵，
∴，
∴．，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴．
②若翻折后，点在直线上方时，连接．如图，
∵，
∴，
∴．，
∴四边形是平行四边形，
∴，
综上所述:当或时，与重叠部分的面积是面积的 ．
【点睛】
属于二次函数综合题，考查二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性比较强，难度较大.
一、解答题
1．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）或（3）为定值
【解析】
【分析】
（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．
（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．
（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．
【详解】
（1）∵抛物线经过点，.
∴，解得：.
∴抛物线的函数表达式为.
（2）①若点在轴下方，如图1，
延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点.
∵当，解得：，.
∴.
∵，，
∴，，，，
∴中，，，
∵，为中点，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴中，，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴中，，，.
∴，，
∴，，即，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
②若点在轴上方，如图2，
在上截取，则与关于轴对称，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
综上所述，点的坐标为或．
（3）为定值.
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，，
设，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
∴，为定值．
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.
2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+8；（2）正确，d＝|PD﹣PF|为定值2；理由见解析；（3）△PDE周长的最大值是2+14，最小值是2+10．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；
（3）过E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小；当P与A重合时，PE＋PF最大；即可解答．
【详解】
（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
则，
解得：．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+8．
（2）设P（x，﹣x2+8），则F（x，8），
则PF＝8﹣（﹣x2+8）＝x2．
PD2＝x2+[6﹣（﹣x2+8）]2＝x4+x2+4＝（x2+2）2
∴PD＝x2+2，
∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2﹣x2|＝2
∴d＝|PD﹣PF|为定值2；
（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，
由d＝|PD﹣PF|为定值2，
得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（﹣4，0）
∴DE＝．
∴C△PDE＝2+2+（PE+PF），
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，
得C△PDE最小值＝2+2+8＝2 +10．
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．
由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以当P与A重合时，PE+PF最大，
AE＝8﹣4＝4，PD＝＝10．
得C△PDE最大值＝2+4+10＝2+14．
综上所述，△PDE周长的最大值是2+14，最小值是2+10．
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA="16" cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y＝x2+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．
【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9
【解析】
试题分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出CQ、OP、OQ的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面积减去△ABP与△BCQ的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入数据求解即可得到t值，从而得到点P的坐标；
（4）先求出直线BP的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点M、N的坐标，再根据两点间的距离表示出MN的长度，根据二次函数的最值问题解答．
（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，
=128-64+8t-8t=64，
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于64；
（3）当△OPQ∽△ABP时，./
解得：t1=2，t2=8（舍去），
此时P（4，0），
∵B（16，8），
∴抛物线解析式是；
（4）设直线BP的解析式为y=kx+b
∴直线BP的解析式是
∵M在BP上运动，
∴4≤m≤16，
∴当时，MN有最大值是9．
考点：二次函数的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
4．如图1所示，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点．
求抛物线的函数表达式；
如图2所示，若点M是抛物线上一动点，且，求点M的坐标；
如图3所示，设点N是线段AC上的一动点，作轴，交抛物线于点P，求线段PN长度的最大值．
【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或； 线段PN长度最大值为4．
【解析】
【分析】
（1）把函数设为交点式，代入C点坐标，进而求出a的值即可；
（2）设M点坐标为（x，-x2-3x+4），根据S△AOM=3S △BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+4，再设N点坐标为（x，x+4），则P点坐标为（x，-x2-3x+4），然后用含x的代数式表示PN，根据二次函数的性质即可求出线段PN长度的最大值．
【详解】
解：（1）把函数设为交点式，
由，得，把代入，得，
故抛物线的解析式为；
（2）设M点坐标为，
，
，
整理得或，
解得或，
则符合条件的点P坐标为或或或；
（3）设直线AC的解析式为，将，代入，
，
解得，
即直线AC的解析式为，
设点N坐标为，，则P点坐标为，
设，则，
即当时，y有最大值4，
故线段PN长度最大值为4．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.
5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标．
【答案】（1）y＝，x＝3；（2）P（3，）；（3）D的坐标为（6，4）．
【解析】
【分析】
（1）因为抛物线经过点B（1，0），C（5，0），可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．求出直线AC的解析式即可解决问题；
（3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D的纵坐标为±4，代入抛物线的解析式即可求得．
【详解】
（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），
∴可以假设抛物解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入得4＝5a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4．
抛物线对称轴x＝＝3．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，4），C（5，0），
∴，
解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，
把x＝3代入得，y＝，
∴交点P为（3，）；
（3）根据题意得D的纵坐标为±4，
把y＝4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣x+4＝4，
解得x＝0或6，
把y＝﹣4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣6x+10＝0，
∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×10＜0，
∴无解，
(0,4)为A点(舍)，D的坐标为（6，4）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题．
6．如图，抛物线与轴相交于点（﹣1，0）、（3，0），与轴相交于点，点为线段上的动点（不与、重合），过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、，点在轴正半轴上，=2，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
【答案】（1）抛物线的解析式为：；(2) 点坐标为或；(3) ①当时，所求直线的解析式为：；②当时，所求直线的解析式为：.
【解析】
试题分析：
（1）将点和点的坐标代入抛物线函数中，可求出未知量，.则可求出该抛物线解析式；（2）由平行四边形的性质可知，，用含未知量的代数式表示的长度。则可得点坐标 ；（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．求得此直线，首先要求得对称中心的坐标.则两点坐标可确定该直线.
试题解析：
（1）点、在抛物线上，
∴，
解得，，抛物线的解析式为：．
（2）在抛物线解析式中，令，得，．
设直线BC的解析式为，将，坐标代入得：
，解得，，∴．
设点坐标为，则，，
∴
四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点坐标为或．
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．
①当时，点坐标为，又
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，
解得， ，∴所求直线的解析式为：；
②当时，
点坐标为，又，
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，解得，，所求直线的解析式为:．
综上所述，所求直线的解析式为：或．
【考点】1.一次函数解析式的解法；2.二次函数解析式的解法.
7．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形．
(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标．
【答案】
解：(1)∵由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，
点的坐标为(3，0)．
所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)设抛物线的解析式为，可得
解得
∴过点C，A，的抛物线的解析式为．
(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°．
∴,又.
,∴又,
∴,又△ABO的周长为．
∴的周长为．
（3）连接OM，设M点的坐标为，
∵点M在抛物线上，∴．
∴
=
=
因为，所以当时，．△AMA’的面积有最大值
所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为．
【解析】
（1）由图形翻折性质可知点的坐标为(3，0)，把有关点的坐标代入抛物线解析式，求得待定系数，即可知抛物线解析式；
（2）相似三角形周长之比等于相似比；
（3）（3）求面积最大值，可把面积化为二次函数形式，然后求最大值．
8．如图，已知抛物线经过点、.
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积
（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）
【答案】（1），;（2）36;（3）
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；
（2）S四边形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．
【详解】
（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，
点M坐标为（2，-3）；
（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），
S四边形AMBC=AB（yC-yD）=×6×（9+3）=36；
（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，
抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，
则新抛物线表达式为：y=x2，
则定点D与动点P之间距离PD=，
∵＞0，PD有最小值，当x2=3m-时，
PD最小值d=．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．
9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.
【答案】（1）；（2）符合条件的点的坐标为：或或；（3）面积的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，-x2-2x+3），根据S△AOP=4S △BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，-x2-2x+3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值,再根据求得最大面积．
【详解】
（1）把，代入，得
，解得.
故该抛物线的解析式为：.
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得.
设P点坐标为（x，-x2-2x+3），
∵，
∴.
整理，得或，
解得或.
则符合条件的点的坐标为：或或；
（3）设直线的解析式为，将，代入，
得， 解得.
即直线的解析式为.
设点坐标为，，则点坐标为，
，
∴当时，有最大值.
此时，
∴面积的最大值为.
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
10．抛物线经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）点P坐标为（2,6）；（3）Q点坐标为（，-)或（，）.
【解析】
分析：（1）把A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；
（2）设P点坐标为（x，-x2+3x+4），根据四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP以及四边形COBP的面积=2S△COB求解即可；
(3)分AQ和AN分别为对角线时进行讨论可得解.
详解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，
,
解得：
故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）设P点坐标为（x，-x2+3x+4），如图，
∴四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP==-2x2+8x+8
∵直线BC平分四边形COBP的面积
∴四边形COBP的面积=2S△COB
即：-2x2+8x+8=
解得x=2
将x=2代入抛物线表达式得y=6
故点P坐标为（2,6）
(3)存在
①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，
故Q（）
②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，
故Q（）
综上所述，Q点坐标为（)或（）
点睛：本题综合考查了二次函数和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想.
11．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；
【答案】(1)；(2)；；
【解析】
【分析】
（1）先求D的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点，关于轴，轴的对称点，，连接交轴，轴于点，.即，F,N，在同同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线的表达式，再求N,F的坐标；
【详解】
解：(1)由题意，得点的坐标，.
∵，
∴.
∴点的坐标.
将点，分别代人抛物线，得
解得
∴抛物线的表达式为.
(2)分别作点，关于轴，轴的对称点，，
连接交轴，轴于点，.
由抛物线的表达式可知，顶点的坐标，
∴点的坐标.
设直线为，
∵点的坐标，
∴
解得
∴直线的表达式为.
令，则，解得，
∴点的坐标.
令，则，
∴点的坐标.
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
12．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点为，其对称轴交轴于点．直线经过、两点，交抛物线的对称轴于点，其中点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的周长；
(3)若是抛物线位于直线的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式即可求出.
（2）首先求出D点、A点、B点坐标，进而利用待定系数法求出直线DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的长，即可得出△ABM的周长；
（3）首先表示出P，Q点的坐标，进而表示出S四边形DPHM＝S△DPM＋S△PMH，利用二次函数最值求出即可
【详解】
将，点坐标代入解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
当，，则．
由，，
则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
则直线的解析式为，
抛物线对称轴为，则
在中，，
∴，
垂直平分，则，
则，
所以的周长为：；
如图，连接，过作垂直于轴交于
抛物线的顶点坐标为
令，则，
则，
，
，
故
∵，
∴抛物线开口向下，
故当时，最大，则，
则．
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合知识的应用，利用F点位置的不同分类讨论得出是解题关键
13．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（，）．
【解析】
试题分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．
试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得：
，解得．
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）2+
∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，
∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
14．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；（2）当x=时，线段PQ的长度有最大值；（3）综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出即可得抛物线的解析式，最后通过配方成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），则可得PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1），再根据二次函数的性质即可求得PQ长的最值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），根据等腰三角形的性质可得QH=PH，然后分点E坐标为（0，1）和点E坐标为（0，2）两种情况分别讨论即可得到对应的P点坐标.
【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，
当x=时，线段PQ的长度有最大值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∵EP=EQ，
∴QH=PH，
∵OC=3，E为线段OC的三等分点，
∴E（0，1）或（0，2），
当E点坐标为（0，1）时，则H（x，1），
∴﹣x2+2x+3﹣1=1﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3（舍去），此时P点坐标为（0，﹣1）；
当E点坐标为（0，2）时，则H（x，2），
∴﹣x2+2x+3﹣2=2﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，此时P点坐标为（1，0）或（2，1），
综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到二次函数的性质、等腰三角形的性质、待定系数法等知识，会用分类讨论的思想进行解答是关键.
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点E的坐标为（，）或（，）；（3）在点E的运动过程中，MN+MP的和是定值，该定值为8．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设点E（m，m2+2m﹣3），由于直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），可得直线表达式为y＝x，因为EF平行OA，可求得点F的横坐标，进而得出EF的长度，当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，即，解方程求得m的值，进而得出点E的坐标；
（3）如图，作EH⊥OA于点H，证明△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，可得，设点E（m，m2+2m﹣3），可求得MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，进而得出MP+MN＝8，其值为定值.
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设点E（m，m2+2m﹣3），
∵直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），
∴﹣3＝﹣2k，k＝，
∴y＝x，
∵过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，
∴m2+2m﹣3＝x，
∴x=，
当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，
∴，
解得m＝1（舍去）或m＝-或m＝或m＝（舍去），
∴点E的坐标为或；
（3）如图，作EH⊥OA于点H，
∵PM⊥OA，
∴PM∥EH，
∴△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，
∴，
设点E（m，m2+2m﹣3），
则，
∴MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，
∴MP+MN＝8，
∴在点E的运动过程中，MN+MP的和是定值，该定值为8．
【点睛】
考查二次函数，平行四边形，相似三角形等知识，综合性强．用点的坐标来表示线段的长是解决本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与X轴的交点为A,与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．
【答案】(1)A(18,0),B(0,−10),C(8,−10),顶点坐标为；（2）t=；（3）△PQF的面积总为90；（4）.
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；
（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；
（3）当0
试题解析：（1），
令y=0，得x2−8x−180=0，
即(x−18)(x+10)=0，
∴x=18或x=−10.
∴A(18，0)
在中，令x=0得y=−10，
即B(0，−10).
由于BC∥OA，
故点C的纵坐标为−10，
由−10=得，x=8或x=0，
即C(8，−10)且易求出顶点坐标为(4，−)，
于是，A(18，0)，B(0，−10)，C(8，−10)，顶点坐标为(4，−)；
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA.
故只要QC=PA即可，
而PA=18−4t，CQ=t，
故18−4t=t得t=；
（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，
故
∵△AEF∽△CEQ，
∴AF:CQ=AE:EC=DP:QD=4:1，
∴AF=4t=OP，
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵点Q到直线PF的距离d=10，
∴S△PQF=PF⋅d=×18×10=90，
于是△PQF的面积总为90；
（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18+4t，0)，Q(8−t，−10)t∈(0，4.5).
∴PQ2=(4t−8+t)2+102=(5t−8)2+100
FQ2=(18+4t−8+t)2+102=(5t+10)2+100.
①若FP=FQ，则182=(5t+10)2+100.
即25(t+2)2=224，(t+2)2=.
∵0⩽t⩽4.5，
∴2⩽t+2⩽6.5，
∴t+2==.
∴t=−2，
②若QP=QF，则(5t−8)2+100=(5t+10)2+100.
即(5t−8)2=(5t+10)2，无0⩽t⩽4.5的t满足．
③若PQ=PF，则(5t−8)2+100=182.
即(5t−8)2=224，由于≈15，又0⩽5t⩽22.5，
∴−8⩽5t−8⩽14.5，而14.52=()2=<224.
故无0⩽t⩽4.5的t满足此方程．
综上所述，当t=−2时，△PQF为等腰三角形.
点睛：本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.
17．已知抛物线=（≠0）与轴交于A､B两点,与轴交于C点,其对称轴为=1,且A（-1,0）､C（0,2）.
（1）直接写出该抛物线的解析式;
（2）P是对称轴上一点,△PAC的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标;
（3）设对称轴与轴交于点H,点D为线段CH上的一动点（不与点C､H重合）.点P是（2）中所求的点.过点D作DE∥PC交轴于点E.连接PD､PE.若CD的长为,△PDE的面积为S,求S与之间的函数关系式,试说明S是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S取得的最值及此时的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) =-++2;(2) P（1,）;(3)见解析.
【解析】
分析：
（1）由已知条件易得点B的坐标为（3，0），这样结合点A、C的坐标即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可知，AC长度是固定值，点A和点B关于直线x=1对称，由此可得连接BC交直线x=1于点P，此时△PAC的周长最小，求得直线BC的解析式，即可求得此时点P的坐标；
（3）如图2，画出符合题意的图形，过点D作DF⊥y轴于点F，交对称轴x=1于点N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽Rt△CHO，可将CF、OF和FD用含m的代数式表达出来，从而可表达出点D和点N的坐标，再用待定系数法求得用含m的代数式表达的DE的解析式，即可表达出点E的坐标和点Q的坐标，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S与m间的函数关系式，将所得解析式化简、配方即可得到所求答案.
详解：
（1）∵抛物线=（≠0）与轴交于A､B两点,其对称轴为=1,且A（-1,0），
∴点B的坐标为（3，0），
∴可设抛物线解析式为：，
∵抛物线和y轴交于点C（0，2），
∴，解得：，
∴，即；
（2）△PAC的周长有最小值，连结AC､BC，
∵AC的长度一定,
∴要使△PAC的周长最小,就是使PA+PC最小.
∵点A关于对称轴=1的对称点是B点,
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P（如图2）,
设直线BC的表达为:=,则有
,解得,∴:=-+2,
把=1代入,得=,
即点P的坐标为P（1,）,
∴△PAC的周长取得最小值,取得最小值时点P的坐标为P（1,）；
（3）如图2，设DE对称轴x=1于点Q,
在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.
过点D作DF⊥轴于点F，交对称轴=1于点N，
∵Rt△CDF∽Rt△CHO，
∴，
∴CF===，OF=CO-CF=2-；
同样： ，FD===，
∴点D的坐标为D（,2-），
∴N（1，2-）.
∵DE∥BC，
∴可设（过点D､E的直线）:=-+，
把D点坐标代入其中，得- +=2-，
解得=2-，
∴：=-+2-，
点E的纵坐标为0，代入其中，解得=3-，
∴E（3-，0）.
∵点Q在对称轴=1上，把=1代入中，解得=-，
∴Q（1,-）.
PQ=-（-）=,DN=1-，
EH=3--1=2-.
S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH
=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,
化简得S=-+,
可知S是关于的二次函数.
S存在最大值.
配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值为,
取得最大值时的值为:=.
点睛：本题是一道二次函数与几何图形的综合题，第1和第2小题比较简单；第3小题难点较大，画出符合题意的图形，作出如图所示的辅助线，借助于△CDF∽△CHO，利用相似三角形的性结合题中的已知条件，把点D、E、Q的坐标用含m的代数式表达出来是解决第3小题的关键.
18．如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵当 ，□MANB=△= ，此时；⑶存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；
（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．
【详解】
（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，
得，，
解得a=-1，c=3，
∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，
得，，
解得，k=1，b=1，
∴yAB=x+1，
设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK=-a2+2a+3-（a+1）
=-（a-）2+，
根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，
∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK
=MK•AH+MK•（xB-xH）
=MK•（xB-xA）
=××3
=，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；
（3）存在点F，
∵y=-x2+2x+3
=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，
抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，
则BF=BN=-3=，CF=CH=，
由题意可列：，
解得，a=，
∴F（1，）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
19．如图，在平面直角坐标系中，将矩形中的点沿AE对折，使点D落在上的F点，已知AO=8，AD=10，G(-1,7),已知抛物线过点O ,F,G.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线的对称轴上一动点，当取得最大值时，求点M的坐标；
（3）一条动直线过平面上一点B，点B的坐标为(3,-8)，且该直线与（1）中的抛物线交于P,Q两点，请判断：是否为定值.若是定值请求出定值，若不是定值，请求出其取值范围.（参考公式：在平面直角坐标系中，若H(x1,y1),N(x2,y2)，则两点间的距离为）
【答案】（1） ；（2）抛物线对称轴为， ；（3）不是定值，.
【解析】
【分析】
（1）根据折叠性质和勾股定理求出OF，设抛物线解析式为，用待定系数法求解；（2）连接于抛物线的对称轴的交点即为所求；（3）设直线解析式为与抛物线解析式联立方程组得，化简得，；设，则；根据勾股定理得；；；由，得，故不是定值.
【详解】
（1） 由折叠可知：
设抛物线解析式为代入得
故抛物线的解析式为
（2）连接于抛物线的对称轴的交点即为所求，
可求出直线的解析式为
由于抛物线对称轴为，所以
（3）设直线解析式为与抛物线解析式联立方程组得
化简得
设
则
同理：
故不是定值，.
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合应用，一元二次方程根与系数关系，根判别式；结合图形，数形结合是关键.
20．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.
①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；
②当取最大值时，求点到线段的距离；
③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）①②2③
【解析】
【分析】
（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.
（2）①由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用△PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且0≤m≤4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.
②当n取最大值4时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点到线段CQ距离
③由题意求得线段的解析式为：，故可设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时可求对应的点的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ’的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由，得此时t值，即可解题.
【详解】
解：（1）根据题意得：,，
在中
，且,
∴，
,将点坐标代入得：，
故抛物线解析式为：；
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，
设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），
则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,
即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：
n==（0≤m≤4），
∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，
∴≤n≤4；
②由①知：当n取最大值4时，m=4，
∴P（2,4），Q（4,0）
则PC=，PQ=2，CQ=5，
设点P到线段CQ距离为，
由，
得：
故点到线段距离为；
③由②可知：当取最大值4时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点
此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，
联解
得：，化简得：
，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，.
【点睛】
本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题.
17二次函数的面积问题
【考点1】二次函数的线段最值问题
【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）最大值是．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
由勾股定理得，BC＝＝5，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析是为y＝﹣x+3，
设点M的坐标为（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，即＝，
解得，DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式1-1】．已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.
【解析】
【分析】
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，
mx2+mx=0，mx（x+1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=-1．
∴抛物线与直线有两个交点．
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图1，当-1≤t≤0时，PQ==．
∵m＞0，
当时，PQ有最大值，且最大值为．
∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值为．
②如图2，当0＜t≤1时，PQ==．
∵m＞0，
∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．
综上所述，PQ的最大值为6．
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．
【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标
（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；
（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】
解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，
解得m=2，
∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，
∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；
（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.
∵直线OB的解析式为y=﹣x，
故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），
∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，
∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，
当n=时，S△OPB的最大值为．
此时y=﹣n2+2n=，
∴P（，）；
（3）∵直线OA的解析式为y=x，
∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，
联立，
∴﹣（x﹣a）2+a=x，
∴x1=a，x2=a﹣1，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.
【考点2】二次函数的面积定值问题
【例2】已知二次函数．
（1）图象经过点时，则_________；
（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面积是与m无关的定值，S△AMN＝.
【解析】
【分析】
（1）将点代入二次函数解析式即可求出m；
（2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围；
（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN的面积是与m无关的定值．
【详解】
解：（1）将点代入可得：，
解得：m=4；
（2）二次函数的对称轴是：x＝m，
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
∴m≥2；
（3）的面积是与m无关的定值；
如图：顶点A的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B，
∵tan∠AMB＝tan60°＝，
∴AB＝BM＝BN，
设BM＝BN＝a，则AB＝a，
∴点M的坐标为（m＋a，a−m2＋4m−8），
∵点M在抛物线上，
∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，
整理得：，
解得：a＝或a＝0（舍去），
∴△AMN是边长为的正三角形，
∴AB=3，S△AMN＝，与m无关.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．
【变式2-1】如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+x+2；(2)见解析；（3）见解析.
【解析】
【详解】
分析：（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
详解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，
联立解得：M2（，），M3（，），
此时S=1．
点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式2-2】如图：已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与交于点C，抛物线对称轴与轴交于点D，为轴上一点．
（1）写出点A、B、C的坐标（用表示）；
（2）若以DE为直径的圆经过点C且与抛物线交于另一点F，
①求抛物线解析式；
②P为线段DE上一动（不与D、E重合），过P作作，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；
（3）如图②，将线段绕点顺时针旋转30°，与相交于点，连接.点是线段的中点，连接.若点是线段上一个动点，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，延长交于点．若△的面积等于△的面积的，求线段的长．
【答案】（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，)
（2）①，② ，理由见解析；
（3）线段的长为2或
【解析】
（1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，）
（2）△DCE为直角三角形．
①OC2=OD·OE，m=，∴
②∵DE为直径，∴∠DCE=∠DFE=90°，∵PQ⊥EC，PH⊥DF，∴PQ∥DC，PH∥EF，，∴
（3）A（，0），B（，0），又∠OAM=60° ，∴cos30°=，∴OM=6，M（0，6）
又tan∠ABM==，∴∠OBM=60° ，∠AMB=90° ，
是线段的中点，∴∠OSM=60° ，∴∠AOS=30° ，又∠SOT=90° ，∠AOT=60° ，
∴直线TK：y=-x；BM：y=x-6，联立两个方程，解得：K（，-3）
设MN=a，TK=TO+OK=a+2，∴△KTN的高h=TK·sin60°=
NK=，∵S△KTN=S△ABM
， ∴
a=2或a=
点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转化，属于中考压轴题．
【考点3】二次函数的面积最值问题
【例3】已知抛物线．
（1）求证：抛物线与轴必定有公共点；
（2）若P（，y1），Q（－2，y2）是抛物线上的两点，且y1y2，求的取值范围；
（3）设抛物线与x轴交于点、，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，记△ACE的面积为S1，△DCE的面积为S2，求是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）或，（3）没有最小值；有最大值是
【解析】
分析：（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都大于零，再判断出物线与x轴总有交点．
（2）分两种情况：当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，得；当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，，故得解.
详解：（1）令 得
∴
∴
无论取何值，
∴ 抛物线与轴必定有公共点
（2）∵，抛物线的对称轴是
当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，
∵y1y2，
当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，
Q（－2，y2）关于对称轴的对称点是（3，y2）
∵y1y2，
综上所述：或
（3），
∵ 、∴ ，解得或
∴
∴ 、，
∴ 直线BC的解析式是
设点A到直线BC的距离是，点D到直线BC的距离是，
△ACE的面积S1，△DCE的面积S2
∴ ，
∴ 求的最值转化为求的最值
设过点D与直线BC平行的直线解析式为
当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，无最小值，仅当直线与抛物线只有一个公共点时，有最大值
即方程组有两个相等的实数根
∴， ，
∴，此时
∴ 没有最小值；有最大值是
∴、
点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．
【变式3-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点.
①求点的坐标；
②求抛物线的解析式；
③如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标和面积的最大值.
【答案】①；②；③点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
【解析】
【分析】
①利用利用x轴上点的坐标特点代入一次函数即可.
②根据抛物线经过、两点，先求出B点坐标，再用待定系数法求解析式即可.
③根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，利用E、M横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出EM的长，再利用，把EM看作△BEM和△MEC的底，求出面积写出关系式，最后利用二次函数求最值即可.
【详解】
解：①∵直线与轴交于点，
∴当y=0时，解得x=4
∴C点坐标为：
②直线与轴交于点，与轴交于点，
当x=0时，解得y=3
∴点的坐标是，点的坐标是，
抛物线经过、两点，
解得,
抛物线的解析式为.
③如图，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，
已知点是直线上方抛物线上的一动点，则可设点的坐标是，
点的坐标是，
.
，
.
即当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
【点睛】
此题考查的是①一次函数的与坐标轴的交点坐标；②待定系数法求二次函数解析式；③用“铅垂高，水平宽”求面积最值问题.
【变式3-2】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
(1)求这个抛物线的函数表达式；
(2)若点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)；(2)的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）根据A,B两点坐标可得出函数表达式；
（2）设点，根据列出S关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.
【详解】
解：（1）将A,B两点的坐标代入解析式得，解得
故抛物线的表达式为：；
（2）连接，设点，
由（1）中表达式可得点，
则
，
∵，故有最大值，当时，的最大值为.
【点睛】
本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.
【考点4】二次函数面积的其它问题
【例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过两点，与轴交于另一点.
（1）求抛物线解析式及点坐标；
（2）连接，求的面积；
（3）若点为抛物线上一动点，连接，当点运动到某一位置时，面积为的面积的倍，求此时点的坐标.
【答案】（1），；（2）；（3）点的坐标为， ，，见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用两点是一次函数上的点求出两点，再代入二次函数求解即可.
（2）根据，求出，求出△ABC.
（3）根据面积为的面积的倍，求出，得出求出此时M的坐标即可.
【详解】
（1）解：∵直线
∴令，则，解得
∴
令，则，∴
将点，代入中得，
，解得
∴抛物线的解析式为：；
令，则，解得
∴.
（2）解：∵，∴
∴
（3）∵面积为的面积的倍，
∴
∵AB=4 ,
∴，
∵
∴抛物线的顶点坐标为符合条件，
当时，，解的，x1=，x2=，
∴点的坐标为（3，-4）， ，.
【点睛】
本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.
【变式4-1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．
1. 求直线与抛物线的解析式．
2.若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝，求当△PON的面积最大时tan的值．
3. 若动点P保持（2）中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1) 所求的抛物线为． (2) (3) 存在点，其坐标为（1，3）
【解析】
【分析】
（1）根据C点的坐标可确定直线AD的解析式，进而可求出B点坐标，将B、C、O三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；
（2）此题的关键是求出P点的坐标；△PON中，ON的长为定值，若△PON的面积最大，那么P点离ON的距离最远，即P点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得P点的坐标，进而可求出α的正切值；
（3）设出点P的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出P点的纵坐标；根据直线AD和抛物线的解析式可求出A、N的坐标；以ON为底，P点纵坐标为高可得到△OPN的面积，以OA为底，P点横坐标为高可得到△OAP的面积，根据题目给出的△POA和△PON的面积关系即可求出P点的横坐标，进而可求出P点的坐标．
【详解】
（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时，y=3，
所以B点的坐标为（1，3）
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，
可得
解得，
所以所求的抛物线为y=-2x2+5x．
（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
又该抛物线的顶点坐标为（，此时tan∠α=
（3）存在；
把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）
把y=0代入抛物线y=-2x2+5x
得x=0或x=，所以点N（，0）
设动点P坐标为（x，y），
其中y=-2x2+5x （0＜x＜）
则得：S△OAP=|OA|•x=2xS△ONP=|ON|•y=ו（-2x2+5x）=（-2x2+5x）
由S△OAP=S△ONP，
即2x=•（-2x2+5x）
解得x=0（舍去）或x=1，
得x=1，由此得y=3
所以得点P存在，其坐标为（1，3）．
【点睛】
此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
【变式4-2】如图，抛物线与直线交于、两点，过作轴交抛物线于点，直线交轴于点．
求、、三点的坐标；
若点是线段上的一个动点，过作轴交抛物线于点，连接、，当时，求的值；
如图，连接，及，设点是的中点，点是线段上任意一点，将沿边翻折得到，求当为何值时，与重叠部分的面积是面积的．
【答案】（1）点坐标，点坐标，点坐标；（2）；（3）当或 时，与重叠部分的面积是面积的 ．
【解析】
【分析】
（1）列方程组可知A、B两点坐标，根据点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，列方程可求得点C坐标．
（2）如图1中，设，，则，根据 列出方程求出点H的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．
（3）分两种情形①若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG．如图2，可证四边形PFCG是平行四边形，得，在Rt△PBO中，根据，即可解决问题．②若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG．如图3，可证四边形PFGC是平行四边形，得即可解决问题．
【详解】
解：由解得或，
∴点坐标，点坐标，
∵轴，
∴点纵坐标为，
由，解得或，
∴点坐标．
如图中，设，，则，
由题意，
解得或（舍弃），
∴．
∵，，
∴，，，
∵，
∴．
①若翻折后，点在直线下方时，连接．如图，
∵，
∴，
∴．，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴．
②若翻折后，点在直线上方时，连接．如图，
∵，
∴，
∴．，
∴四边形是平行四边形，
∴，
综上所述:当或时，与重叠部分的面积是面积的 ．
【点睛】
属于二次函数综合题，考查二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性比较强，难度较大.
一、解答题
1．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）或（3）为定值
【解析】
【分析】
（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．
（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．
（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．
【详解】
（1）∵抛物线经过点，.
∴，解得：.
∴抛物线的函数表达式为.
（2）①若点在轴下方，如图1，
延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点.
∵当，解得：，.
∴.
∵，，
∴，，，，
∴中，，，
∵，为中点，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴中，，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴中，，，.
∴，，
∴，，即，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
②若点在轴上方，如图2，
在上截取，则与关于轴对称，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
综上所述，点的坐标为或．
（3）为定值.
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，，
设，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
∴，为定值．
【点睛】
本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.
2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．
【答案】（1）y＝﹣x2+8；（2）正确，d＝|PD﹣PF|为定值2；理由见解析；（3）△PDE周长的最大值是2+14，最小值是2+10．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；
（3）过E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小；当P与A重合时，PE＋PF最大；即可解答．
【详解】
（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
则，
解得：．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+8．
（2）设P（x，﹣x2+8），则F（x，8），
则PF＝8﹣（﹣x2+8）＝x2．
PD2＝x2+[6﹣（﹣x2+8）]2＝x4+x2+4＝（x2+2）2
∴PD＝x2+2，
∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2﹣x2|＝2
∴d＝|PD﹣PF|为定值2；
（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，
由d＝|PD﹣PF|为定值2，
得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（﹣4，0）
∴DE＝．
∴C△PDE＝2+2+（PE+PF），
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，
得C△PDE最小值＝2+2+8＝2 +10．
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．
由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以当P与A重合时，PE+PF最大，
AE＝8﹣4＝4，PD＝＝10．
得C△PDE最大值＝2+4+10＝2+14．
综上所述，△PDE周长的最大值是2+14，最小值是2+10．
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA="16" cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
（3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y＝x2+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．
【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9
【解析】
试题分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出CQ、OP、OQ的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面积减去△ABP与△BCQ的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入数据求解即可得到t值，从而得到点P的坐标；
（4）先求出直线BP的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点M、N的坐标，再根据两点间的距离表示出MN的长度，根据二次函数的最值问题解答．
（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，
=128-64+8t-8t=64，
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于64；
（3）当△OPQ∽△ABP时，./
解得：t1=2，t2=8（舍去），
此时P（4，0），
∵B（16，8），
∴抛物线解析式是；
（4）设直线BP的解析式为y=kx+b
∴直线BP的解析式是
∵M在BP上运动，
∴4≤m≤16，
∴当时，MN有最大值是9．
考点：二次函数的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
4．如图1所示，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点．
求抛物线的函数表达式；
如图2所示，若点M是抛物线上一动点，且，求点M的坐标；
如图3所示，设点N是线段AC上的一动点，作轴，交抛物线于点P，求线段PN长度的最大值．
【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或； 线段PN长度最大值为4．
【解析】
【分析】
（1）把函数设为交点式，代入C点坐标，进而求出a的值即可；
（2）设M点坐标为（x，-x2-3x+4），根据S△AOM=3S △BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+4，再设N点坐标为（x，x+4），则P点坐标为（x，-x2-3x+4），然后用含x的代数式表示PN，根据二次函数的性质即可求出线段PN长度的最大值．
【详解】
解：（1）把函数设为交点式，
由，得，把代入，得，
故抛物线的解析式为；
（2）设M点坐标为，
，
，
整理得或，
解得或，
则符合条件的点P坐标为或或或；
（3）设直线AC的解析式为，将，代入，
，
解得，
即直线AC的解析式为，
设点N坐标为，，则P点坐标为，
设，则，
即当时，y有最大值4，
故线段PN长度最大值为4．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.
5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标．
【答案】（1）y＝，x＝3；（2）P（3，）；（3）D的坐标为（6，4）．
【解析】
【分析】
（1）因为抛物线经过点B（1，0），C（5，0），可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．求出直线AC的解析式即可解决问题；
（3）根据面积相等且底边相等的三角形的高也应该相等得出D的纵坐标为±4，代入抛物线的解析式即可求得．
【详解】
（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），
∴可以假设抛物解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入得4＝5a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4．
抛物线对称轴x＝＝3．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，4），C（5，0），
∴，
解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，
把x＝3代入得，y＝，
∴交点P为（3，）；
（3）根据题意得D的纵坐标为±4，
把y＝4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣x+4＝4，
解得x＝0或6，
把y＝﹣4代入y＝x2﹣x+4得，x2﹣6x+10＝0，
∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×10＜0，
∴无解，
(0,4)为A点(舍)，D的坐标为（6，4）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题．
6．如图，抛物线与轴相交于点（﹣1，0）、（3，0），与轴相交于点，点为线段上的动点（不与、重合），过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、，点在轴正半轴上，=2，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
【答案】（1）抛物线的解析式为：；(2) 点坐标为或；(3) ①当时，所求直线的解析式为：；②当时，所求直线的解析式为：.
【解析】
试题分析：
（1）将点和点的坐标代入抛物线函数中，可求出未知量，.则可求出该抛物线解析式；（2）由平行四边形的性质可知，，用含未知量的代数式表示的长度。则可得点坐标 ；（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．求得此直线，首先要求得对称中心的坐标.则两点坐标可确定该直线.
试题解析：
（1）点、在抛物线上，
∴，
解得，，抛物线的解析式为：．
（2）在抛物线解析式中，令，得，．
设直线BC的解析式为，将，坐标代入得：
，解得，，∴．
设点坐标为，则，，
∴
四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
解得或，
∴点坐标为或．
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点与对称中心的直线平分的面积．
①当时，点坐标为，又
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，
解得， ，∴所求直线的解析式为：；
②当时，
点坐标为，又，
设对角线的中点为，则．
设直线的解析式为，将，坐标代入得：
，解得，，所求直线的解析式为:．
综上所述，所求直线的解析式为：或．
【考点】1.一次函数解析式的解法；2.二次函数解析式的解法.
7．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形．
(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标．
【答案】
解：(1)∵由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，
点的坐标为(3，0)．
所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)设抛物线的解析式为，可得
解得
∴过点C，A，的抛物线的解析式为．
(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°．
∴,又.
,∴又,
∴,又△ABO的周长为．
∴的周长为．
（3）连接OM，设M点的坐标为，
∵点M在抛物线上，∴．
∴
=
=
因为，所以当时，．△AMA’的面积有最大值
所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为．
【解析】
（1）由图形翻折性质可知点的坐标为(3，0)，把有关点的坐标代入抛物线解析式，求得待定系数，即可知抛物线解析式；
（2）相似三角形周长之比等于相似比；
（3）（3）求面积最大值，可把面积化为二次函数形式，然后求最大值．
8．如图，已知抛物线经过点、.
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积
（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）
【答案】（1），;（2）36;（3）
【解析】
【分析】
（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5），即可求解；
（2）S四边形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y=x2，即可求解．
【详解】
（1）函数的表达式为：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，
点M坐标为（2，-3）；
（2）当x=8时，y=（x+1）（x-5）=9，即点C（8，9），
S四边形AMBC=AB（yC-yD）=×6×（9+3）=36；
（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，
抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，
则新抛物线表达式为：y=x2，
则定点D与动点P之间距离PD=，
∵＞0，PD有最小值，当x2=3m-时，
PD最小值d=．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．
9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；
（3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.
【答案】（1）；（2）符合条件的点的坐标为：或或；（3）面积的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，-x2-2x+3），根据S△AOP=4S △BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，-x2-2x+3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值,再根据求得最大面积．
【详解】
（1）把，代入，得
，解得.
故该抛物线的解析式为：.
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得.
设P点坐标为（x，-x2-2x+3），
∵，
∴.
整理，得或，
解得或.
则符合条件的点的坐标为：或或；
（3）设直线的解析式为，将，代入，
得， 解得.
即直线的解析式为.
设点坐标为，，则点坐标为，
，
∴当时，有最大值.
此时，
∴面积的最大值为.
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
10．抛物线经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）点P坐标为（2,6）；（3）Q点坐标为（，-)或（，）.
【解析】
分析：（1）把A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；
（2）设P点坐标为（x，-x2+3x+4），根据四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP以及四边形COBP的面积=2S△COB求解即可；
(3)分AQ和AN分别为对角线时进行讨论可得解.
详解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，
,
解得：
故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）设P点坐标为（x，-x2+3x+4），如图，
∴四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP==-2x2+8x+8
∵直线BC平分四边形COBP的面积
∴四边形COBP的面积=2S△COB
即：-2x2+8x+8=
解得x=2
将x=2代入抛物线表达式得y=6
故点P坐标为（2,6）
(3)存在
①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，
故Q（）
②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，
故Q（）
综上所述，Q点坐标为（)或（）
点睛：本题综合考查了二次函数和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想.
11．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；
【答案】(1)；(2)；；
【解析】
【分析】
（1）先求D的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点，关于轴，轴的对称点，，连接交轴，轴于点，.即，F,N，在同同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线的表达式，再求N,F的坐标；
【详解】
解：(1)由题意，得点的坐标，.
∵，
∴.
∴点的坐标.
将点，分别代人抛物线，得
解得
∴抛物线的表达式为.
(2)分别作点，关于轴，轴的对称点，，
连接交轴，轴于点，.
由抛物线的表达式可知，顶点的坐标，
∴点的坐标.
设直线为，
∵点的坐标，
∴
解得
∴直线的表达式为.
令，则，解得，
∴点的坐标.
令，则，
∴点的坐标.
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
12．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点为，其对称轴交轴于点．直线经过、两点，交抛物线的对称轴于点，其中点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的周长；
(3)若是抛物线位于直线的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式即可求出.
（2）首先求出D点、A点、B点坐标，进而利用待定系数法求出直线DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的长，即可得出△ABM的周长；
（3）首先表示出P，Q点的坐标，进而表示出S四边形DPHM＝S△DPM＋S△PMH，利用二次函数最值求出即可
【详解】
将，点坐标代入解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
当，，则．
由，，
则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
则直线的解析式为，
抛物线对称轴为，则
在中，，
∴，
垂直平分，则，
则，
所以的周长为：；
如图，连接，过作垂直于轴交于
抛物线的顶点坐标为
令，则，
则，
，
，
故
∵，
∴抛物线开口向下，
故当时，最大，则，
则．
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合知识的应用，利用F点位置的不同分类讨论得出是解题关键
13．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（，）．
【解析】
试题分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形．
试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得：
，解得．
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+；
（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）2+
∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为；
（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，
∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
14．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；（2）当x=时，线段PQ的长度有最大值；（3）综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出即可得抛物线的解析式，最后通过配方成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），则可得PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1），再根据二次函数的性质即可求得PQ长的最值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），根据等腰三角形的性质可得QH=PH，然后分点E坐标为（0，1）和点E坐标为（0，2）两种情况分别讨论即可得到对应的P点坐标.
【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，
当x=时，线段PQ的长度有最大值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∵EP=EQ，
∴QH=PH，
∵OC=3，E为线段OC的三等分点，
∴E（0，1）或（0，2），
当E点坐标为（0，1）时，则H（x，1），
∴﹣x2+2x+3﹣1=1﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3（舍去），此时P点坐标为（0，﹣1）；
当E点坐标为（0，2）时，则H（x，2），
∴﹣x2+2x+3﹣2=2﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，此时P点坐标为（1，0）或（2，1），
综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到二次函数的性质、等腰三角形的性质、待定系数法等知识，会用分类讨论的思想进行解答是关键.
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点，过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，试判断在点E运动过程中，以点O，B，E，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM交x轴于点M，当点E在抛物线上B，D之间运动时，连接EA交DM于点N，连接BE并延长交DM于点P，猜想在点E的运动过程中，MN+MP的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点E的坐标为（，）或（，）；（3）在点E的运动过程中，MN+MP的和是定值，该定值为8．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，即抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设点E（m，m2+2m﹣3），由于直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），可得直线表达式为y＝x，因为EF平行OA，可求得点F的横坐标，进而得出EF的长度，当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，即，解方程求得m的值，进而得出点E的坐标；
（3）如图，作EH⊥OA于点H，证明△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，可得，设点E（m，m2+2m﹣3），可求得MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，进而得出MP+MN＝8，其值为定值.
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）与B（1，0），与直线y＝kx（k≠0）交于点C（﹣2，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
点C（﹣2，﹣3）代入，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设点E（m，m2+2m﹣3），
∵直线y＝kx（k≠0）经过点C（﹣2，﹣3），
∴﹣3＝﹣2k，k＝，
∴y＝x，
∵过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F，
∴m2+2m﹣3＝x，
∴x=，
当EF＝OB＝1时，以点O，B，E，F为顶点的四边形构成平行四边形，
∴，
解得m＝1（舍去）或m＝-或m＝或m＝（舍去），
∴点E的坐标为或；
（3）如图，作EH⊥OA于点H，
∵PM⊥OA，
∴PM∥EH，
∴△BEH∽△BPM，△AMN∽△AHE，
∴，
设点E（m，m2+2m﹣3），
则，
∴MP＝2m+6，MN＝2﹣2m，
∴MP+MN＝8，
∴在点E的运动过程中，MN+MP的和是定值，该定值为8．
【点睛】
考查二次函数，平行四边形，相似三角形等知识，综合性强．用点的坐标来表示线段的长是解决本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与X轴的交点为A,与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．
【答案】(1)A(18,0),B(0,−10),C(8,−10),顶点坐标为；（2）t=；（3）△PQF的面积总为90；（4）.
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；
（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；
（3）当0
试题解析：（1），
令y=0，得x2−8x−180=0，
即(x−18)(x+10)=0，
∴x=18或x=−10.
∴A(18，0)
在中，令x=0得y=−10，
即B(0，−10).
由于BC∥OA，
故点C的纵坐标为−10，
由−10=得，x=8或x=0，
即C(8，−10)且易求出顶点坐标为(4，−)，
于是，A(18，0)，B(0，−10)，C(8，−10)，顶点坐标为(4，−)；
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA.
故只要QC=PA即可，
而PA=18−4t，CQ=t，
故18−4t=t得t=；
（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，
故
∵△AEF∽△CEQ，
∴AF:CQ=AE:EC=DP:QD=4:1，
∴AF=4t=OP，
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵点Q到直线PF的距离d=10，
∴S△PQF=PF⋅d=×18×10=90，
于是△PQF的面积总为90；
（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18+4t，0)，Q(8−t，−10)t∈(0，4.5).
∴PQ2=(4t−8+t)2+102=(5t−8)2+100
FQ2=(18+4t−8+t)2+102=(5t+10)2+100.
①若FP=FQ，则182=(5t+10)2+100.
即25(t+2)2=224，(t+2)2=.
∵0⩽t⩽4.5，
∴2⩽t+2⩽6.5，
∴t+2==.
∴t=−2，
②若QP=QF，则(5t−8)2+100=(5t+10)2+100.
即(5t−8)2=(5t+10)2，无0⩽t⩽4.5的t满足．
③若PQ=PF，则(5t−8)2+100=182.
即(5t−8)2=224，由于≈15，又0⩽5t⩽22.5，
∴−8⩽5t−8⩽14.5，而14.52=()2=<224.
故无0⩽t⩽4.5的t满足此方程．
综上所述，当t=−2时，△PQF为等腰三角形.
点睛：本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.
17．已知抛物线=（≠0）与轴交于A､B两点,与轴交于C点,其对称轴为=1,且A（-1,0）､C（0,2）.
（1）直接写出该抛物线的解析式;
（2）P是对称轴上一点,△PAC的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标;
（3）设对称轴与轴交于点H,点D为线段CH上的一动点（不与点C､H重合）.点P是（2）中所求的点.过点D作DE∥PC交轴于点E.连接PD､PE.若CD的长为,△PDE的面积为S,求S与之间的函数关系式,试说明S是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S取得的最值及此时的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) =-++2;(2) P（1,）;(3)见解析.
【解析】
分析：
（1）由已知条件易得点B的坐标为（3，0），这样结合点A、C的坐标即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可知，AC长度是固定值，点A和点B关于直线x=1对称，由此可得连接BC交直线x=1于点P，此时△PAC的周长最小，求得直线BC的解析式，即可求得此时点P的坐标；
（3）如图2，画出符合题意的图形，过点D作DF⊥y轴于点F，交对称轴x=1于点N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽Rt△CHO，可将CF、OF和FD用含m的代数式表达出来，从而可表达出点D和点N的坐标，再用待定系数法求得用含m的代数式表达的DE的解析式，即可表达出点E的坐标和点Q的坐标，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S与m间的函数关系式，将所得解析式化简、配方即可得到所求答案.
详解：
（1）∵抛物线=（≠0）与轴交于A､B两点,其对称轴为=1,且A（-1,0），
∴点B的坐标为（3，0），
∴可设抛物线解析式为：，
∵抛物线和y轴交于点C（0，2），
∴，解得：，
∴，即；
（2）△PAC的周长有最小值，连结AC､BC，
∵AC的长度一定,
∴要使△PAC的周长最小,就是使PA+PC最小.
∵点A关于对称轴=1的对称点是B点,
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P（如图2）,
设直线BC的表达为:=,则有
,解得,∴:=-+2,
把=1代入,得=,
即点P的坐标为P（1,）,
∴△PAC的周长取得最小值,取得最小值时点P的坐标为P（1,）；
（3）如图2，设DE对称轴x=1于点Q,
在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.
过点D作DF⊥轴于点F，交对称轴=1于点N，
∵Rt△CDF∽Rt△CHO，
∴，
∴CF===，OF=CO-CF=2-；
同样： ，FD===，
∴点D的坐标为D（,2-），
∴N（1，2-）.
∵DE∥BC，
∴可设（过点D､E的直线）:=-+，
把D点坐标代入其中，得- +=2-，
解得=2-，
∴：=-+2-，
点E的纵坐标为0，代入其中，解得=3-，
∴E（3-，0）.
∵点Q在对称轴=1上，把=1代入中，解得=-，
∴Q（1,-）.
PQ=-（-）=,DN=1-，
EH=3--1=2-.
S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH
=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,
化简得S=-+,
可知S是关于的二次函数.
S存在最大值.
配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值为,
取得最大值时的值为:=.
点睛：本题是一道二次函数与几何图形的综合题，第1和第2小题比较简单；第3小题难点较大，画出符合题意的图形，作出如图所示的辅助线，借助于△CDF∽△CHO，利用相似三角形的性结合题中的已知条件，把点D、E、Q的坐标用含m的代数式表达出来是解决第3小题的关键.
18．如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵当 ，□MANB=△= ，此时；⑶存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；
（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．
【详解】
（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，
得，，
解得a=-1，c=3，
∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，
得，，
解得，k=1，b=1，
∴yAB=x+1，
设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），
则MK=-a2+2a+3-（a+1）
=-（a-）2+，
根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，
∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK
=MK•AH+MK•（xB-xH）
=MK•（xB-xA）
=××3
=，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；
（3）存在点F，
∵y=-x2+2x+3
=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，
抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，
则BF=BN=-3=，CF=CH=，
由题意可列：，
解得，a=，
∴F（1，）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
19．如图，在平面直角坐标系中，将矩形中的点沿AE对折，使点D落在上的F点，已知AO=8，AD=10，G(-1,7),已知抛物线过点O ,F,G.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线的对称轴上一动点，当取得最大值时，求点M的坐标；
（3）一条动直线过平面上一点B，点B的坐标为(3,-8)，且该直线与（1）中的抛物线交于P,Q两点，请判断：是否为定值.若是定值请求出定值，若不是定值，请求出其取值范围.（参考公式：在平面直角坐标系中，若H(x1,y1),N(x2,y2)，则两点间的距离为）
【答案】（1） ；（2）抛物线对称轴为， ；（3）不是定值，.
【解析】
【分析】
（1）根据折叠性质和勾股定理求出OF，设抛物线解析式为，用待定系数法求解；（2）连接于抛物线的对称轴的交点即为所求；（3）设直线解析式为与抛物线解析式联立方程组得，化简得，；设，则；根据勾股定理得；；；由，得，故不是定值.
【详解】
（1） 由折叠可知：
设抛物线解析式为代入得
故抛物线的解析式为
（2）连接于抛物线的对称轴的交点即为所求，
可求出直线的解析式为
由于抛物线对称轴为，所以
（3）设直线解析式为与抛物线解析式联立方程组得
化简得
设
则
同理：
故不是定值，.
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合应用，一元二次方程根与系数关系，根判别式；结合图形，数形结合是关键.
20．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.
①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；
②当取最大值时，求点到线段的距离；
③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）①②2③
【解析】
【分析】
（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.
（2）①由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用△PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且0≤m≤4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.
②当n取最大值4时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点到线段CQ距离
③由题意求得线段的解析式为：，故可设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时可求对应的点的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ’的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由，得此时t值，即可解题.
【详解】
解：（1）根据题意得：,，
在中
，且,
∴，
,将点坐标代入得：，
故抛物线解析式为：；
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，
设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），
则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,
即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：
n==（0≤m≤4），
∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，
∴≤n≤4；
②由①知：当n取最大值4时，m=4，
∴P（2,4），Q（4,0）
则PC=，PQ=2，CQ=5，
设点P到线段CQ距离为，
由，
得：
故点到线段距离为；
③由②可知：当取最大值4时，，
线段的解析式为：，
设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，
当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点
此时对应的点的纵坐标为：，
将代入得：，
当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，
联解
得：，化简得：
，
由，得，
当线段与抛物线有两个交点时，.
【点睛】
本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题.
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