2021学年6.8 余角和补角教学设计

这是一份2021学年6.8 余角和补角教学设计，共8页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

本节课是浙教版七年级上册第六章的内容.学生在此之前已经学习了角的度量、角的和差等内容,需要学生进一步的探索对两角之间特殊数量关系.为角的和差运算以及角相等证明提供了一种方法，并能用于解决一些简单的实际问题.因此，本节课既是对之前内容的进一步延伸，又为后续直线相交、平行线的性质和判定作铺垫，具有承前启后的重要作用.
教学目标：
1. 知识与技能目标：认识一个角的余角和补角，并会计算一个角的余角和补角；能利用三角板画一个角的余角和补角；理解并掌握余角和补角的性质定理，并能用于解决一些简单的实际问题.
2. 方法与过程目标：通过实际动手作图，探索余角和补角的性质定理，感受类比的思想；初步体会演绎推理的方法和表述，提高学生概括能力和识图能力.
3. 态度和情感目标：让学生体会数学与生活的联系，初步认识余角和补角的意义和作用.根据不同需要选择合适的方法解决问题，并培养学生观察、分析、操作的能力.
教学重难点
教学重点：余角和补角的概念和性质.
教学难点：通过作图启发学生总结出余角的性质定理，以及应用余角和补角的性质进行说理.
教学过程
1.创设情境，引入新知
师：同学们，图片上的建筑物大家认识吗？
生：认识，堤坝.
师：图片上建筑物是为了防止水灾而修建的堤坝.根据具体的地理位置不同，堤坝的选材和倾斜的角度都是不同的.建筑完工后，堤坝的内部是实心的，那么此时我们如何检测堤坝的倾斜角呢？
生：可以测量斜面和地面的夹角，利用这两个角的和为180°，计算倾斜角的大小.
师：利用两角和为180°的数量关系，测得斜面和地面的夹角，就可以得到堤坝的倾斜角.我们今天学习的主要内容就是两角和为某个特殊角的数量关系.
【设计意图】：通过实际问题如何测量堤坝的倾斜角引入主题，贴近生活，激发了学生解决问题的兴趣，同时自然而然的体会到数学与实际生活的联系.
2、问题引领，探索新知
师：现在，同学们的手中都有一个直角，你能利用直尺画一条射线，将直角分成两个锐角吗？并用剪刀把它们剪开.
师：大家觉得自己手中的两个锐角的度数存在什么关系？
生：相加等于90°.
师：为什么是90°？你怎么想的？
生：因为可以拼成一个直角，直角是90°.
师：是不是任意的两个锐角都可以拼成一个直角呢？
学生纷纷摇头回答：不是.
师：也就是说，这是一种特殊的数量关系.早在很久以前，我们的数学家也如我们的同学们一样，发现了这种特殊的数量关系.给它取名为“互余”.
定义：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余.其中一个角是另一个角的余角.例如，现在我们白板上有两个锐角，当∠1+∠2=90°时，那么∠1和∠2互余，可以说∠1是∠2的余角，同时∠2也是∠1的余角.
（PPT呈现）
师：同学们，两个角互为余角需要满足什么条件呢？
生：两角之和为直角.
生：两个锐角之和.
师：老师有一个40°角，那么它和几度的角互余呢？
生： 50°角
师：老师有一个20°角，那么它和几度的角互余呢？
生：70°角
师：老师有一个36°角，那么它和几度的角互余呢？
生：54°角
师：老师有一个45°角，那么它和几度的角互余呢？
生：45°角
师：那么110°角呢？
生：110°没有余角
师：为什么？你的依据是什么？
生：因为110°不是锐角.根据定义，两个锐角的和是一个直角才互余.
师：同学们，你们同意它的观点吗？你认同这位同学说的有道理吗？
真棒！也就是说角α满足什么条件时，它才有余角？它的余角有多大？
生2：当我是一个α角，α必须大于0°，小于90°才会有余角，那么余角是90°-α .
师：刚才我们在讨论的时候说到40°角和50°角互余，现在有一个40°角放在这位同学的家中，50°角换个位置，放在另一位同学的家中，这两个角还互余吗？
学生思考片刻，回答是.
师：那么这又说明了什么？
生：互余只和两角的大小有关，和位置无关.
师：你能利用手中的三角板画出∠α的余角吗？
（学生在学案上作图）
师：谁愿意到白板上来分享一下自己的成果？还有谁有不同的想法？
学生在白板上作图.
师：大家同意这两位同学的画法吗？
众生纷纷点头表示认同.
师：从中，你发现了什么？
生：∠1等于∠2.
师：你是如何思考的？
生：因为 ∠1和∠α互余，所以∠1=90°-∠α，同样的道理∠2=90°-∠α，所以∠1=∠2.
师：而∠1、∠2都是∠α的余角，你得出了什么结论呢？
生：∠1和∠2都是∠α的余角，也就是同一个角的余角.
师：所以我们可以说“同一个角的所有余角都相等”.
（板书：同角的余角相等）
师：如果想在白板上还有一个∠β，并且∠β=∠α，那么∠β和∠1、∠2有什么数量关系呢？
生：互余.
师：你得到了什么结论？
生：∠β的余角和∠α的余角相等.
师：∠α和∠β之间是什么关系？从中我们又发现了什么？
生：相等的角的余角相等.
师：，我们把∠α、∠β之间关系可以称为“等角” .（板书：或等角）
我们得到了关于余角的性质定理：同角或等角的余角相等.
师：刚才我们学习了两角之间特殊的数量关系——互余.它的特殊数量关系体现在哪里？
生：两个锐角的和是一个直角.
师：关于数学中的特殊角，除了直角，你还能想到什么角？
生：平角.
师：我们称如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补.
比如40°角和140°的角互补，20°角和160°的角互补，36°角和 144°的角互补 ，45°角和 135°的角互补 ，110°和70°的角互补，90°角和 90°的角互补 .
同学们，刚才我们通过作图探索了余角的性质定理，你能类似的叙述补角可能具有的相关性质吗？并请说明理由.同桌之间可以互相讨论.
学生互相讨论，发表意见得到：同角或等角的补角相等
【设计意图】：两角之间互余是一种特殊的数量关系，通过剪纸、解读定义、计算余角以及移动角的位置等方式，渗透互余只和角度的大小有关和位置无关.通过利用三角板作图，得到∠α的两个余角探索发现余角的性质定理，并以此启发学生探索补角的性质定理，渗透类比的思想.

3、问题驱动，层层递进
师：根据刚才所学，我们对余角和补角的各自定义和性质有了一定的了解.请你观察上述数据，同一个角的余角和补角之间存在什么样的数量关系呢？
生：一个角有余角必然有补角，有补角不一定有余角；当这个角是锐角时，它的补角比余角大90°.
师：刚才我们在已知角度大小的基础上研究余角和补角的数量关系.如果现在我们已知同角的余角和补角之间的数量关系，如何求这个角呢？
练习1：已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.请你把这道题的解题过程写在学案上.
同学上台展示一下解题思路.
小结：有些几何问题，比如线段的和差、角的和差问题，我们可以利用方程的思想来解决.
练习2：如图，已知∠AOC=∠BOD= 90°，指出图中还有哪些角相等，并说
明理由.
∠COD=∠AOB.因为∠COB和∠BOA互余，∠DOC和∠COB互余，所以同角的余角相等.
【设计意图】：通过练习1使学生感受到有些几何问题，我们可以利用方程的思想来解决.练习2则使学生体会到通过余角和补角的性质定理我们还可以用于推导相等的角.通过解决如何测量堤坝倾斜角问题和探究活动，使学生感受到生活中的数学.
4、合作学习，应用新知
师：学了这些，你还有什么方法能解决今天上课前的问题？
生：测得倾斜角的余角即可.
当我们求一个角的度数比较困难的时候，可以利用两角之间互余、互补的数量关系进行求解.
探究活动：射线OA表示北偏西30°方向，你能用类似的方法表示
南偏东50°吗？并请在学案上指出图中互余和互补的角.
同学上台展示一下解题思路.
【设计意图】：通过解决如何测量堤坝倾斜角问题和探究活动，使学生感受到生活中的数学，使学生养成用数学的方法解决生活问题的思维.
5、归纳小结，提纲挈领
师：时间过得很快，这节课马上就要结束了，你能说说这节课你收获了什么吗？你还有什么想问的吗？
师生共同归纳： = 1 \* GB3 ①余角和补角的定义、性质定理； = 2 \* GB3 ②计算一个角的余角和补角； = 3 \* GB3 ③画已知角的余角和补角；④用余角和补角的知识解决实际问题.
【设计意图】：带领学生梳理本节课的学习内容，在互相交流中共同提高.
6、布置作业，延展课堂
1、完成《作业本》.
2、寻找你身边的互余或互补的角.
【设计意图】：针对七年级学生身心特点，选择学生感兴趣的内容，体会数学在生活中的实用性.
教学反思
本节课具有以下特色：
1.让学生经历知识发生的过程
互余和互补是一种特殊的数量关系，为后续直线相交、平行线等内容作了铺垫.笔者认为余角和补角的教学不仅仅是简单的计算，还需要深层次的理解互余和互补的概念.因此，笔者设计了计算互余的角、移动角的位置、利用三角板画余角等内容，渗透互余的概念.通过作图，引发学生思考得到余角的性质定理，由学生自己探索发现所得的内容比老师直接呈现的内容更容易接受.通过落实余角概念和性质，学生自主探索补角的性质，渗透了类比的思想，培养了学生猜想、归纳的能力.
2.从活动中培养学生的能力
教学在活动中进行，不仅包括操作性活动，还包括思维性活动.本次教学设计，以学生为主体，通过让学生多次动手操作发现问题，学生发表看法，解决问题，培养了学生探索问题，解决问题的能力.笔者适时的帮助学生小结解题思路，画龙点睛，为学生后续发展打下基础.
3.数学与生活紧密联系
数学不仅仅是课本上待办的数学符号和图形，它来源于生活，也应用于生活.通过堤坝倾斜角引入课题，感受知识的必要性.通过学习解决倾斜角问题和探究活动，让学生深刻体会学习数学的必要性和重要性.