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2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第8章第1讲 空间几何体的结构、三视图表面积和体积
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这是一份2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第8章第1讲 空间几何体的结构、三视图表面积和体积，共60页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，提能力∙数学探索，析情境∙数学应用，提素养∙数学文化，考情解读，多面体的结构特征，旋转体的结构特征，三视图的定义，三视图的长度特征等内容，欢迎下载使用。
考点1 空间几何体的结构
考点2 空间几何体的三视图与直观图
考点3 空间几何体的表面积与体积
考法1 空间几何体的结构
考法2 空间几何体的三视图
考法3 求空间几何体的表面积（侧面积）
考法4 求空间几何体的体积
考法5 与球有关的切、接问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索 立体几何中的截面问题
数学应用 空间几何体的应用
数学文化 立体几何与数学文化
考点1 空间几何体的结构考点2 空间几何体的三视图与直观图考点3 空间几何体的表面积与体积
考点1 空间几何体的结构
规律总结 特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥.特别地,各棱长均相等的正三棱锥叫作正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心. 思维拓展 正棱锥中的直角三角形 三边分别为(1)高、斜高、底面边心距;(2)高、侧棱、底面的外接圆半径;(3)斜高、侧棱、底面边长的一半;(4)底面边心距、外接圆半径、底面边长的一半.
规律总结 球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
考点2 空间几何体的三视图与直观图
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.注意 (1)画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.(2)同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.
“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图的长对正,侧视图和俯视图的宽相等,正视图和侧视图的高平齐.
3.直观图(1)用斜二测画法画直观图的步骤①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x ’轴 与y’轴 ,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x ’轴 或y’轴 的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.④擦去作为辅助线的坐标轴,就得到原图形的直观图.
(2)规则:斜二测画法中的“三变”与“三不变”
考点3 空间几何体的表面积与体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
辨析比较 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧=2πrl S 圆台侧=π(r+r‘ )l S圆锥侧=πrl.
2.空间几何体的表面积与体积
规律总结1.关于几何体的表面积和侧面积(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.2.与体积有关的结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
辨析比较 柱体、锥体、台体体积公式间的关系 思维拓展 祖暅原理幂势既同,则积不容异.即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
考法1 空间几何体的结构考法2 空间几何体的三视图考法3 求空间几何体的表面积（侧面积）考法4 求空间几何体的体积考法5 与球有关的切、接问题
考法1 空间几何体的结构
命题角度1 空间几何体的结构特征 示例1 给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;③圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形;④圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中,面积最大的一个;⑤三棱锥的四个面中最多有三个直角三角形.其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3
解析 ①只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,故①不正确;②只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故②不正确;③正确;④因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式知,过圆锥顶点的截面中,两条母线的夹角的正弦值越大,截面面积就越大,所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的,故④不正确;⑤三棱锥的四个面中最多有四个直角三角形,故⑤不正确.答案 B
方法技巧1.空间几何体结构特征的判定方法2.避免失误(1)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素间的关系.(2)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意利用“还台为锥”的解题策略.
命题角度2 求线段长(距离)的最值
示例2 [2021湖北模拟]如图8-1-3,正三棱锥A-BCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点E,F分别为AC,AD上的动点,则截面△BEF周长的最小值为 .
解析 将正三棱锥A-BCD的侧面沿侧棱BA展开,得到一个由三个全等的等腰三角形拼接而成的五边形(如图8-1-4).
方法技巧 求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或两条(多条)线段长度和的最小值问题时,只需将这些线段放置到同一个平面上,转化为平面几何中的最值问题求解.要注意立体图形展开前后线段与角度哪些会改变,哪些不会变.注意 解决展开问题的关键是明确需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用哪些平面几何定理来解决对应的立体图形问题.
规律总结 立体几何中的“截、展、拆、拼”(1)“截”:指的是截面,平行于柱体、锥体底面的截面以及旋转体的轴截面,它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系,能够列出有关量的关系式.(2)“展”:指的是侧面和某些面的展开图,在有关沿表面的最短路径问题中,就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离,注意展开方式往往不止一种.(3)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算.(4)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,还台为锥,这些都是拼补的方法.
考法2 空间几何体的三视图
示例3 [2020全国卷Ⅱ,7,5分][理]如图8-1-6是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A.E B.FC.G D.H
解析 由三视图知,该几何体是由两个长方体组合而成的,其直观图如图8-1-7所示,由图知该端点在侧视图中对应的点为E.
方法技巧 三视图与直观图的常见题型及求解策略(1)由直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,同时也要注意看到的轮廓线用实线表示,看不到的轮廓线用虚线表示.(2)由几何体的部分三视图画出剩下的三视图.先根据已知的部分三视图,推测、还原直观图的可能形式,然后找剩下部分三视图的可能形式.做选择题时,也可以将选项代入,看给出的部分三视图是否符合要求.(3)由三视图还原为几何体.熟悉柱、锥、台、球的三视图,结合空间想象将三视图还原为直观图.
规律总结 根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形,一般对应三棱锥;(2)三视图为两个三角形,一个四边形,一般对应四棱锥;(3)三视图为两个三角形,一个圆,一般对应圆锥;(4)三视图为一个三角形,两个四边形,一般对应三棱柱;(5)三视图为两个四边形,一个圆,一般对应圆柱.
考法3 求空间几何体的表面积(侧面积)
命题角度1 求空间几何体的表面积
命题角度2 求空间几何体的侧面积
方法技巧1.求空间几何体的表面积的方法
2.求空间几何体侧面积的方法一是分别求各个侧面面积,然后求和;二是利用公式求解.3.避免失误在求解组合体的表面积时,注意几何体表面的构成,尤其是重合部分,面积不要多加或少减.
考法4 求空间几何体的体积
示例6 [2018天津,11,5分]如图8-1-10,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 .
命题角度1 求空间几何体的体积
方法技巧 求空间几何体体积的常用方法
命题角度2 体积的最值问题
思维导引 先证明AC⊥平面PBC,然后设AC=2x,将体积表示成关于x的函数,换元化简,再利用导数求最值.
方法技巧 求解体积的最值问题的方法(1)几何法:根据几何体的结构特征,先确定体积表达式中的常量与变量,然后利用几何知识判断变量什么情况下取得最值,从而确定体积的最值.(2)代数法:先设变量,求出几何体的体积表达式,然后转化为函数最值问题求解即可.
考法5与球有关的切、接问题
命题角度1 外接球问题若一个多面体的顶点都在同一球面上,则这个球称为多面体的外接球.解决外接球问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
思维导引 分析直三棱柱的结构特征,根据底面形状及球的截面性质,确定球心的位置,建立球的半径与棱柱的几何度量之间的关系求解.
解析 解法一(直接法) 如图8-1-13,作出直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O.由题意,直三棱柱的底面ABC是直角三角形,所以底面△ABC外接圆的圆心是BC的中点E,底面△A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1. (先确定棱柱上、下底面的中心)由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心O就是线段EE1的中点.(定球心O)
方法技巧1.求解几何体外接球的半径的思路一是根据球的截面的性质,如该题的解法一,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2=r2+d2求解,其中,确定球心的位置是关键;二是将几何体补成长方体,如该题的解法二,利用该几何体与长方体共有外接球的特征,由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.2.确定球心的常用结论(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(4)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
命题角度2 内切球问题求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于分割后各棱锥的体积之和,求内切球的半径.
方法技巧1.解与球有关的切、接问题的思维流程通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程如下:
(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,那么可以补形成一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心;②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,那么可以补形成一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(5)求一个棱锥内切球的半径,可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出.
(6)球与旋转体的组合通常利用作轴截面解题,球与多面体的组合通常利用过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题.此类问题在计算时,经常用到截面圆.如图8-1-16所示,设球O的半径为R,截面圆O'的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O'的距离为d,则在Rt△OO'M中,OM2=OO'2+O'M2,即R2=d2+r2.
高分帮·“双一流”名校冲刺
析情境∙ 数学应用数学应用 空间几何体的应用提素养 ∙ 数学文化数学文化 立体几何与数学文化提能力 ∙ 数学探索数学探索 立体几何中的截面问题
示例10 [2019全国卷Ⅲ,16,5分][理]学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图8-1-17,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
备考指导 本题以学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型为背景,将空间几何体的体积与物理中“质量=体积×密度”的计算综合命题,要求考生能够在关联的情境中,想象并构建相应的几何图形,借助图形性质探索规律,解决数学问题,考查了直观想象、数学运算等核心素养,对立体几何的考法具有很好的导向作用.备考的过程中既要关注社会热点,也要关注自然界中的多面体,如正六棱柱的蜂房结构在建筑中的应用(容积最大,用料最省),自然界中的多面体(晶体)在建筑中的应用等,这些都有可能会成为命题点.
数学文化 立体几何与数学文化
示例11 [2019全国卷Ⅱ,16,5分][理]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图8-1-20).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图8-1-21是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分)
图8-1-20 图8-1-21
试题评析 本题以我国南北朝时期的官员独孤信的印信形状“半正多面体”为背景,创设求空间多面体的面数与棱长的问题,引导考生认识到世界古老民族优秀传统文化的博大精深和源远流长,体现了数学文化的传承与发展,对学生的阅读能力和直观想象核心素养要求较高,若能找准题眼,便可化繁为简.
备考指导 高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化的背景命制与核心考点相结合的题目;二是直接解答古代数学问题;三是利用古代数学成果解决数学问题.解题的关键是从中提取出数学问题,利用有关数学知识进行求解.
数学探索 立体几何中的截面问题
解析 如图8-1-22,记该正方体为ABCD-A1B1C1D1,要使正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,那么平面α必须与正方体的体对角线AC1垂直.连接B1C,B1D1,CD1,易知平面α与平面B1CD1平行或重合.
点评 本题没有烦杂的计算,但增加了试题的思维量,重在考查学生的思维能力,尤其是直观想象和数学抽象核心素养.
方法技巧 作截面的三种常用方法一是直接法,解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上.二是作平行线法,解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行.三是延长交线得交点,解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上.
思维拓展 在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等)得到的平面图形.截面的方式总共有三种,分别为横截、竖截、斜截.常见的立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图如下:
1.正六面体的基本斜截面
在这里需要给大家强调一下,正六面体的斜截面不会出现以下几种图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.
考点1 空间几何体的结构
考点2 空间几何体的三视图与直观图
考点3 空间几何体的表面积与体积
考法1 空间几何体的结构
考法2 空间几何体的三视图
考法3 求空间几何体的表面积（侧面积）
考法4 求空间几何体的体积
考法5 与球有关的切、接问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索 立体几何中的截面问题
数学应用 空间几何体的应用
数学文化 立体几何与数学文化
考点1 空间几何体的结构考点2 空间几何体的三视图与直观图考点3 空间几何体的表面积与体积
考点1 空间几何体的结构
规律总结 特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥.特别地,各棱长均相等的正三棱锥叫作正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心. 思维拓展 正棱锥中的直角三角形 三边分别为(1)高、斜高、底面边心距;(2)高、侧棱、底面的外接圆半径;(3)斜高、侧棱、底面边长的一半;(4)底面边心距、外接圆半径、底面边长的一半.
规律总结 球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
考点2 空间几何体的三视图与直观图
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.注意 (1)画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.(2)同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.
“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图的长对正,侧视图和俯视图的宽相等,正视图和侧视图的高平齐.
3.直观图(1)用斜二测画法画直观图的步骤①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x ’轴 与y’轴 ,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x ’轴 或y’轴 的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.④擦去作为辅助线的坐标轴,就得到原图形的直观图.
(2)规则:斜二测画法中的“三变”与“三不变”
考点3 空间几何体的表面积与体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
辨析比较 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧=2πrl S 圆台侧=π(r+r‘ )l S圆锥侧=πrl.
2.空间几何体的表面积与体积
规律总结1.关于几何体的表面积和侧面积(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.2.与体积有关的结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
辨析比较 柱体、锥体、台体体积公式间的关系 思维拓展 祖暅原理幂势既同,则积不容异.即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
考法1 空间几何体的结构考法2 空间几何体的三视图考法3 求空间几何体的表面积（侧面积）考法4 求空间几何体的体积考法5 与球有关的切、接问题
考法1 空间几何体的结构
命题角度1 空间几何体的结构特征 示例1 给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;③圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形;④圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中,面积最大的一个;⑤三棱锥的四个面中最多有三个直角三角形.其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3
解析 ①只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,故①不正确;②只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故②不正确;③正确;④因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式知,过圆锥顶点的截面中,两条母线的夹角的正弦值越大,截面面积就越大,所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的,故④不正确;⑤三棱锥的四个面中最多有四个直角三角形,故⑤不正确.答案 B
方法技巧1.空间几何体结构特征的判定方法2.避免失误(1)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素间的关系.(2)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意利用“还台为锥”的解题策略.
命题角度2 求线段长(距离)的最值
示例2 [2021湖北模拟]如图8-1-3,正三棱锥A-BCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点E,F分别为AC,AD上的动点,则截面△BEF周长的最小值为 .
解析 将正三棱锥A-BCD的侧面沿侧棱BA展开,得到一个由三个全等的等腰三角形拼接而成的五边形(如图8-1-4).
方法技巧 求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或两条(多条)线段长度和的最小值问题时,只需将这些线段放置到同一个平面上,转化为平面几何中的最值问题求解.要注意立体图形展开前后线段与角度哪些会改变,哪些不会变.注意 解决展开问题的关键是明确需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用哪些平面几何定理来解决对应的立体图形问题.
规律总结 立体几何中的“截、展、拆、拼”(1)“截”:指的是截面,平行于柱体、锥体底面的截面以及旋转体的轴截面,它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系,能够列出有关量的关系式.(2)“展”:指的是侧面和某些面的展开图,在有关沿表面的最短路径问题中,就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离,注意展开方式往往不止一种.(3)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算.(4)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,还台为锥,这些都是拼补的方法.
考法2 空间几何体的三视图
示例3 [2020全国卷Ⅱ,7,5分][理]如图8-1-6是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A.E B.FC.G D.H
解析 由三视图知,该几何体是由两个长方体组合而成的,其直观图如图8-1-7所示,由图知该端点在侧视图中对应的点为E.
方法技巧 三视图与直观图的常见题型及求解策略(1)由直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,同时也要注意看到的轮廓线用实线表示,看不到的轮廓线用虚线表示.(2)由几何体的部分三视图画出剩下的三视图.先根据已知的部分三视图,推测、还原直观图的可能形式,然后找剩下部分三视图的可能形式.做选择题时,也可以将选项代入,看给出的部分三视图是否符合要求.(3)由三视图还原为几何体.熟悉柱、锥、台、球的三视图,结合空间想象将三视图还原为直观图.
规律总结 根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形,一般对应三棱锥;(2)三视图为两个三角形,一个四边形,一般对应四棱锥;(3)三视图为两个三角形,一个圆,一般对应圆锥;(4)三视图为一个三角形,两个四边形,一般对应三棱柱;(5)三视图为两个四边形,一个圆,一般对应圆柱.
考法3 求空间几何体的表面积(侧面积)
命题角度1 求空间几何体的表面积
命题角度2 求空间几何体的侧面积
方法技巧1.求空间几何体的表面积的方法
2.求空间几何体侧面积的方法一是分别求各个侧面面积,然后求和;二是利用公式求解.3.避免失误在求解组合体的表面积时,注意几何体表面的构成,尤其是重合部分,面积不要多加或少减.
考法4 求空间几何体的体积
示例6 [2018天津,11,5分]如图8-1-10,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 .
命题角度1 求空间几何体的体积
方法技巧 求空间几何体体积的常用方法
命题角度2 体积的最值问题
思维导引 先证明AC⊥平面PBC,然后设AC=2x,将体积表示成关于x的函数,换元化简,再利用导数求最值.
方法技巧 求解体积的最值问题的方法(1)几何法:根据几何体的结构特征,先确定体积表达式中的常量与变量,然后利用几何知识判断变量什么情况下取得最值,从而确定体积的最值.(2)代数法:先设变量,求出几何体的体积表达式,然后转化为函数最值问题求解即可.
考法5与球有关的切、接问题
命题角度1 外接球问题若一个多面体的顶点都在同一球面上,则这个球称为多面体的外接球.解决外接球问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
思维导引 分析直三棱柱的结构特征,根据底面形状及球的截面性质,确定球心的位置,建立球的半径与棱柱的几何度量之间的关系求解.
解析 解法一(直接法) 如图8-1-13,作出直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O.由题意,直三棱柱的底面ABC是直角三角形,所以底面△ABC外接圆的圆心是BC的中点E,底面△A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1. (先确定棱柱上、下底面的中心)由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心O就是线段EE1的中点.(定球心O)
方法技巧1.求解几何体外接球的半径的思路一是根据球的截面的性质,如该题的解法一,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2=r2+d2求解,其中,确定球心的位置是关键;二是将几何体补成长方体,如该题的解法二,利用该几何体与长方体共有外接球的特征,由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.2.确定球心的常用结论(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(4)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
命题角度2 内切球问题求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于分割后各棱锥的体积之和,求内切球的半径.
方法技巧1.解与球有关的切、接问题的思维流程通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程如下:
(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,那么可以补形成一个正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心;②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,那么可以补形成一个长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(5)求一个棱锥内切球的半径,可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出.
(6)球与旋转体的组合通常利用作轴截面解题,球与多面体的组合通常利用过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题.此类问题在计算时,经常用到截面圆.如图8-1-16所示,设球O的半径为R,截面圆O'的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O'的距离为d,则在Rt△OO'M中,OM2=OO'2+O'M2,即R2=d2+r2.
高分帮·“双一流”名校冲刺
析情境∙ 数学应用数学应用 空间几何体的应用提素养 ∙ 数学文化数学文化 立体几何与数学文化提能力 ∙ 数学探索数学探索 立体几何中的截面问题
示例10 [2019全国卷Ⅲ,16,5分][理]学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图8-1-17,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
备考指导 本题以学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型为背景,将空间几何体的体积与物理中“质量=体积×密度”的计算综合命题,要求考生能够在关联的情境中,想象并构建相应的几何图形,借助图形性质探索规律,解决数学问题,考查了直观想象、数学运算等核心素养,对立体几何的考法具有很好的导向作用.备考的过程中既要关注社会热点,也要关注自然界中的多面体,如正六棱柱的蜂房结构在建筑中的应用(容积最大,用料最省),自然界中的多面体(晶体)在建筑中的应用等,这些都有可能会成为命题点.
数学文化 立体几何与数学文化
示例11 [2019全国卷Ⅱ,16,5分][理]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图8-1-20).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图8-1-21是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分)
图8-1-20 图8-1-21
试题评析 本题以我国南北朝时期的官员独孤信的印信形状“半正多面体”为背景,创设求空间多面体的面数与棱长的问题,引导考生认识到世界古老民族优秀传统文化的博大精深和源远流长,体现了数学文化的传承与发展,对学生的阅读能力和直观想象核心素养要求较高,若能找准题眼,便可化繁为简.
备考指导 高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化的背景命制与核心考点相结合的题目;二是直接解答古代数学问题;三是利用古代数学成果解决数学问题.解题的关键是从中提取出数学问题,利用有关数学知识进行求解.
数学探索 立体几何中的截面问题
解析 如图8-1-22,记该正方体为ABCD-A1B1C1D1,要使正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,那么平面α必须与正方体的体对角线AC1垂直.连接B1C,B1D1,CD1,易知平面α与平面B1CD1平行或重合.
点评 本题没有烦杂的计算,但增加了试题的思维量,重在考查学生的思维能力,尤其是直观想象和数学抽象核心素养.
方法技巧 作截面的三种常用方法一是直接法,解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上.二是作平行线法,解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行.三是延长交线得交点,解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上.
思维拓展 在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等)得到的平面图形.截面的方式总共有三种,分别为横截、竖截、斜截.常见的立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图如下:
1.正六面体的基本斜截面
在这里需要给大家强调一下,正六面体的斜截面不会出现以下几种图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.
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