2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：21 两角和与差的正弦、余弦和正切

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：21 两角和与差的正弦、余弦和正切，共7页。

[基础达标]
一、选择题
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋sin\f(π,12)))的值等于( )
A．－eq \f(\r(3),2)B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
2．[2021·北京西城区检测]4cs50°－tan40°＝( )
A.eq \r(2)B.eq \f(\r(2)＋\r(3),2)
C.eq \r(3)D．2eq \r(2)－1
3．[2020·全国卷Ⅲ]已知sinθ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2,3)D.eq \f(\r(2),2)
4．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则cs(α＋β)等于( )
A.eq \f(16,65)B．－eq \f(56,65)
C．－eq \f(33,65)D.eq \f(63,65)
5．[2021·山西临汾模拟]已知α满足sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),6)，则eq \f(tan2α＋1,2tanα)＝( )
A.eq \f(9,8)B．－eq \f(9,8)
C．3D．－3
二、填空题
6．[2021·河南洛阳统考]已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2，则eq \f(2sinα,3sinα＋csα)＝________.
7．[2018·全国卷Ⅱ]已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tanα＝________.
8．已知sin(α－β)csα－cs(β－α)sinα＝eq \f(3,5)，β是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(5π,4)))＝________.
三、解答题
9．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，且5eq \r(3)sinα＋5csα＝8，eq \r(2)sinβ＋eq \r(6)csβ＝2，求cs(α＋β)的值．
10．已知函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,6))＋sin(x－eq \f(π,6))＋csx＋a的最大值为1，
(1)求常数a的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合．
[能力挑战]
11．已知cs(α－eq \f(π,6))＋sinα＝eq \f(4\r(3),5)，则sin(α＋eq \f(7π,6))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),5)B.eq \f(2\r(3),5)
C.eq \f(4,5)D．－eq \f(4,5)
12．[2021·临沂一中检测]已知函数f(x)＝eq \f(sin4x＋\r(3)cs4x,sin2x－\r(3)cs2x)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的值域为(－2,2)
D．f(x)的图象关于(－eq \f(π,12)，0)对称
13．[2018·全国卷Ⅱ]已知sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.
课时作业21
1．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋sin\f(π,12)))＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，故选D.
答案：D
2．解析：4cs 50°－tan 40°＝4sin 40°－tan 40°＝eq \f(4sin 40°cs 40°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(2sin 80°－sin 40°,cs 40°)
＝eq \f(2sin(120°－40°)－sin 40°,cs 40°)
＝eq \f(\r(3)cs 40°＋sin 40°－sin 40°,cs 40°)
＝eq \f(\r(3)cs 40°,cs 40°)＝eq \r(3)，故选C.
答案：C
3．解析：∵sin θ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝sin θ＋sin θcs eq \f(π,3)＋cs θsineq \f(π,3)＝sin θ＋eq \f(1,2)sin θ＋eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \f(3,2)sin θ＋eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ＋\f(1,2)cs θ))＝eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，故选B.
答案：B
4．解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴eq \f(π,4)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－ eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5).
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴eq \f(π,4)＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))＝ eq \r(1－\f(144,169))＝eq \f(5,13).
∴cs(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))
＝－eq \f(33,65).
答案：C
5．解析：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),6)可得eq \f(\r(2),2)(sin α＋cs α)＝eq \f(\r(2),6)，故sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，两边平方可得，1＋2sin αcs α＝eq \f(1,9)，即2sin αcs α＝－eq \f(8,9)，故eq \f(tan2α＋1,2tan α)＝eq \f(\f(sin2α,cs2α)＋1,\f(2sin α,cs α))
＝eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)·eq \f(cs α,2sin α)
＝eq \f(1,cs2α)·eq \f(cs α,2sin α)
＝eq \f(1,2sin αcs α)＝－eq \f(9,8).
答案：B
6．解析：由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2，得eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝2，求得tan α＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2sin α,3sin α＋cs α)＝eq \f(2tan α,3tan α＋1)＝eq \f(2×\f(1,3),3×\f(1,3)＋1)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
7．解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,5)，
解得tan α＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝eq \f(3,5)，sin β＝－eq \f(3,5).
又β是第三象限角，因此有cs β＝－eq \f(4,5).
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))＝－sin βcseq \f(π,4)－cs βsineq \f(π,4)＝eq \f(7\r(2),10).
答案：eq \f(7\r(2),10)
9．解析：由5eq \r(3)sin α＋5cs α＝8得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，β＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5,6)π))，
由eq \r(2)sin β＋eq \r(6)cs β＝2，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(2),2)，
所以cs(α＋β)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋(α＋β)))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β ＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(2),10).
10．解析：f(x)＝eq \r(3)sin x＋cs x＋a＝2sin(x＋eq \f(π,6))＋a.
(1)由2＋a＝1得a＝－1.
(2)由eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[eq \f(π,3)＋2kπ，eq \f(4π,3)＋2kπ]，k∈Z.
(3)∵f(x)≥0，即sin(x＋eq \f(π,6))≥eq \f(1,2)，
∴eq \f(π,6)＋2kπ≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，
∴2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.
故x的取值集合为{x|2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z}．
11．解析：由cs(α－eq \f(π,6))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，可得eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，即eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，所以eq \r(3)sin(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(4\r(3),5)，sin(α＋eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)，所以sin(α＋eq \f(7π,6))＝－sin(α＋eq \f(π,6))＝－eq \f(4,5).
答案：D
12．解析：∵f(x)＝eq \f(sin 4x＋\r(3)cs 4x,sin 2x－\r(3)cs 2x)
＝eq \f(2sin(4x＋\f(π,3)),－2cs(2x＋\f(π,6)))
＝－2sin(2x＋eq \f(π,6))，(cs(2x＋eq \f(π,6))≠0)
当且仅当cs(2x＋eq \f(π,6))＝0时，|sin(2x＋eq \f(π,6))|＝1，
∴f(x)的值域为(－2,2)，f(x)的最小正周期为π，图象关于(－eq \f(π,12)，0)对称．
答案：B
13．解析：∵sin α＋cs β＝1，①
cs α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
∴sin αcs β＋cs αsin β＝－eq \f(1,2)，
∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)