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2022版高考人教版数学一轮练习：练案【70理】【63文】 古典概型
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这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【70理】【63文】 古典概型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第五讲 古典概型(理)
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·新高考八省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( C )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
[解析] 设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．三人可能拿到的卡片结果为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，其中满足题意的结果有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：p＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).故选C.
2．(2021·陕西汉中质检)中国将于今年9月3日至5日举行国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是( C )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(2,3)
[解析] (理)P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5).故选C.
(文)记三名英语翻译为a、b、c，两名俄语翻译为A、B，从中选2人，有(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种，其中恰有1名英语翻译1名俄语翻译的有6种，故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，选C.
3．(理)(2021·安徽皖江名校联考)疫情期间，某市教育局为了解学生线上学习情况，准备从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研，其中A中学与B小学同时被选中的概率为( C )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(1,8)
C.eq \f(1,15) D．eq \f(3,20)
(文)(2021·山西八校联考)己知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( B )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
[解析] (理)基本事件共Ceq \\al(3,10)＝120，其中A中学与B小学被选中包含Ceq \\al(1,8)＝8个基本事件，故所求概率为P＝eq \f(8,120)＝eq \f(1,15)，故选C.
(文)这20个随机数中，表示“运动员三次投篮恰有两次命中”的随机数有191,271,932,812,393，共5个，故所求概率为eq \f(5,20)＝0.25，故选B.
4．(2021·河北石家庄质检)北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为( C )
A.eq \f(3,10) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(7,10)
[解析] (理)P＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).故选C.
(文)记“冬梦”为D，“飞跃”为F，“冰墩墩”为B、“雪容融”为X，“志愿者标志”为Z，则从5枚邮票中任取3枚有(BXZ)、(FXZ)、(FBZ)、(FBX)、(DXZ)、(DBZ)、(DBX)、(DFZ)、(DFX)、(DFB)共10种，其中恰有1枚吉祥物的取法有6种，故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，故选C.
5. (理)(2021·湖南郴州质检)《易经》是中国传统文化中的精髓．图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为( C )
A.eq \f(1,14) B．eq \f(1,7)
C.eq \f(3,14) D．eq \f(3,28)
(文)(2021·陕西宝鸡金台区质检)饕餮(tā tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( B )
A.eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
[解析] (理)P＝eq \f(2C\\al(2,3),C\\al(2,8))＝eq \f(3,14)，故选C.
(文)点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为eq \f(1,8)，故选B.
6．(2020·山东省潍坊市期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为( B )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C.eq \f(1,9) D．eq \f(1,36)
[解析] 设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Bc，Ca)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac，Ba，Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为P＝eq \f(1,6)，故选B.
7．(2021·百所名校联考)中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(pá)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器， “土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为( B )
A.eq \f(3,14) B．eq \f(11,14)
C.eq \f(1,14) D．eq \f(2,7)
[解析] 从“八音”中任取不同的“两音”共有eq \f(8×7,2)＝28种取法；“两音”中不含有打击乐器的取法共有eq \f(4×3,2)＝6种取法；∴所求概率P＝1－eq \f(6,28)＝eq \f(11,14).故选B.
8．(2021·重庆巴蜀中学模拟)已知平面上有3个点A，B，C，在A处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A点的概率为( D )
A.eq \f(11,16) B．eq \f(5,8)
C.eq \f(1,3) D．eq \f(3,8)
[解析] 由图可知所求概率P＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，故选D.
9．(理)(2020·江西新余期末)今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为( A )
A．eq \f(19,25) B．eq \f(17,20)
C．eq \f(16,25) D．eq \f(19,40)
(文)(2021·江西名校联考)对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法，只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作．已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙，丙，丁，戊四位密切接触者，现把这四个人平均分成二组，分别送到两个医院进行隔离观察，则乙，丙两人被分到同一个医院的概率为( C )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
[解析] (理)记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,5名专家分到3个不同的乡镇，共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人．那么P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(3,3)＋C\\al(1,3)A\\al(3,3),\f(C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(3,3),A\\al(2,2))A\\al(3,3)＋\f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))A\\al(3,3))＝eq \f(6,10＋15)＝eq \f(6,25)，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq \f(19,25).故选A．
(文)记乙、丙、丁、戊四人为1、2、3、4，两个医院为A、B，则不同隔离法如表：共有6种，其中乙丙分到同一医院的隔离法有2种，故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选C．
10．(理)(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是( B )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(5,16)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
(文)(2021·安徽合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( A )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(7,12)
[解析] (理)由题意可知第6次移动后回到原点⇔6次移动中向左移了3次，故所求概率P＝eq \f(C\\al(3,6),26)＝eq \f(5,16).故选B.
(文)2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2共4种情况，则发生的概率为P＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，故选A．
11．以下对各事件发生的概率判断正确的个数是( C )
①甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3) ②每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15) ③将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36) ④从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 玩一局甲不输的概率为eq \f(2,3)，①错；不超过14的素数为2,3,5,7,11,13共6个，故从中任取两个数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)，②正确；对于③，点数之和为6的情况只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种情况，所求概率P＝eq \f(5,36)，③正确；对于④，所求概率P＝eq \f(1,2)，④正确．故选C．
12．(2021·江苏徐州一中、兴化中学期中)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则下列结论正确的个数为( B )
①事件A发生的概率为eq \f(1,2) ②事件A∪B发生的概率为eq \f(11,20)
③事件A∩B发生的概率为eq \f(2,5) ④从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,5)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] P(A)＝eq \f(11,20)，①错；P(A∪B)＝eq \f(11,20)，②正确；P(A∩B)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)，③正确；从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,4)，④错，故选B.
二、填空题
13．(理)(2021·广东调研)某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为 eq \f(1,210) .
(文)(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 eq \f(2,5) .
[解析] (理)由捆绑法可得所求概率P＝eq \f(A\\al(2,2)A\\al(3,3)A\\al(4,4)A\\al(3,3),A\\al(9,9))＝eq \f(1,210).
(文)总的取法有(红黄)、(红蓝)、(红绿)、(红紫)、(黄蓝)、(黄绿)、(黄紫)、(蓝绿)、(蓝紫)、(绿紫)共10种，其中含有红色彩笔的有4种，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
14．(理)(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是 eq \f(3,10) .(用数字作答)
(文)(2021·山西太原模拟)某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是 eq \f(2,5) .
[解析] (理)5人排一行共有Aeq \\al(5,5)种排法，甲、乙两人之间恰有一人有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种排法，故所求概率P＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(2,2)A\\al(3,3),A\\al(5,5))＝eq \f(3,10).
(文)由题意得基本事件有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)共15个，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)，共6个，所以其概率为eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
15．(2021·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e>eq \r(5)的概率是eq \f(1,6).
[解析] 由e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))>eq \r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
三、解答题
16．(2021·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，所有可能的结果为33，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq \x\t(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).
17．(理)(2021·华南师大附中综合测试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数，单位：分)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下不完整的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数；
(2)从被抽取的数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
[解析] (理)(1)因为各组的频率之和等于1，故第四小组的频率为f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
补全的频率分布直方图如图：
中位数是xc＝70＋10×eq \f(0.1,0.3)＝73.33.
因而估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数是73.33分．
(2)分数在[70, 80)，[80, 90)，[90,100]的人数分别是0.03×10×60＝18,0.025×10×60＝15,0.005×10×60＝3.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，他们在同一分数段的概率P＝eq \f(C\\al(2,18)＋C\\al(2,15)＋C\\al(2,3),C\\al(2,36))＝eq \f(29,70).
B组能力提升
1. (2021·湖北武汉部分学校质检)我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( B )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,3)
[解析] 从5个里面选3个共有10种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有5种情况，所以概率为eq \f(1,2)，故选B.
2．(理)(2021·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )
A．eq \f(27,64) B．eq \f(9,16)
C．eq \f(81,256) D．eq \f(7,16)
(文)(2021·四川省巴中市调研)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式．素数猜想是希尔伯在1990年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数．则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为( C )
A．eq \f(1,14) B．eq \f(3,28)
C．eq \f(1,7) D．eq \f(5,28)
[解析] (理)4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(2,4)·Aeq \\al(3,3)＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝eq \f(144,256)＝eq \f(9,16).故选B.
(文)不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，从中任取两个素数有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)共28种，两个素数组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)共4种，故所求概率P＝eq \f(4,28)＝eq \f(1,7).选C．
3．(2021·四川成都月考)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( D )
A．eq \f(1,36) B．eq \f(1,16)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,6)
[解析] 每个人的选法有eq \f(3×4,2)＝6种，两人选的不同结果有36种，选法相同的有6种，故所求概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).故选D.
4．(2021·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为( A )
A．eq \f(5,13) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,12)
[解析] (理)所求事件的概率P＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,1)＋C\\al(1,2)＋C\\al(1,2),C\\al(1,4)＋C\\al(1,3)C\\al(1,3))＝eq \f(5,13)，选A．
(文)设甲同学的座位号为a，乙同学的座位号b，则事件：甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位包含的基本事件为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(3、1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)(5,2)、(5,3)、(5,4)，共13种情况。事件：甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含(1,3)、(3、1)、(4,2)、(5,1)、(5,3)共5种情况，所以该事件发生的该P＝eq \f(5,13)，选A．
5．(理)(2020·安徽芜湖期末)某校高三年级有男生410人，学号为001,002，…，410；女生290人，学号为411,412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是( D )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(7,10) D．eq \f(4,5)
(文)(2021·衡水中学调研)设A，B两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生，B选择英语教师的概率为( A )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(7,12)
[解析] (理)由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人．记“抽取的3人中既有男生又有女生”为事件A，则P(A)＝1－eq \f(C\\al(3,4)＋C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(4,5)(或P(A)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,4)＋C\\al(2,6)C\\al(1,4),C\\al(3,10))＝eq \f(4,5))．故选D.
(文)方法一：设两位数学教师用1,2表示，两位英语教师用3,4表示，不妨让A先选，B后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，共4种情况，所以所求概率P＝eq \f(1,3).故选A．
6．(理)(2021·河北名优校联考)为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))，现在从课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为( C )
A．eq \f(15,56) B．eq \f(3,8)
C．eq \f(2,7) D．eq \f(5,28)
(文)(2021·天津和平区期末)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 eq \f(9,10) .
[解析] (理)∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))，课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的学生共有500×0.08×2＝8(名)，
∴从课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的学生中随机抽取3人，基本事件总数n＝Ceq \\al(3,8)＝56，
至少抽到2名女生包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,5)＝16，
则至少抽到1名女生的概率为p＝eq \f(m,n)＝eq \f(16,56)＝eq \f(2,7).
故选C．
(文)从甲、乙、丙、丁、戊中选5种的选法有(甲、乙、丙)，(甲、乙、丁)，(甲、乙、戊)，(甲、丙、丁)，(甲、丙、戊)，(甲、丁、戊)，(乙、丙、丁)，(乙、丙、戊)，(乙、丁、戊)，(丙、丁、戊)10种，显然甲、乙、丙都选有1种，故所求概率为P＝1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10).
第五讲 古典概型(理)
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·新高考八省联考)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( C )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
[解析] 设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．三人可能拿到的卡片结果为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，其中满足题意的结果有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：p＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).故选C.
2．(2021·陕西汉中质检)中国将于今年9月3日至5日举行国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是( C )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(2,3)
[解析] (理)P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5).故选C.
(文)记三名英语翻译为a、b、c，两名俄语翻译为A、B，从中选2人，有(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种，其中恰有1名英语翻译1名俄语翻译的有6种，故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，选C.
3．(理)(2021·安徽皖江名校联考)疫情期间，某市教育局为了解学生线上学习情况，准备从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研，其中A中学与B小学同时被选中的概率为( C )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(1,8)
C.eq \f(1,15) D．eq \f(3,20)
(文)(2021·山西八校联考)己知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( B )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
[解析] (理)基本事件共Ceq \\al(3,10)＝120，其中A中学与B小学被选中包含Ceq \\al(1,8)＝8个基本事件，故所求概率为P＝eq \f(8,120)＝eq \f(1,15)，故选C.
(文)这20个随机数中，表示“运动员三次投篮恰有两次命中”的随机数有191,271,932,812,393，共5个，故所求概率为eq \f(5,20)＝0.25，故选B.
4．(2021·河北石家庄质检)北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为( C )
A.eq \f(3,10) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(3,5) D．eq \f(7,10)
[解析] (理)P＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).故选C.
(文)记“冬梦”为D，“飞跃”为F，“冰墩墩”为B、“雪容融”为X，“志愿者标志”为Z，则从5枚邮票中任取3枚有(BXZ)、(FXZ)、(FBZ)、(FBX)、(DXZ)、(DBZ)、(DBX)、(DFZ)、(DFX)、(DFB)共10种，其中恰有1枚吉祥物的取法有6种，故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，故选C.
5. (理)(2021·湖南郴州质检)《易经》是中国传统文化中的精髓．图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为( C )
A.eq \f(1,14) B．eq \f(1,7)
C.eq \f(3,14) D．eq \f(3,28)
(文)(2021·陕西宝鸡金台区质检)饕餮(tā tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( B )
A.eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
[解析] (理)P＝eq \f(2C\\al(2,3),C\\al(2,8))＝eq \f(3,14)，故选C.
(文)点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为eq \f(1,8)，故选B.
6．(2020·山东省潍坊市期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为( B )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C.eq \f(1,9) D．eq \f(1,36)
[解析] 设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Bc，Ca)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac，Ba，Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为P＝eq \f(1,6)，故选B.
7．(2021·百所名校联考)中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(pá)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器， “土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为( B )
A.eq \f(3,14) B．eq \f(11,14)
C.eq \f(1,14) D．eq \f(2,7)
[解析] 从“八音”中任取不同的“两音”共有eq \f(8×7,2)＝28种取法；“两音”中不含有打击乐器的取法共有eq \f(4×3,2)＝6种取法；∴所求概率P＝1－eq \f(6,28)＝eq \f(11,14).故选B.
8．(2021·重庆巴蜀中学模拟)已知平面上有3个点A，B，C，在A处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A点的概率为( D )
A.eq \f(11,16) B．eq \f(5,8)
C.eq \f(1,3) D．eq \f(3,8)
[解析] 由图可知所求概率P＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，故选D.
9．(理)(2020·江西新余期末)今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为( A )
A．eq \f(19,25) B．eq \f(17,20)
C．eq \f(16,25) D．eq \f(19,40)
(文)(2021·江西名校联考)对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法，只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作．已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙，丙，丁，戊四位密切接触者，现把这四个人平均分成二组，分别送到两个医院进行隔离观察，则乙，丙两人被分到同一个医院的概率为( C )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
[解析] (理)记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,5名专家分到3个不同的乡镇，共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人．那么P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(3,3)＋C\\al(1,3)A\\al(3,3),\f(C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(3,3),A\\al(2,2))A\\al(3,3)＋\f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))A\\al(3,3))＝eq \f(6,10＋15)＝eq \f(6,25)，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq \f(19,25).故选A．
(文)记乙、丙、丁、戊四人为1、2、3、4，两个医院为A、B，则不同隔离法如表：共有6种，其中乙丙分到同一医院的隔离法有2种，故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选C．
10．(理)(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是( B )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(5,16)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
(文)(2021·安徽合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( A )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(7,12)
[解析] (理)由题意可知第6次移动后回到原点⇔6次移动中向左移了3次，故所求概率P＝eq \f(C\\al(3,6),26)＝eq \f(5,16).故选B.
(文)2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2共4种情况，则发生的概率为P＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，故选A．
11．以下对各事件发生的概率判断正确的个数是( C )
①甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3) ②每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15) ③将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36) ④从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 玩一局甲不输的概率为eq \f(2,3)，①错；不超过14的素数为2,3,5,7,11,13共6个，故从中任取两个数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)，②正确；对于③，点数之和为6的情况只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种情况，所求概率P＝eq \f(5,36)，③正确；对于④，所求概率P＝eq \f(1,2)，④正确．故选C．
12．(2021·江苏徐州一中、兴化中学期中)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则下列结论正确的个数为( B )
①事件A发生的概率为eq \f(1,2) ②事件A∪B发生的概率为eq \f(11,20)
③事件A∩B发生的概率为eq \f(2,5) ④从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,5)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] P(A)＝eq \f(11,20)，①错；P(A∪B)＝eq \f(11,20)，②正确；P(A∩B)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)，③正确；从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,4)，④错，故选B.
二、填空题
13．(理)(2021·广东调研)某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为 eq \f(1,210) .
(文)(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 eq \f(2,5) .
[解析] (理)由捆绑法可得所求概率P＝eq \f(A\\al(2,2)A\\al(3,3)A\\al(4,4)A\\al(3,3),A\\al(9,9))＝eq \f(1,210).
(文)总的取法有(红黄)、(红蓝)、(红绿)、(红紫)、(黄蓝)、(黄绿)、(黄紫)、(蓝绿)、(蓝紫)、(绿紫)共10种，其中含有红色彩笔的有4种，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
14．(理)(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是 eq \f(3,10) .(用数字作答)
(文)(2021·山西太原模拟)某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是 eq \f(2,5) .
[解析] (理)5人排一行共有Aeq \\al(5,5)种排法，甲、乙两人之间恰有一人有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种排法，故所求概率P＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(2,2)A\\al(3,3),A\\al(5,5))＝eq \f(3,10).
(文)由题意得基本事件有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)共15个，其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)，共6个，所以其概率为eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
15．(2021·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e>eq \r(5)的概率是eq \f(1,6).
[解析] 由e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))>eq \r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
三、解答题
16．(2021·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，所有可能的结果为33，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq \x\t(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).
17．(理)(2021·华南师大附中综合测试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数，单位：分)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下不完整的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数；
(2)从被抽取的数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
[解析] (理)(1)因为各组的频率之和等于1，故第四小组的频率为f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
补全的频率分布直方图如图：
中位数是xc＝70＋10×eq \f(0.1,0.3)＝73.33.
因而估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数是73.33分．
(2)分数在[70, 80)，[80, 90)，[90,100]的人数分别是0.03×10×60＝18,0.025×10×60＝15,0.005×10×60＝3.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，他们在同一分数段的概率P＝eq \f(C\\al(2,18)＋C\\al(2,15)＋C\\al(2,3),C\\al(2,36))＝eq \f(29,70).
B组能力提升
1. (2021·湖北武汉部分学校质检)我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( B )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,3)
[解析] 从5个里面选3个共有10种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有5种情况，所以概率为eq \f(1,2)，故选B.
2．(理)(2021·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )
A．eq \f(27,64) B．eq \f(9,16)
C．eq \f(81,256) D．eq \f(7,16)
(文)(2021·四川省巴中市调研)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式．素数猜想是希尔伯在1990年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数．则从不超过20的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为( C )
A．eq \f(1,14) B．eq \f(3,28)
C．eq \f(1,7) D．eq \f(5,28)
[解析] (理)4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(2,4)·Aeq \\al(3,3)＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝eq \f(144,256)＝eq \f(9,16).故选B.
(文)不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，从中任取两个素数有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)共28种，两个素数组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)共4种，故所求概率P＝eq \f(4,28)＝eq \f(1,7).选C．
3．(2021·四川成都月考)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( D )
A．eq \f(1,36) B．eq \f(1,16)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,6)
[解析] 每个人的选法有eq \f(3×4,2)＝6种，两人选的不同结果有36种，选法相同的有6种，故所求概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).故选D.
4．(2021·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为( A )
A．eq \f(5,13) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,12)
[解析] (理)所求事件的概率P＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,1)＋C\\al(1,2)＋C\\al(1,2),C\\al(1,4)＋C\\al(1,3)C\\al(1,3))＝eq \f(5,13)，选A．
(文)设甲同学的座位号为a，乙同学的座位号b，则事件：甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位包含的基本事件为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(3、1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)(5,2)、(5,3)、(5,4)，共13种情况。事件：甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含(1,3)、(3、1)、(4,2)、(5,1)、(5,3)共5种情况，所以该事件发生的该P＝eq \f(5,13)，选A．
5．(理)(2020·安徽芜湖期末)某校高三年级有男生410人，学号为001,002，…，410；女生290人，学号为411,412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是( D )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(7,10) D．eq \f(4,5)
(文)(2021·衡水中学调研)设A，B两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生，B选择英语教师的概率为( A )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(7,12)
[解析] (理)由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人．记“抽取的3人中既有男生又有女生”为事件A，则P(A)＝1－eq \f(C\\al(3,4)＋C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(4,5)(或P(A)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,4)＋C\\al(2,6)C\\al(1,4),C\\al(3,10))＝eq \f(4,5))．故选D.
(文)方法一：设两位数学教师用1,2表示，两位英语教师用3,4表示，不妨让A先选，B后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，共4种情况，所以所求概率P＝eq \f(1,3).故选A．
6．(理)(2021·河北名优校联考)为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))，现在从课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为( C )
A．eq \f(15,56) B．eq \f(3,8)
C．eq \f(2,7) D．eq \f(5,28)
(文)(2021·天津和平区期末)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 eq \f(9,10) .
[解析] (理)∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))，课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的学生共有500×0.08×2＝8(名)，
∴从课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的学生中随机抽取3人，基本事件总数n＝Ceq \\al(3,8)＝56，
至少抽到2名女生包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,5)＝16，
则至少抽到1名女生的概率为p＝eq \f(m,n)＝eq \f(16,56)＝eq \f(2,7).
故选C．
(文)从甲、乙、丙、丁、戊中选5种的选法有(甲、乙、丙)，(甲、乙、丁)，(甲、乙、戊)，(甲、丙、丁)，(甲、丙、戊)，(甲、丁、戊)，(乙、丙、丁)，(乙、丙、戊)，(乙、丁、戊)，(丙、丁、戊)10种，显然甲、乙、丙都选有1种，故所求概率为P＝1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10).
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