2022版高考人教版数学一轮练习：练案【46文】 高考大题规范解答系列（四）——立体几何（文）

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1．(2016·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E.
[解析] (1)因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，
所以C1C⊥平面ABC．
又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
2. (2021·河南开封模拟)如图，直棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，E，F分别为棱A1B1，CD的中点，AB⊥EF.
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若AD＝AA1＝2，求几何体AA1DFBE的体积．
[解析] (1)证明：直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，
所以A1E∥DF，
又E，F分别为棱A1B1，CD的中点，所以A1E＝DF，
所以A1EFD是平行四边形，所以EF∥A1D.
因为AB⊥EF，所以AB⊥A1D，
又AB⊥AA1，A1D∩AA1＝A1，
所以AB⊥平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥AD.
(2)由已知AA1＝AD＝AB＝2，ABCD－A1B1C1D1为正方体，
取AB的中点记为O，连接EO，FO，AB⊥平面EOF，
易知EOF－A1AD为直三棱柱，B－EOF为三棱锥，
所以VEOF－A1AD＝eq \f(1,2)×2×2×1＝2，VB－EOF＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×2))×1＝eq \f(2,3)，
几何体AA1DFBE的体积V＝VEOF－A1AD＋VB－EOF＝2＋eq \f(2,3)＝2eq \f(2,3).
3．(2021·四川乐山调研)如图，边长为4的正方体ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′.
(1)求证：A′D⊥EF；
(2)求三棱锥A′－EBF的体积．
[解析] (1)证明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，
∴A′D⊥平面A′EF，且EF⊆平面A′EF，
∴A′D⊥EF.
(2)解法一：设点A′到面EFD的距离为h，
∵VA′－EFD＝VD－A′EF，
∴eq \f(1,3)·h·S△EFD＝eq \f(1,3)·A′D·S△A′EF，
即h＝eq \f(A′D·S△A′EF,S△EFD)＝eq \f(4×\f(1,2)×2\r(2)×\r(2),\f(1,2)×2\r(2)×3\r(2))＝eq \f(4,3)，
∴VA′－EFB＝eq \f(1,3)·h·S△EBF＝eq \f(1,3)×eq \f(4,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝eq \f(8,9).
解法二：eq \f(VA′EBF,VA′－EFD)＝eq \f(S△BEF,S△EFD)＝eq \f(1,3)，
∴VA′－EBF＝eq \f(1,3)VA′－EFD＝eq \f(1,3)VD－A′EF＝eq \f(8,9).
4．(2020·河北武邑)如图，在四棱锥V－ABCD中，底面是边长为2的正方形，其余四个侧面都是侧棱长为eq \r(5)的等腰三角形，E为AB的中点．
(1)在侧棱VC上找一点F，使BF∥平面VDE，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥E－BDF的体积．
[解析] (1)F为VC的中点．
取CD的中点H，连接BH，HF.
∵四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，
∴BE綊DH.
∴四边形BEDH为平行四边形，∴BH∥DE.
又∵F为VC的中点，H为CD的中点，
∴FH∥VD，DE∩VD＝D，BH∩FH＝H，
∴平面BHF∥平面VDE.
又BF⊂平面BHF，∴BF∥平面VDE.
(2)∵F为VC的中点，S△BDE＝eq \f(1,4)S 正方形ABCD，
∴VE－BDF＝VF－BDE＝eq \f(1,8)VV－ABCD.
由条件可知V－ABCD为正四棱锥．
∴V在平面ABCD内的射影为BD的中点O.
∵VB＝eq \r(5)，BO＝eq \r(2)，∴VO＝eq \r(3).
∴VV－ABCD＝eq \f(1,3)×22×eq \r(3)＝eq \f(4\r(3),3)，
∴VE－BDF＝eq \f(\r(3),6).
5．(2021·百师联盟联考)四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为1的等边三角形，DC⊥BC，且DC长为eq \r(3)，设DC中点为M，B关于M的对称点为E，且F，G分别为CE，AD的中点．
(1)证明：平面FGM⊥平面BCD；
(2)求四面体BGMF的体积．
[解析] (1)证明：因为平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊥BC，
所以CD⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥AC，CD⊥BC，
又G，M分别为AD，CD的中点，
所以GM∥AC，所以GM⊥CD，
同理可得MF⊥CD，
因为MF∩GM＝M，所以CD⊥平面GMF，
因为CD⊂平面BCD，
所以平面BCD⊥平面FGM.
(2)由(1)可知，MF∥BC，
因为BC⊄平面GMF，MF⊂平面GMF，
所以BC∥平面GMF，
故B到平面GMF的距离，即为C到平面GMF的距离，
由(1)可知CM＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(\r(3),2)，
即为C到平面GMF的距离，
取BD的中点N，则F，M，N三点共线，连接GN，
MN＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)，GN＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)，GM＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，
所以S△GMN＝eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(\r(3),16)，
因为M为FN中点，
所以S△GMF＝S△GMN＝eq \f(\r(3),16)，
故VB－GMF＝eq \f(1,3)·S△GMF·CM＝eq \f(1,32).
6．(2021·安徽黄山质检)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求点A1到平面AB1D的距离．
[解析] (1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，
由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B的中点，
∵D是BC的中点，∴DE∥A1C，
又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，
又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，
又∵B1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，
且AD＝2eq \r(3)，B1D＝2eq \r(5).
同理可得，过D作DG⊥AB，则DG⊥面ABB1A1，
且DG＝eq \r(3).
设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：
VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即
eq \f(1,3)·eq \f(1,2)·AD·DB1·h＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)·AA1·A1B1·DG，
即2eq \r(3)×2eq \r(5)·h＝4×4×eq \r(3)，∴h＝eq \f(4\r(5),5).
即点A1到平面AB1D的距离为eq \f(4\r(5),5).
(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解．)
7．(2020·河北省级示范性高中联考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D为BC边上一点，BD＝eq \r(3)，AA1＝AB＝2AD＝2.
(1)证明：平面ADB1⊥平面BB1C1C；
(2)若BD＝CD，试问：A1C是否与平面ADB1平行？若平行，求三棱锥A－A1B1D的体积；若不平行，请说明理由．
[解析] (1)证明：因为AA1⊥平面ABC，
所以BB1⊥平面ABC，
因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.
由BD＝eq \r(3)，AB＝2，AD＝1，
则AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BC，
又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BB1C1C，
因为AD⊂平面ADB1，
所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．
(2)A1C与平面ADB1平行．
证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，
因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，
所以四边形ADEA1为平行四边形，
则A1E∥AD.
同理可证CE∥B1D.
因为A1E∩CE＝E，
所以平面ADB1∥平面A1CE，
又A1C⊂平面A1CE，
所以A1C∥平面ADB1，
因为AA1∥BB1，
所以VB1－AA1D＝VB－AA1D，
又BD＝eq \r(3)，且易证BD⊥平面AA1D，
所以VA－A1B1D＝VB1－AA1D＝VB－AA1D＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(1,2)×2×1＝eq \f(\r(3),3).
8. (2021·河南周口、商丘联考)如图所示，四面体ABCD的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，且AB是下底面圆的直径，BC是圆柱的母线．
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AB＝BC，异面直线AB与CD所成的角为30°，且圆柱的侧面积为4π，求四面体ABCD的体积．
[解析] 如图，过点D作圆柱的母线DE，连接AE，BE.
因为母线DE与底面垂直，
所以DE⊥BE，
因为AB是底面圆的直径，
所以AE⊥BE，
又AE∩DE＝E，所以BE⊥平面AED，
由DE∥BC且DE＝BC，可知CD∥BE，
所以CD⊥平面AED，
又AD⊂平面AED，所以AD⊥CD.
(2)圆柱侧面积为π·AB·BC＝4π，
所以AB＝BC＝2.
因为异面直线AB和CD所成的角为30°，
所以∠ABE＝30°，所以AE＝1，BE＝eq \r(3).
因为DE∥BC，所以D点与E点到平面ABC的距离相等，
因为BC⊥平面ABE，所以平面ABC⊥平面ABE，
点E到平面ABC的距离转化为点E到AB的距离．
在Rt△ABE中，可得点E到AB的距离为
d＝eq \f(1×\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
VABCD＝eq \f(1,3)dS△ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)×2×2＝eq \f(\r(3),3).