专题11 双变量方程类存在性或任意性问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题11   双变量方程类存在性或任意性问题

【方法点拨】

解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．

若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：

①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；

② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.

【典型题示例】

例1   已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（      ）

A 4          B.            C.         D.

【答案】A

【解析】，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A.

例2   已知函数 ，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】当时，单调递减，；

当时，成立，单调递增，，

所以的值域为．

设的值域为，因为存在，使得成立，

所以．，．

①，任意，成立，在单调递增，

所以，，．

因为，所以，；

②，任意，成立，在单调递减，

所以，，，

则，不合题意；

③，令，，

在递减，递增，

所以，，．

又，，则，不合题意．

综上所述，．

点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.

例3   已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________．

【答案】 [－5，－2]　

【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得．

【解析】x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3]，

因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]，

函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]．

因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，

所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域的子集，

所以，解得，即实数m的取值范围是[－5，－2]．

点评：

考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.

例4    已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2．若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．

【答案】(－2,0)

【解析】当x≤－时，f(x)＝1＋＜1，

此时f(x)＝1＋＝1＋－在上单调递减，易求得f(x)∈[－7,1)；

当x＞－时，f(x)＝log，

此时f(x)在上单调递减，易求得f(x)∈(－∞，2)，∴f(x)的值域为(－∞，2)．

故存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0⇒－g(b)＝f(a)∈(－∞，2)⇒b2＋2b＋2＜2⇒b∈(－2,0)．

例5    已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对任意，则，即函数的值域为，

若对任意，总存在，使，

设函数的值域为A，则满足，即可，

当时，函数为减函数，则此时，

当时，，

①当时，（红色曲线），即时，满足条件，

②当时，此时，要使成立，则此时，

此时满足（蓝色曲线），即，得，

综上或，故选：C．

【巩固训练】

1.已知函数f(x)＝3x2＋2x－a2－2a，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是           ．

2.已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈及x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．

3.已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a ，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2) ，求实数a的取值范围.

4.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．

(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为__________；

(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为__________．

5.已知函数，，若存在实数，使得 成立，则实数的取值范围是                  。

6.已知函数f(x)=，g(x)= −x2−2x−2，若存在a∈R，使得f(a)+g(b)=0，则实数b的取值范围是_______________.

7.若，总使得成立，则实数的取值范围是            .

【答案与提示】

1.【答案】[－2,0]

【解析】f(x)＝3x2＋2x－a(a＋2)，则f′(x)＝6x＋2，由f′(x)＝0得x＝－.

当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，

所以[f(x)]min＝f＝－a2－2a－.

又由题意可知，f(x)的值域是的子集，

所以

解得实数a的取值范围是[－2,0]．

2.【答案】

【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分．

先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.

3.【答案】[－4,ln3]

【解析】f(x)值域A=[0，4]，g(x)值域B=[－a，ln3－a]，

由存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2) 知：A∩B≠

正难则反，先求出A∩B＝时，a的取值范围

由A∩B＝得：4<－a或ln3－a<0，解之得：a＜－4或a＞ln3，

故A∩B≠时，－4≤a≤ln3，

所以a的取值范围是[－4,ln3].

4.【答案】(1)[3，＋∞)　(2)(1，]

【解析】(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．　

(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则解得a∈(1，]．

5.【答案】

6.【答案】（－2,0）

7. 【答案】（－∞,1）