专题30 定线段张定角-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题30   定线段张定角

【方法点拨】

当已知中出现三角形一边及其对角均为定值，即“定线段张定角”时，应考虑其中的隐圆.

【典型题示例】

例1   （2021·江苏金陵中学期末·22改编）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a＝3bcosC＋csinB，若点M为AC中点，且b＝，则中线BM的最大值是               ．

【答案】

【分析】易求得B＝，问题转化为在一三角形中，已知一边及其对角，求这边上中线的最大值.可以使用中线长定理、基本不等式解决（解析一），作为填空题，利用隐圆，当中线就是该边上的高时最大则更简捷.

【解析一】由射影定理得3(bcosC＋ccosB)＝3bcosC＋csinB，

化简得3ccosB=csinB，又因为sinB≠0，所以tanB＝，

B∈(0，π)，所以B＝．

在△ABM和△BCM中，由余弦定理得:

c2＝BM2＋－2·BMcos∠BMA，a2＝BM2＋－2·BMcos∠BMC

两式相加得BM2＝－．

又由余弦定理a2＋c2－3＝ac≤，所以(a2＋c2)≤3，

即a2＋c2≤6，BM2≤，

所以BM最大值为，当且仅当a＝c＝时等号成立．

【解析二】由射影定理得3(bcosC＋ccosB)＝3bcosC＋csinB，

化简得3ccosB=csinB，又因为sinB≠0，所以tanB＝，

B∈(0，π)，所以B＝．

在△ABC中，b＝，B＝，故点B的轨迹是以AC＝为弦，所对角B＝的弧

由平面几何知识得，当AC边上的中线BM就是AC边上的高，即当且仅当a＝c＝时，BM最大值为.

例2   设向量满足，，，则的最大值等于（     ）

A．        B．           C．           D．

【答案】D

【分析】向量是自由向量，故可将其移至同一起点考虑. 由，易知，且其终点间选段长为，由知向量的终点与的终点连线“定线段张定角”，其轨迹是圆弧.

【解析】由,得

如下左图,设,，

则，

故点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段弧（端点除外），该圆的半径为1

如上右图，当过圆心，即为直径时，最大，此时

所以的最大值等于，故选D.

例3    已知三个内角的对应边分别为，且，，当取得最大值时，的值为__________．

【答案】

【分析】发现隐圆后，问题的难点在于如何对取得最大值作转化，这里，直接使用数量积的定义.由于，故当最大，即在方向上的投影最大时，取得最大值，从“形”上看，此时过点C的圆的切线与AB垂直.

【解析】  如图所示，

在直径为的圆中，弦固定，点在圆上运动，满足题中的，结合数量积的定义可得，当点位于图中的位置时， 取到最大值，

此时，，

故，所以．

【巩固训练】

1.在中，点M是边中点，，，则的最大值为       ．

2.在中，已知，，则面积的最大值为       ．

3.在中，，，点G为的重心，点O为的外心，则的最小值为       ．

4.在中，，，点D在边上，且，则的最大值为       ．

5. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围是        .

6. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，若，则的取值范围是        .

7.（2021·江苏徐州期末·21改编）在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a sinC＝ccos A，且a＝，则b2＋c2的取值范围是               ．

【答案与提示】

1.【答案】

【提示】同例1，是高时最大.

2.【答案】2

【提示】是等腰三角形时面积最大.

3.【答案】

【提示】求得，以中点为坐标原点建系，求得点G的的轨迹为圆.

4.【答案】

【分析】发现隐圆，利用平几知识、余弦定理求出最大值.

【解析】∵，

∴根据正弦定理，外接圆的直径，如图，当过圆心时最大.

    连结OB，在△OBD中，∠OBD=300，由余弦定理得：

    所以即为所求最大值.

5.【答案】

【解析】根据正弦定理，可化为

整理得：

由余弦定理得，

由正弦定理得（其中为△ABC外接圆半径）

如图，下同例2，求出临界值.

6.【答案】.

【提示】因为，得

求出临界状态的值立得.

7.【答案】

【分析】易求得，点A的轨迹是以BC＝为弦，所对角A＝的弧，在点A的运动过程中，b2＋c2先增后减，故当b＝c时，达到最大值，而下界是三角形ABC是直角三角形，即AC（或AC）为直径.

【解析】由及正弦定理得

因为为锐角，所以，所以

因为为锐角，所以，所以所以.

点A的轨迹是以BC＝为弦，所对角A＝的弧，

在点A的运动过程中，b2＋c2先增后减，

故当b＝c时，b2＋c2取得最大值，此时，

又因为ABC为锐角三角形，当AC（或AC）为直径时，

所以的取值范围为