专题31 对数单身狗、指数找朋友-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题31  对数单身狗、指数找朋友

【方法点拨】

      对数单身狗，指数找朋友：

①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.

由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.

②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”.

由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.

【典型题示例】

例1    已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，则a的取值范围是      .

【答案】

【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.

【解析】等价于.

设函数，则

.

（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.

（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.

（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.

由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.

综上，a的取值范围是.

点评：

解决形如f(x)ex＋g(x)常见结论ex≥x＋1（有时甚至ex≥x＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．

例2   若不等式对所有都成立，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【解析】原问题等价于对所有都成立，

 令， ，则．

（1）当时，恒成立，即在上单调递增，因而恒成立；

（2）当时，令，则 ， 在上单调递减，在上单调递增，，不合题意．

综上所述，实数的取值范围是．

点评：

上述解法优势在于，将lnx的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．

【巩固训练】

1.已知ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞)成立，则实数a的取值范围是________．

2.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时,f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．

3.已知对任意的，则实数的取值范围是           .

4. 已知关于的方程在上有且只有一个实数根，则实数的取值范围是           .

5. 已知的零点不少于两个，则实数的取值范围是           .

6. 已知有两个零点，则实数的取值范围是           .

7. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围是       ．

【答案与提示】

1.【答案】 (－∞,1]

【解析】根据常用不等式ex≥x＋1,且y＝x＋1与y＝ex相切于(0,1),又y＝ax＋1也过点(0,1),观察图象可知,要使ex≥1＋ax对任意x∈[0,＋∞)成立,则a≤1,即实数a的取值范围为(－∞,1].

2.【答案】

【解析一】 由f′(x)＝ex－1－2ax,又ex≥x＋1,所以f′(x)＝ex－1－2ax≥x－2ax＝(1－2a)x,

所以当1－2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)＝0,于是当x≥0时,f(x)≥0,满足题意；又x≠0时,ex＞x＋1,所以可得e－x＞1－x,从而当a＞时,f′(x)＝ex－1－2ax≤ex－ex·e－x＋2a(e－x－1)＝(1－e－x)·(ex－2a),故当x∈(0,ln2a)时,f′(x)＜0,而f(0)＝0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)＜0,不合题意．

综上所述,实数a的取值范围为.

【解析二】因为ex≥x＋1,所以当a≤0时,ex≥ax2＋x＋1恒成立,故只需讨论a＞0的情形．令F(x)＝e－x(1＋x＋ax2)－1,问题等价于F(x)≤0,由F′(x)＝e－x[－ax2＋(2a－1)x]＝0得x1＝0,x2＝.

②     当0＜a≤时,F(x)在[0,＋∞)上单调递减,所以F(x)≤F(0)＝0恒成立；

②当a＞时,因为F(x)在[0,x2]上单调递增,所以F(x2)≥F(0)＝0恒成立,此时F(x)≤0不恒成立．综上所述,实数a的取值范围是.

3.【答案】

【提示】

设，则

分类讨论，将导函数的零点、定义域的端点比较，分、、、四种情况.

4.【答案】

5.【答案】

【提示】

6.【答案】

【提示】

7.【答案】

【解析】原不等式等价于，

则，

        令，得，．

（1）当时，即时，对 ，，在上单调递增，所以，满足题意；

（2）当时，即时，对， ，在上单调递减，所以，不合题意；     

综上所述，实数的取值范围是．