专题32 关于指对的两个重要不等式-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题32   关于指对的两个重要不等式

【方法点拨】

1．重要不等式：

(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．

(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．

2．树立一个转化的意识，即“等”与“不等”间的互化，运用“两边夹逼”的方法，将不等式转化为等式，关注等号成立的条件.

【典型题示例】

例1                 若实数满足，则（      ）

A.                          B.

C.                               D.

【答案】A

【分析】思路一：据果变形，直接使用重要不等式，两边夹逼将不等式转化为等式.

思路二：一边一个变量，构造两个函数，分别求出其最值，夹逼将不等式转化为等式.

【解析一】∵

∴

易知，当且仅当x=1时，“=”成立

∴，当且仅当，时，“=”成立

根据不等式性质有

所以

此时必有，（下略）.

【解析二】∵

∴

令，

利用导数知识易求得，

所以，即

故，此时，（下略）.

例2     已知都是正数，，，则的最大值是       ．

【答案】

【分析】由，换元令，则，考虑“形”， 恒成立，夹逼得，同理处置，最后使用基本不等式求解.

【解析】，令，则

事实上（当且仅当时，“=”成立），故；

，令，   则

事实上（当且仅当时，“=”成立），故；

所以，（当且仅当，时，“=”成立）

故的最大值是．

例3     已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】因为，当且仅当时，“=”成立

所以不等式恒成立转化为对任意的恒成立，解之得.

【巩固训练】

1.已知正实数满足，则       ．

2.己知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是         .

3.若对于任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是       ．

4. 己知实数a，b满足（e为自然对数的底数），则a+2b=         .

【答案与提示】

1.【答案】

【解析】

当且仅当，，即，时，“=”成立，此时．

2.【答案】

【分析】将已知变形为[(，联系重要不等式，夹逼得.

【解析】∵  ∴，

所以

又∵    ∴

当且仅当时成立

∴，所以.

3.【答案】

【提示】由，得

，所以.

4. 【答案】1

【提示】由，得

,而

故，此时，，所以.