专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

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1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.
2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题. 一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n.
【典型题示例】
例1 设函数f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
【答案】2
【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2.
【解析】 显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，
设g(x)＝eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2
答案：2.
点评:
1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧.
2. 发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.
例2 已知函数，，则________．
【答案】
【解析】因为
所以,故答案为：.
例3 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 .
【答案】4039
【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.
【解析】
设
则
所以的图象关于点对称
所以的图象关于点对称
故的值为4039..
【巩固训练】
1.已知函数f(x)＝ln(eq \r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg 2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,2)))＝( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
2．已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于（ ）
A．B．C．D．
3.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.已知函数在区间的值域为，则的值为_______.
5. 已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.
【答案与提示】
1.【答案】 D
【解析】 令g(x)＝ln(eq \r(1＋9x2)－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(eq \r(1＋9x2)＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(eq \r(1＋9x2)－3x)＋ln(eq \r(1＋9x2)＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln 1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.
又lg eq \f(1,2)＝－lg 2，所以g(lg 2)＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,2)))＝0，
所以f(lg 2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,2)))＝g(lg 2)＋1＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,2)))＋1＝2.
2． 【解析】根据题意，设，，
有，
即函数为奇函数，其图象关于原点对称，则，
则有，变形可得，所以，当时，函数的最大值与最小值之和等于.故选：C．
3.【解析】，
令，即,
而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C
4.【答案】2
【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.
【解析】因为
设，则为定义在上的单调递增函数
所以在区间单增，且关于点（0,1）对称
所以=2.
5. 【答案】2
【解析】.
令
,且, 为奇函数,
设其最大值为,则其最小值为,
∴函数的最大值为,最小值为
, .故答案为:.