专题41 有关圆幂定理型压轴题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题41   有关圆幂定理型压轴题

【方法点拨】

1.相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则.

2. 切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则（）; 3.割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则.

说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.

【典型题示例】

例1    如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________．

【答案】

【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理.

【解法一】由中线长公式可得，则

，则

在中，，即

所以（当且仅当时取等）

【解法二】∵BT⊥ AP，∴点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1，

过点P作该圆的切线PC，C为切点，则PC=，由切割线定理得：

所以（当且仅当时取等）.

点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.

例2   在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，A为⊙C与x负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M. 若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．

【答案】2

【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CM⊥AB，故∠CMA+∠AOC=180o，所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.

【解析】连结C、M，则CM⊥AB，

在四边形AOCM中，∠CMA+∠AOC=180o，故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径.

x2＋(y－1)2＝5中，令y=0，得x＝±2，A（－2，0），AC=即为△AOM外接圆的直径，

在△AOM中，由正弦定理得：，而OA＝OM=2，

所以，所以tanA=2.

故直线AB的斜率为2．

例3     在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为              ．

【答案】y＝x－1

【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.

【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)．

由＝2，设BM＝2t，MA＝t.

如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝.

设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5.

在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝，

则d2＝＝，解得k＝1或k＝－1.

因为点A在第一象限，  ＝2，由图知k＝1，

所以所求的直线l的方程为y＝x－1.

【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t

      又过点M的直径被M分成两段长为、

      由相交弦定理得，解之得

  过原点O作OH⊥l于点H，

在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，解得d2＝，（下同解法一，略）.

【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．

因为＝2，所以

当直线AB的斜率不存在时，＝，不符合题意．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，

联立得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则

解得所以y1·y2＝＝，即k2＝1.又点A在第一象限，

所以k＝1，即直线AB的方程为y＝x－1.

【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．

因为＝2，所以即

又代入可得解得x1＝2，代入可得y1＝±1.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y＝x－1.

点评：

上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.

【巩固训练】

1. 在平面直角坐标系中，是直线上的动点，以为圆心的圆，若圆 截轴所得的弦长恒为4，过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为         .

2.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D．若AB＝OD，则直线l1的斜率为       ．

3. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则          ．

4.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为              ．

5.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是            ．

6.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为            .

【答案与提示】

1.【答案】

2.【答案】

【解析一】作CE⊥AB于点E，则

         ，

      由OECD是矩形，知CE2＝OD2，∴，化简得，

      即cos∠OCD＝＝，tan∠COB＝tan∠OCD＝，

      ∴直线l1的斜率为．

【解析二】作CE⊥AB于点E，则OECD是矩形

设OD＝t(t >0)，则由切割线定理OD2＝OA ×OB得，即（※）

又，将（※）代人得，即

，

∴直线l1的斜率为．

3.【答案】:

【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.

，

即，整理化简得.

过点作的垂线交于，

则，得.

又圆心到直线的距离，所以，.

【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.

由，即

得三点共线（其中是的中点），且，

设，

思路一：垂径定理后二次解三角形，，解之得.

思路二：相交弦定理，，解之得.

4.【答案】

5.【答案】

【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.

6.【答案】