专题44 数列的性质-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题44   数列的性质

【方法点拨】

1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；

2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.

【典型题示例】

例1   若不等式＋＋…＋>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为________．

【答案】8

【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式＋＋…＋的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解．

【解析】令f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，

对任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝＋＋－＝>0，

所以f(n)在N*上是增函数．

又f(1)＝，对一切正整数n，f(n)>a－7都成立的充要条件是>a－7，

所以a<，故所求正整数a的最大值是8.

点评：

本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通.

例2     已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为,满足：，（）．若对一切恒成立，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】已知条件中含“项、和”，需抓住特征，实施消和.

【解析】∵  ，

∴

则，，

相加，得

则

上式对也成立，

∴．　③

∴．　④

④－③，得

即

∵，∴ .

∵对一切恒成立，

∴对一切恒成立．

即对一切恒成立．

记,则

当时，；

当时，

∴ 是中的最大项．

综上所述，的取值范围是.

【巩固训练】

1.已知数列中，则在数列则数列的前50项中最小项为     第      项，最大项为第____项.

2.等比数列的首项，公比，设，则中第______项最大.

3.已知，则在数列的最大项为第______项.

4. 若不等式＋＋…＋>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为________．

5.数列若对任意恒成立，则正整数m的最小值为             .

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是

A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)

7．已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

8．已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（    ）.

A． B． C． D．

9．已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列满足，，若，使得成立，则实数的取值范围是（    ）   

A． B． C． D．

【答案与提示】

1.【答案】8、9 

【提示】，类比一次分式函数性质.

2.【答案】10

【提示】，，令

解得.

3.【答案】 4、5

【提示】，利用对勾函数性质.

4.【答案】8

【分析】　要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式＋＋…＋的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解．

【解析】令f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，

对任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝＋＋－

＝>0，

所以f(n)在N*上是增函数．

又f(1)＝，对一切正整数n，f(n)>a－7都成立的充要条件是>a－7，

所以a<，故所求正整数a的最大值是8.

5.【答案】10

【提示】得，，，，仿上题求最大值.

6.【答案】A

【解析】，，

因为单调递减，所以，

所以，且，

所以只需，，且，

所以，故选A．

7.【答案】C

【解析】当时，，即，得；

当时，由，得，两式相减得，得，，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，.，

由，得，

所以，数列单调递增，其最小项为，所以，，

因此，实数的取值范围是，故选C．

8.【答案】C

【解析】因为,

所以,

所以,

当且仅当取“=”.

又因为.

当时,.

当时,.

所以数列中的最小项为.故选：C.

9.【答案】B

【解析】，

又在区间上单调递增，

，实数的取值范围，故选：．

10.【答案】D

【解析】∵,∴,

记,则是以,的等比数列,

∴,∴,

∵,,

等价于，，即

令,则

∴时,;时,.

∴,∴.

∴,∴实数的取值范围为,故选：D.