专题47 利用拆凑法求不等式的最值-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题47   利用拆凑法求不等式的最值

【方法点拨】

1. 已知的一边是二次齐次可分解，另一边是常数，可考虑换元法；
2. 例2、例3中使用了拆凑用以“凑形”，其目的在于一次使用基本不等式，能实现约分或倍数关系.

【典型题示例】

例1   （2021·江苏省泰州中学九月测 ·16）若实数，满足，则的最大值为______．

【答案】

【解析】因为，，

，设，，

故原问题可转化为“已知，求的最大值”．

又因为，

所以的最大值为，当且仅当时取等号．

故答案为：．

例2   已知，则的最大值是________

【答案】

【分析】本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以.

点评：

本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）．所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的．

例3    若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．

【分析】

思路1：注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．本题中可直接由已知解得y，代人所求消去y；也可将直接使用“1”的代换，将所求转化为关于x，y的二次齐次分式.

思路2：由所求的结论为x2＋y2，想到将条件应用基本不等式构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来即可．

【解析一】从结论出发，注意到已知中不含“y2”项，故拆“x2”项的系数

设x2＋y2=tx2－tx2＋y2=tx2－tx2＋y2]≥tx2 xy(0<t<1)     ※

则t:，解之得：t

代人※得：x2＋y2≥x2xy)=

∴x2＋y2的最小值是．

【解析二】从已知出发，注意到结论中不含“xy”项，故拆“xy” 项的系数

设x2＋2xy＝x2＋2(tx)( y)≤x2＋[(tx)2+( y) 2]= (1+t2)x2+ y 2

则(1+t2):=1:1(下略).

【巩固训练】

1.已知，则的最小值为          ．

2.已知正实数x，y满足x2＋xy－2y2＝1，则5x－2y的最小值为________．

3.已知，则的最小值为            .

4.当是正实数时,的最大值是      ．

【答案与提示】

1,【答案】

【解析】注意到分母中因式均含c，故需拆分子含“c2” 项的系数

设

故，解之得：t，所以

当且仅当，即时，等号成立.

则，当且仅当时，等号成立.

2.【答案】4

【解析】：将已知条件左边分解因式得x2＋xy－2y2=( x－y) ( x+2y)=1

因为x，y是正实数，且( x－y) ( x+2y)=1>0，所以x－y >0 ， x+2y>0

设5x－2y=a( x－y)+b ( x+2y)，则a=4，b =1，所以5x－2y=4( x－y)+ ( x+2y)

由基本不等式得.

3.【答案】

【解析一】.

【解析二】，设，.

则满足等式的x,y存在，去分母后配方得： ，故，解得.

4.【答案】

【解法一】

【解法二】设

所以,即

故,解之得.

【解法三】令 ,

.