初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教案设计

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第一节： 一元二次方程的概念及解法
知识结构导图

高频核心考点
知识点一：一元二次方程的概念
1、只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
(1)一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数(一元)；③未知数的最高次数是2(二次)。 注意：二次项系数a≠0
(2)所谓整式方程就是指方程等号的两边都是整式，通俗地说，就是方程的等号两边是单项式或多项式.
2、一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
例1、判断下列方程是否是一元二次方程：
(1)x2－4x－2＝0； (2) ＝1；(3)2x2－xy－1＝0； (4)2x(3x－5)＝6x2＋2；
(5)3y2＋4y－6＝0； (6)x3－2x2＋5＝0.
解析：用一元二次方程的三个必须具备的条件检验.
解：(1)(5)是一元二次方程；(2)(3)(4)和(6)不是一元二次方程.
知识巩固：
（1）下列方程中，是一元二次方程的是( )
x2＋2x＋y＝0 B. x2＋ －1＝0 C. x2＝0 D. ax2＋bx＋c
（2）方程(2a－4)x2 －2bx＋a＝0， 在什么条件下为一元二次方程？在什么条件下为一元一次方程?
例2、把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)3x2＝5x－3；(2)－2x2＋2x＝x＋1.
解析 经过移项、合并同类项，可以把一元二次方程化为一般形式；指明项的系数时一定要带上正负符号。
解：(1)一般形式：3x2－5x＋3＝0，a＝3，b＝－5，c＝3；
(2)一般形式：2x2－x＋1＝0，a＝2，b＝－1，c＝1.
例3、已知x＝3是ax2－2x-12＝0的根，求a的值.
解析：x＝3是方程的根，由一元二次方程定义得x＝3可使方程等式成立，将x＝3代入方程即可求出a。
解∵x＝3是方程ax2－2x-12＝0的根，
将之代入方程，得a×9－2×3-12＝0，
解得a＝2.
知识巩固：
（1）把x2－5＝－4x化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a＞0)后，a，b，c的值分别为( )
A. 0，－4，－5 B. 1，－4,5 C. 1,4，－5 D. 1，－4，－5
（2）一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
知识点二：一元二次方程的解法
用直接开平方法解一元二次方程：
凡是符合x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程均可用直接开平方法来解.
注意：(1)化为ax2＝c(a≠0)的一元二次方程有解的条件是c＝0或a，c同号，否则无解；(2)化为(ax＋b)2＝c(a≠0)的一元二次方程有解的条件是c＝0或c是正数，否则无解。
例4、x2＝4
解：x=
知识巩固：
（1）2x=4 （2）x2－12x＋36＝3
配方法 ：
（1）配方法的定义：把一元二次方程的左边化成一个完全平方式，右边变成一个非负数，
直接开平方的方法来求方程的解，这种方法称为配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤：
①化：把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
②移项：把常数项移到方程的右边；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④变形：方程左边配方，右边合并同类项；
⑤开方：根据平方根意义，方程两边开平方；
⑥求解：解一元一次方程；⑦定解：写出原方程的解.
注意：(1)配方的目的是为了降次，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程.
(2)配方法关键一步是配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，千万不要忘了在右边也加上一次项系数一半的平方。
例5、x2＋6x＋5＝0；
解：移项，得x2＋6x＝－5，配方，得x2＋6x＋9＝－5＋9，即(x＋3)2＝4，
由此可得x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5.
知识巩固：
（1）用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )
A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36
C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9
（2）用配方法解
公式法：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 一些较为复杂的一元二次方程，可按下列步骤求解：
(1)把一元二次方程转化为一般形式(最好是化成整系数方程)；
(2)确定a，b，c的值；
(3)求出b－4ac的值；
注：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是
例6、2x2－4x－1＝0
解：这里a＝2，b＝－4，c＝－1，
∵Δ＝16＋8＝24，∴
∴
知识巩固：
用公式法解方程
(1)5x(3x＋2)＝6x＋4 (2)
因式分解法：
形如x2＋bx＝0的方程，可以用提取公因式法将方程的左边分解成x(x＋b)的形式，从而将原方程转化为x(x＋b)＝0，这样可得原方程的解为x1＝0，x2＝－b.
例7、解方程：x2－2x＝0
解：因式分解，得x(x－2)＝0.于是得x＝0，或 x－2＝0， ∴x1＝0，x2＝2.
知识巩固：
（2）
方法技巧提炼
四种解法的特点：
因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常见的方法。
公式法:适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值。
直接开方法：适用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解。
配方法:配方法是解一元二次方程的基本方法，公式法是由配方法演绎的得到的。先把一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用配方法转化为，之后再用直接开方法就可得到方程的解。
出门考：
日期：_______ 姓名：
1．方程(a－2)x2－2＋3x＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为________．
2.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为( )
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
5．解下列一元二次方程：
(1)(2x＋3)2－81＝0； Z# (2)x2－6x－2＝0；
(3)5x(3x＋2)＝6x＋4.
课后作业
已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为________．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）；
A、 B、 C、 D、
3．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（ ）．
A、x2+x－10=0 B、x2－x－6=4 C、x2－x－10=0 D、x2－x－6=0
4．一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ ）
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
5．方程是关于x的一元二次方程，则( )
A. m=±2 B. m=2 C. m= －2 D. m≠±2
6．用合适的方法解方程：
（1） （2）
（3）x2－2x=0 （4）
7.先阅读下列知识，然后解答下面两个问题：
含有一个未知数，并且未知数的最高次指数是2的方程，叫做一元二次方程，如：.
我们把它的一般形式记作：(a、b、c表示已知量，是未知数，a≠0)，它的解的情况是：
① 当时，方程有两个不相等的解；② 当时，方程有两个相等的解（即一个解）；③ 当时，方程没有解； （1）一元二次方程有几个解？为什么？
（2）当取何值时，关于的一元二次方程没有解？
8．阅读下列例题的解答过程：
解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.
解：设x－2＝y，则原方程化为：3y2＋7y＋4＝0.
∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1.
∴y＝eq \f(－7±\r(1),2×3)＝eq \f(－7±1,6).∴y1＝－1，y2＝－eq \f(4,3).
当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1；
当y＝－eq \f(4,3)时，x－2＝－eq \f(4,3)，∴x＝eq \f(2,3).
∴原方程的解为：x1＝1，x2＝eq \f(2,3).
请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x－3)2－5(x－3)－7＝0.