人教版九年级数学（上）第一次月考数学试卷（含解析）【1】

这是一份人教版九年级数学（上）第一次月考数学试卷（含解析）【1】，共19页。试卷主要包含了选择题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x﹣4）＝0B．x2+y﹣3＝0C．+x＝2D．x3﹣3x+8＝0
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3
3．（3分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x2+x1﹣x1x2＝1，则m的值为（ ）
A．﹣1B．2C．3D．4
4．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＜1C．m≥1D．m≤1
6．（3分）抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
7．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．2D．4
8．（3分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．（3分）二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x﹣2）＝x的根是 ．
12．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 ．
13．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是 ．
14．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 ．
15．（3分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程 ．
三、计算题（共75分）
16．（8分）解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
17．（9分）试用配方法说明﹣10x2+7x﹣4的值恒小于0．
18．（9分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
19．（9分）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
20．（9分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
21．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
22．（10分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
23．（11分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．
（1）该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，若以△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
九年级（上）第一次月考数学试卷【1】
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x﹣4）＝0B．x2+y﹣3＝0C．+x＝2D．x3﹣3x+8＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3
【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x＝6，
配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x2+x1﹣x1x2＝1，则m的值为（ ）
A．﹣1B．2C．3D．4
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝m，从而得到4﹣m＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x2+x1﹣x1x2＝1，
∴4﹣m＝1，解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＜1C．m≥1D．m≤1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，
解得m≥1，
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．
6．（3分）抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2的图象经过坐标原点，且开口方向向下，
∴一定经过第三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象，是基础题，需熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．2D．4
【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
8．（3分）若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，推出m＜0，可知二次函数y＝mx2+m的图象的开口向下，与y则交于负半轴上，由此即可判断．
【解答】解：∵y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴m＜0，
∴二次函数y＝mx2+m的图象的开口向下，与y则交于负半轴上，
故选：A．
【点评】本题参考二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质，属于中考常考题型．
9．（3分）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限．
【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）方程x（x﹣2）＝x的根是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】观察原方程，可先移项，然后用因式分解法求解．
【解答】解：原方程可化为x（x﹣2）﹣x＝0，
x（x﹣2﹣1）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
12．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 16 ．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是 有两个不相等的实数根 ．
【分析】先化成一般式后，再求根的判别式．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 y3＞y2＞y1 ．
【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则函数值越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝1，
∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），
∴点C距离对称轴最远，点A距离对称轴最近，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＞y2＞y1．
故答案为y3＞y2＞y1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
15．（3分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程 50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 ．
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，根据第一季度的产值为175亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，
依题意，得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、计算题（共75分）
16．（8分）解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
则x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1；
（2）整理，得：3x2+10x+10＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝10，
∴Δ＝102﹣4×3×10＝﹣20＜0，
∴此方程无实数根．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（9分）试用配方法说明﹣10x2+7x﹣4的值恒小于0．
【分析】利用配方法可把﹣10x2+7x﹣4分成一个负的完全平方式加上一个负数的形式，从而可确定此代数式必小于0．要求举的例子恒大于0，可使所举的例子能写成一个完全平方式加上一个正数的形式即可．
【解答】证明：∵﹣10x2+7x﹣4＝﹣10（x﹣）2﹣，
又﹣（x﹣）2≤0，﹣＜0，
∴﹣10（x﹣）2﹣＜0，
即：﹣10x2+7x﹣4＜0，
∴代数式﹣10x2+7x﹣4的值恒小于0．
【点评】本题主要考查完全平方公式．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．注意会正确的拆项、并会用配方法．
18．（9分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，可求出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点，进而确定k的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为y轴，点P到y轴的距离为2，可以转化为点P的横坐标为2或﹣2，求相应的y的值，确定点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，
∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；
又∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k与x轴有两个交点．
即抛物线y＝x2+3k与x轴有两个交点．
∴b2﹣4ac＞0，
即﹣12k＞0，
也就是k＜0，
又k1＝﹣3，k2＝2，
∴k＝﹣3．
此时抛物线的关系式为y＝x2﹣9，
因此k的值为﹣3．
（2）∵点P在抛物线y＝x2﹣9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝﹣5
当x＝﹣2时，y＝﹣5．
∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）
因此点P的坐标为：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．
【点评】主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，善于将线段的长转化为坐标，或将坐标转化为线段的长．
19．（9分）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为＝（5﹣x），根据“两个正方形的面积之和等于17cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2＝17，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
（x﹣4）（x﹣1）＝0，
解方程得x1＝1，x2＝4，
1×4＝4cm，20﹣4＝16cm；
或4×4＝16cm，20﹣16＝4cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∵a＝2＞0，
∴当x＝时，y的最小值＝12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（另解：由（1）可知x2+（5﹣x）2＝12，
化简后得2x2﹣10x+13＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×2×13＝﹣4＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
【点评】此题等量关系是：两个正方形的面积之和＝17cm2或12cm2．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
20．（9分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；
（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1，
所以顶点C的坐标是（2，﹣1），
当x＜2时，y随x的增大而减少；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）解方程x2﹣4x+3＝0
得：x1＝3，x2＝1，
即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），
过C作CD⊥AB于D，
∵AB＝2，CD＝1，
∴S△ABC＝AB×CD＝×2×1＝1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
21．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．
22．（10分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案；
（3）将AB＝2代入方程解得m＝，进而得出x的值．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0，Δ＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2
∵无论m取何值（m﹣1）2≥0
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC即（m﹣1）2＝0，
∴m＝1代入方程得：
∴
∴x1＝x2＝，
即菱形的边长为；
（3）解：将AB＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0，
解得：m＝，
将代入方程，x2﹣mx+﹣＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
即BC＝，
故平行四边形ABCD的周长为5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键．
23．（11分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．
（1）该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，若以△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）分别作C、A关于x轴、直线y＝3的对称点，先求出AC'，A'C的解析式，再令x＝﹣1，即可得到P的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，在y轴上取点C关于x轴的对称点C'（0，﹣4），
∵OC＝OA＝OC'，
∴∠CAC'＝45°+45°＝90°，
连接AC'交直线l与P，P即为所求，
设直线AC'：y＝kx﹣3，
代入A（﹣3，0），得：0＝﹣3k﹣3，
解得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴直线l为：x＝﹣1，
∴令x＝﹣1，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴P（﹣1，﹣2）；
如图，在直线x＝﹣4上取点A关于直线y＝3的对称点A'（﹣4，8），
同理可求P（﹣1，4），
综上，P（﹣1，4）或P（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，待定系数法求解析式、直角三角形的性质，难度不大，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．作对称点是解决此题的关键．
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日期：2021/9/26 15:42:37；用户：教师20；邮箱：zybang20@xyh.cm；学号：38915555