数学九年级上册2 矩形的性质与判定教学课件ppt

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例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
(一)矩形的性质与判定综合运用
分析：求AE的长(1)找背景：在Rt △ ADE中;
(2)搞特殊： ①勾股定理，求DE (即BD) ② ∠ADE为30°，即∠ABD=60°(△ AOB为等边三角形 )
(3)拉关系：AB=AO
解∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，AO= AC，BO= BD， ∠BAD=90°∴ AO= BO∵ED=3BE ，∴BE=OE，又∵ AE⊥BD，∴ AB=AO. ∴AB=AO=BO.∴ ∠ABD=60°∴ ∠ADB=90°- 60°= 30°∴AE= AD= ×6=3
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．(1)求证：四边形ADCE为矩形；
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；
解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：∵四边形ADCE为矩形，∴AF=CF，∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF= AB
(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
例3:如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．
(二)矩形与三角形的性质综合运用
方法总结：判定一个四边形是矩形时，要结合条件灵活选择方法．(1)如果可以证明三个角都是直角，可直接证出矩形；(2)如果只能证出一个角为直角或对角线相等，可以先证这个四边形是平行四边形，再用定义法或判定定理证明菱形．★矩形的应用常跟三角形的性质结合
例4：如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE. 求证：(1)△ADE≌△CED；(2)DE∥AC.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD.又∵AC是折痕，∴BC=CE=AD，AB=AE=CD.在△ADE与△CED中，CE=AD,AE=CD,DE=ED,∴△ADE≌△CED(SSS).
例4：如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE. 求证：(1)△ADE≌△CED；(2)DE∥AC.
(2)∵△ADE≌△CED，∴∠EDC=∠DEA.又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，∴∠OAC=∠CAB.∵∠OCA=∠CAB，∴∠OAC=∠OCA.∵∠AOC=∠DOE,即180°-2∠OAC=180°-2∠DEA，∴∠OAC=∠DEA. ∴DE∥AC.
1. 如图，要使 平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）AB=BC AO=BO ∠1=∠2 AC⊥BD
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　)A.8 cm　 B.10 cm　　 C.16 cm　　 D.24 cm
证明：(1)在 ABCD中，AB=CD，∠A=∠C. ∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB. ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=1/2∠ABD，∠CDF=1/2∠CDB. ∴∠ABE=∠CDF. ∵在△ABE和△CDF中，∠A=∠C,AB=DC,∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF（ASA）.
3.如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD. （1）求证：△ABE≌△CDF；
3.如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD. （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.
（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∴DE∥BF，DE=BF.∴四边形DFBE是平行四边形.∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°. ∴平行四边形DFBE是矩形.
证明：(1) ∵ CN∥AB∴ ∠DAC= ∠CAN, ∠ADN= ∠CND,∵ MA＝MC.∴ △AMD≌△CMN(AAS)∴ AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.　
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；
证明：∵∠AMD＝2∠MCD， ∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形.　
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(2)若∠AMD＝2∠MCD,求证：四边形ADCN是矩形．　
5.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.求D’F的长
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°， CD=AB=4， AD ∥ BC ∴ ∠AFE＝∠CEF由折叠的性质，得∴ ∠AEF＝∠CEF，AE=CE∠ D’=∠ D=90°，A D’=CD=4∴ ∠AFE =∠AEF∴AF= AE=CE设AF= AE=CE=x,则BE=8-x则Rt△ABE中，由勾股定理，得：AB2+BE2= AE2 ,即42 +(8-x)2= x2，解得：x=5∴ AF= 5, Rt△AFD’中,由勾股定理，得：FD’ 2 = 52 -42 = 32 ，FD’=3
6.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∠AFE＝∠DCEAE＝DE. ∠AEF＝∠DEC∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．
课本P9 习题1.3 第1，2，3，4题