数学九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定教学ppt课件

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轴对称图形、中心对称图形
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
平行四边形、菱形、矩形之间的关系：
思考：有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢？
下图的四边形都是特殊的平行四边形，观察这些特殊的四边形有什么共同特征？
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD，∠A=90°∴四边形ABCD是正方形
★正方形即是菱形，也是矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
正方形具有菱形和矩形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
轴对称图形中心对称图形
对角线相等互相垂直平分
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等.（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90°, AB=AD 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∠A=90°, AB=AD. ∴四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是菱形 ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°, AB=AD ，对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=CO=BO=DO，AC⊥BD.
求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∠A=90°, AB=AD. ∴四边形ABCD是矩形, 四边形ABCD是菱形 ∴ AO=CO=BO=DO， AC⊥BD.
∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，AC=BD OA=OB=OC=OD
例1：如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .∴∠DCF=180°-∠BCE==90°∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O，(1)求证：△DAF≌△ABE；(2)求∠AOD的度数；
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.∴AD=AB，∠DAB=∠ABC =90° .又∵ AF=BE ∴ △DAF≌△ABE(SAS).
证明：(2)∵ △DAF≌△ABE∴ ∠ADF=∠BAE∵ ∠DAB =90° .∴ ∠ADF+ AFD= 90°∴ ∠BAE + AFD= 90°∴DF ⊥AE∴ ∠AOE= 90°
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF. （1）求证：△ADE≌△ABF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°.在△ADE和△ABF中，AB=AD，∠ABF=∠ADE，BF=DE，∴△ADE≌△ABF（SAS）.
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF. （2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积.
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　 ）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
3.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）对角线互相垂直 对角线互相平分C. 对角线相等 D. 四个角都是直角
4. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）A. AE=BF B. AE⊥BF C. AO=OE D. S△AOB=S四边形DEOF
5.如图，正方形AEFG的顶点E,G分别在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF. 求证：BF=DF.
证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°.∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，∴BE=DG.在△BEF和△DGF中，BE=DG，∠BEF=∠DGF，EF=GF,∴△BEF≌△DGF(SAS).∴BF=DF.
6.已知：如图，在正方形ABCD中，点F在CD上， AE平分∠BAF，E为BC的中点.求证：AF=BE+DF.
证明：将△ABE逆时针旋转90°则AB=AD，BE=DE′,∠E′AE=90°,∠ADE′=∠ABE=90°.∴E′,D,F三点共线.∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠1=∠2.又∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°.∴∠AEB=∠E′=90°-∠1=90°-∠2=∠E′AF.∴AF=FE′=FD+DE′=FD+BE.
7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm．
课本P22 习题1.7 第1，2，3题