北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定教学ppt课件

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定教学ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了复习回顾，有一组邻边相等，有一个角是直角，菱形的判定方法，四边形，一组邻边相等，对角线互相垂直，一个角是直角，对角线相等，探究新知等内容，欢迎下载使用。

轴对称图形中心对称图形
对角线相等互相垂直平分
思考：满足怎样条件的矩形是正方形？
思考：满足怎样条件的菱形是正方形？
定义法:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言∵四边形ABCD是平行四边形 ∠A=90° ，AB=AD∴ 四边形ABCD是矩形
定理：有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形
几何语言∵四边形ABCD是菱形 ∠ABC=90° (AC=BD)∴ 四边形ABCD是正方形
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线垂直的矩形是正方形.
几何语言∵四边形ABCD是矩形 AB=AD, (AC ⊥ BD)∴ 四边形ABCD是正方形
有一个角是90°（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等（或对角线相等）
一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90° 对角线相等
有一对邻边相等 对角线互相垂直
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
例1：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形.
已知:如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠BAC ,∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC , DE⊥BC ,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
例2：如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG，则图中阴影部分的面积是________.
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
总结归纳一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系
1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当∠ABC=90°时，它是矩形C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当AC=BD时，它是正方形
4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）A. 3 B. 12 C. 18 D. 36
6. 如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）A. -4+4B. 4 +4C. 8-4D. +1
7.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明：由题意，得∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∴∠BAD=2∠EAF=90°.∴四边形ABCD是矩形.∵AB=AG，AD=AG，∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.
8.如图，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上，连接CF. （1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.
证明：（1）如图，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE.∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE.∴∠HEA=∠CGF.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH=DG,HE=HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）.∴∠AHE=∠DGH.又∠DHG+∠DGH=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH为正方形.
课本P25 习题1.8 第1，2，3，4题