初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课后复习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课后复习题，共12页。

01 基础题
知识点1 二次函数y=ax2＋k的图象
1．函数y=eq \f(1,3)x2＋1与y=eq \f(1,3)x2的图象的不同之处是(C)
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
2．二次函数y=x2＋1的图象大致是(B)
3．如果将抛物线y=x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C)
A．y=(x－1)2＋2 B．y=(x＋1)2＋2 C．y=x2＋1 D．y=x2＋3
4．抛物线y=2x2－1在y轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)．
5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．
6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=－2x2，y=－2x2＋3的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y=－2x2＋3与抛物线y=－2x2有什么关系？
解：如图所示：
(1)抛物线y=－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．
抛物线y=－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．
(2)抛物线y=－2x2＋3可由抛物线y=－2x2向上平移3个单位长度得到．
知识点2 二次函数y=ax2＋k的性质
7．(河池中考)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y=x2－1上，下列说法中正确的是(D)
A．若y1=y2，则x1=x2
B．若x1=－x2，则y1=－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
8．下列关于抛物线y=－x2＋2的说法正确的是(D)
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为(－1，2)
C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
D．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
9．二次函数y=3x2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小．因为a=3>0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3．
10．能否通过适当地上下平移二次函数y=eq \f(1,3)x2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．
解：设平移后的函数解析式为y=eq \f(1,3)x2＋k，
把(3，－3)代入，得－3=eq \f(1,3)×32＋k，解得k=－6.
∴把y=eq \f(1,3)x2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．
02 中档题
11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y=ax＋1与二次函数y=x2＋a的图象可能是(C)
12．已知y=ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
13．已知二次函数y=ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为(D)
A．a＋c B．a－c C．－c D．c
14．已知抛物线y=eq \f(1,4)x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(eq \r(3)，3)，P是抛物线y=eq \f(1,4)x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
15．已知y=(m＋2)xm2＋m－4－3是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而减小，则m=－3．
16．将抛物线y=ax2＋c向下平移3个单位长度，得到抛物线y=－2x2－1，则a=－2，c=2．
17．若抛物线y=ax2＋k(a≠0)与y=－2x2＋4关于x轴对称，则a=2，k=－4．
18．把y=－eq \f(1,2)x2的图象向上平移2个单位长度．
(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
解：(1)新图象的函数解析式为y=－eq \f(1,2)x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴．
(2)略．
(3)当x=0时，y有最大值，为2.
03 综合题
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2＋eq \f(1,4)与y轴相交于点A，点B在y轴上，且在点A的上方，AB=OA.
(1)填空：点B的坐标是(0，eq \f(1,2))；
(2)过点B的直线y=kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由．
解：∵B点坐标为(0，eq \f(1,2))，
∴设直线的解析式为y=kx＋eq \f(1,2).
令y=0，得kx＋eq \f(1,2)=0，解得x=－eq \f(1,2k).
∴OC=－eq \f(1,2k).
∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方．
过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=－eq \f(1,2k)，CD=OB=eq \f(1,2)，
∴PD=PC－CD=m－eq \f(1,2).
在Rt△PBD中，由勾股定理，得
PB2=PD2＋BD2，即m2=(m－eq \f(1,2))2＋(－eq \f(1,2k))2，解得m=eq \f(1,4)＋eq \f(1,4k2).
∴PB=eq \f(1,4)＋eq \f(1,4k2).∴P点坐标为(－eq \f(1,2k)，eq \f(1,4)＋eq \f(1,4k2))．
当x=－eq \f(1,2k)时，代入抛物线的解析式可得y=eq \f(1,4)＋eq \f(1,4k2)，
∴点P在抛物线上．
第2课时 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
01 基础题
知识点1 二次函数y=a(x－h)2的图象
1．在平面直角坐标系中，二次函数y=eq \f(1,2)(x－2)2的图象可能是(D)
2．抛物线y=－4(x＋3)2与x轴的交点坐标是(－3，0)，与y轴的交点坐标是(0，－36)．
3．将抛物线y=ax2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a=－1．
4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x＋2)2，y=(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．
解：图象如图：
抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0)．
抛物线y=(x＋2)2的对称轴是直线x=－2，顶点坐标为(－2，0)．
抛物线y=(x－2)2的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2，0)．
知识点2 二次函数y=a(x－h)2的性质
5．下列对二次函数y=2(x＋4)2的增减性描述正确的是(D)
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－4时，y随x的增大而减小
D．当x＜－4时，y随x的增大而减小
6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y=(x－2)2，下列说法：
①图象经过点(1，1)；②当x=2时，y有最小值0；③y随x的增大而增大；④该函数图象关于直线x=2对称．其中正确的是(B)
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．②③④
7．如果二次函数y=a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x=－3时，函数的最大值是0.
8．完成表格：
9.已知函数y=－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“=”)．
10．已知抛物线y=a(x－h)2，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．
解：当x=2时，有最大值，∴h=2.
又∵此抛物线过点(1，－3)，∴－3=a(1－2)2.解得a=－3.
∴此抛物线的解析式为y=－3(x－2)2.
当x＞2时，y随x的增大而减小．
易错点1 混淆二次函数图象的平移方向与h的加减关系
11．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C)
A．y=x2－1 B．y=x2＋1 C．y=(x－1)2 D．y=(x＋1)2
易错点2 二次函数增减性相关的易错
12．已知二次函数y=2(x－h)2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值满足h≤3．
02 中档题
13．(玉林中考)对于函数y=－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是(D)
A．开口向下 B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交
14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y=(x－a)2与直线y=a＋ax的图象可能是(D)
15．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y=－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y316．已知二次函数y=2(x－1)2的图象如图所示，则△ABO的面积是1．
17．已知某抛物线与抛物线y=－eq \f(1,2)x2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
解：∵所求抛物线与y=－eq \f(1,2)x2＋3形状相同，开口方向相反，
∴所求抛物线解析式的二次项系数是eq \f(1,2).
又∵顶点坐标是(－5，0)，
∴所求抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)(x＋5)2.
18．二次函数y=a(x－h)2的图象如图，已知a=eq \f(1,2)，OA=OC，试求该抛物线的解析式．
解：由题意，得C(h，0)，y=eq \f(1,2)(x－h)2.
∵OA=OC，∴A(0，h)．
将点A(0，h)代入抛物线的解析式，得eq \f(1,2)h2=h.∴h1=2，h2=0(不合题意，舍去)．
∴该抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)(x－2)2.
03 综合题
19．已知点P(m，a)是抛物线y=a(x－1)2上的点，且点P在第一象限内．
(1)求m的值；
(2)过P点作PQ∥x轴交抛物线y=a(x－1)2于点Q.若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
解：(1)∵点P(m，a)是抛物线y=a(x－1)2上的点，
∴a=a(m－1)2，解得m=2或m=0.
又∵点P在第一象限内，∴m=2.
(2)∵a的值为3，
∴抛物线的解析式为y=3(x－1)2.
∵m=2，a=3，∴点P的坐标为(2，3)．
∵PQ∥x轴交抛物线y=a(x－1)2于点Q，
∴Q点纵坐标也为3.
令y=3，即3=3(x－1)2，解得x=2或x=0.
∴点Q的坐标为(0，3)．∴PQ=2.
∴S△OPQ=eq \f(1,2)·PQ·yP=eq \f(1,2)×2×3=3.
第3课时 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质
01 基础题
知识点1 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象
1．抛物线y=(x－1)2＋2的顶点坐标是(D)
A．(－1，2) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(1，2)
2．二次函数y=(x＋2)2－1的图象大致为(D)
3．将抛物线y=eq \f(1,2)x2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为(D)
A．y=eq \f(1,2)(x－2)2＋4 B．y=eq \f(1,2)(x－2)2－2 C．y=eq \f(1,2)(x＋2)2＋4 D．y=eq \f(1,2)(x＋2)2－2
4．如图是抛物线y=a(x＋1)2＋2图象一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点坐标是(1，0)．
5．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
6.画出函数y=(x－1)2－1的图象．
解：列表：
描点并连线：
知识点2 二次函数y=a(x－h)2＋k的性质
7．设二次函数y=(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(B)
A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
8．对于抛物线y=－eq \f(1,2)(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．二次函数y=(x＋4)2＋m2，当x＞m＋1时，y随x的增大而增大，当x＜m＋1时，y随x的增大而减小，则m的值是－5．
10．已知点A(4，y1)，B(eq \r(2)，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y=(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．
易错点1 对抛物线的顶点理解不清
11．抛物线y=(2x＋1)2＋1的顶点坐标是(－eq \f(1,2)，1)．
易错点2 将图象平移与坐标轴平移混淆
12．在平面直角坐标系中，若抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y=3(x＋1)2－1．
02 中档题
13．与抛物线y=4(x－1)2－7的形状相同的抛物线是(B)
A．y=(4x－1)2－7 B．y=(2x－3)2 C．y=eq \f(1,4)x2＋7 D．y=eq \f(1,4)(x－1)2＋9
14．若二次函数y=(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(C)
A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
15．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移eq \r(2)个单位长度后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是(C)

A．y=(x＋1)2－1 B．y=(x＋1)2＋1
C．y=(x－1)2＋1 D．y=(x－1)2－1
16．如果二次函数y=(x－h)2＋k的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h的值为1．
17．将抛物线y=a(x－h)2＋k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y=－2(x＋3)2＋1的图象．
(1)确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数y=a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)说明此二次函数的增减性和最大(小)值．
解：(1)∵将抛物线y=a(x－h)2＋k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的二次函数解析式为y=－2(x－h＋2)2＋k＋3，
∴a=－2，－h＋2=3，k＋3=1.
∴a=－2，h=－1，k=－2.
(2)∵二次函数的解析式为y=a(x－h)2＋k=－2(x＋1)2－2，
∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x=－1，顶点坐标为(－1，－2)．
(3)∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x=－1，
∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；
当x>－1时，y随x的增大而减小．
且当x=－1时，y有最大值，y的最大值是－2.
18．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=－(x－1)2＋2.25.
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？
解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=－(x－1)2＋2.25，
∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25 m.
(2)当x=0时，y=－(0－1)2＋2.25=1.25.
∴喷嘴离地面的高度为1.25 m.
(3)令y=0，即0=－(x－1)2＋2.25，
解得x1=－0.5，x2=2.5.
∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出的水流不落在水池外．
03 综合题
19．如图是二次函数y=(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．
(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=eq \f(5,4)S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y=(x＋m)2＋k的顶点坐标为M(1，－4)，
∴y=(x－1)2－4.
令y=0，即(x－1)2－4=0.
解得x1=3，x2=－1.
∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)∵△PAB与△MAB同底，且S△PAB=eq \f(5,4)S△MAB，
∴|yP|=eq \f(5,4)|yM|=eq \f(5,4)×4=5，即yP=±5.
又∵点P在二次函数y=(x－1)2－4的图象上，
∴yP≥－4.∴yP=5.
∴(x－1)2－4=5，解得x1=4，x2=－2.
∴存在这样的点P，其坐标为(4，5)或(－2，5)．
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=2x2＋2
向上
y轴
(0，2)
最小值2
y=－5x2－3
向下
y轴
(0，－3)
最大值－3
y=eq \f(1,5)x2＋1
向上
y轴
(0，1)
最小值1
y=－eq \f(1,2)x2－4
向下
y轴
(0，－4)
最大值－4
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
y=－eq \r(2)x2
向下
y轴
(0，0)
当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大.
y最大=0
y=－eq \r(2)(x-5)2
向下
直线x=5
(5，0)
当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大.
y最大=0
y=3(x＋eq \r(3))2
向上
直线
x=－eq \r(3)
(－eq \r(3)，0)
当x＞－eq \r(3)时，y随x的增大而增大；当x＜－eq \r(3)时，y随x的增大而减小.
y最小=0
抛物线
开口方向
对称轴
顶点
y=－4(x＋3)2＋5
向下
直线x=－3
(－3，5)
y=3(x＋1)2－2
向上
直线x=－1
(－1，－2)
y=(x－5)2－7
向上
直线x=5
(5，－7)
y=－2(x－2)2＋6
向下
直线x=2
(2，6)
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
－1
0
3
8
…