专题09 数量积 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案

这是一份专题09 数量积 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案，共6页。

知识梳理.数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
题型一.基本公式
1．若非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|且(2a→+b→)⊥b→，则a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
2．已知非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→|＝2，|a→-b→|＝2．则|b→|等于（ ）
A．22B．2C．3D．2
3．已知向量a→，b→及实数t满足|a→+tb→|＝3．若a→•b→=2，则t的最大值是 ．
题型二.几何意义——投影
1．设向量e1→，e2→是夹角为2π3的单位向量，若a→=3e1→，b→=e1→-e2→，则向量b→在a→方向的投影为（ ）
A．32B．12C．-12D．1
2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→⋅AC→= ．
3．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量AB→在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则AP→•AB→的取值范围是 ．
题型三. 转换基底
1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→|＝1，则AC→•AD→=（ ）
A．23B．3C．32D．﹣23
2．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|=3，|AC→|=2，若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→，则实数λ的值为（ ）
A．37B．73C．712D．127
3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量OA→=a→，OB→=b→，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量OP→=c→．若|a→|＝3，|b→|＝2，则c⋅(a→-b→)的值为 ．
题型四.数量积运算律求最值
1．向量a→，b→的夹角为120°，|a→|=|b→|=1，|c→|=2，则|a→+2b→+c→|的最大值为（ ）
A．2-3B．2C．2+3D．4
2．已知向量a→，b→满足|a→|＝5，|b→|＝1且|a→-4b→|≤21，则a→•b→的最小值为 ．
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若BD→⋅AM→=-3，则BA→⋅BC→的取值范围是 ．
题型五.数量积坐标运算
1．已知向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），c→=（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（a→-b→）∥c→，下列说法正确的是（ ）
A．a→与b→的夹角为钝角
B．向量a→在b→方向上的投影为55
C．2m+n＝4
D．mn的最大值为2
2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→⋅AF→=2，则AE→⋅BF→的值是 ．
3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE→=2EC→，AE→⋅BD→=-23，则AF→⋅EF→的最小值为（ ）
A．-23B．-43C．-15275D．-7336
题型六.极化恒等式
1．设向量a→，b→满足|a→+b→|=10，|a→-b→|=6，则a→⋅b→=（ ）
A．﹣1B．1C．4D．﹣4
2．如图，△ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP→⋅BP→的取值范围是 ．
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→⋅(PB→+PC→)的最小值为（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣2D．-83
课后作业.数量积
1．已知向量a→、b→满足|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=3|2a→-b→|，则a→与b→夹角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
2．已知△ABC满足AB→2=2BA→⋅CA→，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
3．已知向量a→≠e→，|e→|＝1，对任意t∈R，恒有|a→-te→|≥|a→-e→|，则（ ）
A．a→⊥e→B．a→⊥（a→-e→）
C．e→⊥（a→-e→）D．（a→+e→）⊥（a→-e→）
4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→⋅AC→=（ ）
A．34B．28C．﹣16D．﹣22
5．如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12AB→，若AC＝3，AB＝4，则AP→⋅CD→的值为（ ）
A．﹣3B．-1312C．1312D．112
6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→⋅AF→=2，则AE→⋅BF→的值是 ．
7．已知a→、b→均为单位向量，且a→⋅b→=0．若|c→-4a→|+|c→-3b→|=5，则|c→+a→|的取值范围是（ ）
A．[3，10]B．[3，5]C．[3，4]D．[10，5]
8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM→⋅BP→的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]B．[-12，0]C．[-34，12]D．[-34，0]
9．在平面内，定点A，B，C，D满足|DA→|＝|DB→|＝|DC→|＝2，DA→•BC→=DB→•AC→=DC→•AB→=0，动点P，M满足|AP→|＝1，PM→=MC→，则|BM→|2的最大值为 ．定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0