2020-2021学年江西省赣州市高三（上）9月月考数学（理）试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）9月月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|y=lg(3−2x)}，B={x|x2≤4}，则A∪B=( )
A.{x|−2≤x<32}B.{x|x<2}C.{x|−2
2. 设a→，b→是非零向量，则“存在实数λ，使得a→=λb→”是“|a→+b→|=|a→|+|b→|”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 已知a=ln23，b=2lg223，c=(45)−0.2，则( )
A.a
4. 将5封不同的信全部投入4个邮筒，每个邮筒至少投一封，不同的投法共有( )
A.120种B.356种C.264种D.240种

5. 等比数列an的各项均为正数，且a3a6=e2，则lna1+lna2+⋯+lna8=( )
A.8B.10C.12D.14

6. 已知函数f(x)=cs(2ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的最小正周期为π，将其图象向右平移π6个单位后得函数g(x)=cs2x的图象，则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=2π3对称B.关于直线x=π6对称
C.关于点(−2π3,0)对称D.关于点(−5π12, 0)对称

7. 若奇函数fxx∈R满足fx+2=−fx，当x∈−2,0时，fx=x2+ln−x，则f2021=( )
A.−1B.0C.1D.2

8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c−acsB=(2a−b)csA，则△ABC为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

9. 曲线y=2sinx0≤x≤π与直线y=1围成的封闭图形的面积为( )
A.23−4π3B.23−2π3C.23+4π3D.23+2π3

10. 关于函数fx=|x−1|−lnx，下列说法正确的是（）
A.f(x)在1e,+∞单调递增B.f(x)有极小值为0，无极大值
C.fx的值域为−1,+∞D.y=fx的图象关于直线x=1对称

11. 在ABC中，|CA|=1，|CB|=2，∠ACB=23π，点M满足CM→=CB→+2CA→，则MA→⋅MB→=( )
A.0B.2C.23D.4

12. 已知函数fx=lnxx,gx=xe−x．若存在x1∈0,+∞,x2∈R，使得fx1=gx2<0成立，则x1x2的最小值为( )
A.−1B.−2eC.−2e2D.−1e
二、填空题

曲线C：y=xlnx在点Me,e处的切线方程为________.

已知向量a→=1,2，b→=2,−2，c→=1,λ，若c→⊥2a→+b→，则λ=________.

若x∈0,π2，sinx+π6=35，则sin2x+π12=________.

在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC=90∘，sinA=45，则对角线AC的最大值为________．
三、解答题

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．
(1)求乙投球的命中率p；

(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

已知椭圆C的左焦点坐标为−1,0，且过点P1,22.
(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M，N两点，当|MN|=423时，求直线l的方程．

已知函数f(x)=2|x−1|−|x−a|．

(1)当a=2时，求不等式f(x)≥1的解集；

(2)若不等式f(x)≤a+1+|x−a|恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）9月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．
【解答】
解：因为A={x|y=lg(3−2x)}
={x|3−2x>0}
={x|x<32}，
B={x|x2≤4}
={x|−2≤x≤2}，
所以A∪B={x|x≤2}．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若|a→+b→|=|a→|+|b→|，
则平方得|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=|a→|2+|b→|2+2|a→|⋅|b→|，
即a→⋅b→=|a→|⋅|b→|，
即a→⋅b→=|a→||b→|cs=|a→|⋅|b→|，
则cs=1，
即=0，
即a→，b→同向共线时，存在实数λ，使得a→=λb→，
反之，当=π时，
满足a→=λb→，
但cs=1不成立，
即“存在实数λ，使得a→=λb→”是“|a→+b→|=|a→|+|b→|”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：a=ln231，
则a故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
由于有一个邮筒中要投入两封信件,其余各投入一份信件,所以要将5份信件中的2份当作一个整体,再利用分步计数原理可得结论.
【解答】
解：根据题意可得，有一个邮筒中要投入两封信件，其余各投入一份信件，
第一步，将5份信件中的2份当作一个整体，即C52，其余3份各作为1组，这样分成4组；
第二步，将第一步得到的4组信件分别投入4个邮筒，即A44.
根据分步计数原理可得共有C52×A44=5×42×1×(4×3×2×1)=240种不同的投法.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
对数的运算性质
【解析】
根据等比数列的性质可得a1⋅a8=a2⋅a7=a3⋅a6=a4⋅a5=e2,再由对数的运算性质及数列an的各项均为正数求解可得结果.
【解答】
解：等比数列an的各项均为正数.
因为a3a6=e2,
所以a1⋅a8=a2⋅a7=a3⋅a6=a4⋅a5=e2,
即lna1+lna2+...+lna8=lna1⋅a2⋯a8=lna1⋅a84=lne24=8.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
【解析】
求出函数f(x)的解析式，结合函数的对称性分别进行判断即可．
【解答】
解：由题意得：将g(x)=cs2x的图象向左平移π6个单位后得到f(x)，
即f(x)=cs2(x+π6)=cs(2x+π3)，
∵ f(2π3)=cs(2×2π3+π3)=cs5π3≠±1，
f(π6)=cs(2×π6+π3)=cs2π3≠±1，
f(−2π3)=cs(−2×2π3+π3)=cs(−π)=−1≠0，
∴ A，B，C都不正确.
f(−5π12)=cs[2×(−5π12)+π3]=cs(−π2)=0，
则函数关于点(−5π12, 0)对称.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
根据题意fx+4=−fx+2=fx,故函数fx为周期为4的函数,则f2021=f505×4+1=f1,再根据函数fx为奇函数,可得f1=−f−1=−1.
【解答】
解：因为fx+2=−fx,
所以fx+4=−fx+2=fx，故函数fx为周期为4的函数，
所以f2021=f505×4+1=f1.
又因为x∈−2,0时，fx=x2+ln−x,
所以f−1=1.
又因为函数fx为奇函数,
所以f1=−f−1=−1.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得csA(sinB−sinA)＝0，从而可得A=π2或B＝A或B＝π−A（舍去）．
【解答】
解：∵ c−acsB=(2a−b)csA，C=π−(A+B)，
∴ 由正弦定理得：sinC−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
∴ sinAcsB+csAsinB−sinAcsB=2sinAcsA−sinBcsA，
∴ csA(sinB−sinA)=0.
∴ csA=0，或sinB=sinA，
∴ A=π2或B=A或B=π−A（舍去），
∴ △ABC为等腰或直角三角形.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】
令2sinx=1,且0≤x≤π,解得x=π6或5π6,则y=2sinx与直线y=1围成的封闭图形的面积为π65π62sinx−1dx,利用积分公式及导数的运算法则计算即可.
【解答】
解：令2sinx=1，可得sinx=12.
因为0≤x≤π，
所以x=π6或5π6,
所以y=2sinx与直线y=1围成的封闭图形的面积为π65π62sinx−1dx,
又π65π62sinx−1dx=(−2csx−x)|5π6π6=−2(−32−32)−(5π6−π6)=23−2π3，
所以y=2sinx0≤x≤π与直线y=1围成的封闭图形的面积为23−2π3.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
去掉绝对值，求导，分别求出函数在（0，1）和（1，+∞）上单调性和极值，再由f(2−x)≠f(x)可知A,C,D均错误，进而得到正确答案
【解答】
解：f(x)=|x−1|−lnx函数定义域为(0, +∞)，
当x∈(0,1)时，f(x)=1−x−lnx，f′(x)=−1−1x=−x+1x<0，
∴f(x)在（0，1）上单调递减；
当x>1时，f(x)=x−1−lnx,f′(x)=1−1x=x−1x>0，∴f(x)在（1，+∞）上单调递增.
故f(x)在x=1时有极小值也是最小值为f(1)=0，无极大值.
又由于f(2−x)=|2−x−1|−ln(2−x)
=|x−1|−ln(2−x)≠f(x)，故A,C,D均错误.
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可．
【解答】
解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意知，C(0, 0)，B(2, 0)，A(−12, 32)，
∴ CB→=(2, 0)，CA→=(−12, 32)，
∴ CM→=CB→+2CA→=(1, 3)，
∴ MA→=CA→−CM→=(−32, −32)，
MB→=CB→−CM→=(1, −3)，
则MA→⋅MB→=−32+32=0．
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
本题主要考察利用导数研究函数的最值，难度偏上.
【解答】
解：∵ f(x)=lnxx，
∴ f′(x)=1−lnxx2,x>0，
∴ 当1−lnx>0，即00，
f(x)在(0,e)上单调递增；
当x>e时，f(x)在(e,+∞)上单调递减.
∵ f(1)=ln11=0，即点(1,0)是f(x)的唯一零点，
∴ f(x)max=f(e)=1e.
∵ g′(x)=e−x(1−x),x∈R，
∴ 当1−x>0，即x<1时，g(x)单调递增；
当x>1时，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1)=1e.
而g(0)=0，即原点(0,0)是g(x)的唯一零点.
画出f(x)与g(x)的图象如图所示：
∵ f(x1)=1x1lnx1，令lnx1=t=lnet，
∴ x1=et.
由图可知，t<0，
∴ f(x1)=tet=x2ex2=g(x2)，
同理可知，x2<0，故t=x2，即x1=ex2，
∴ x2=lnx1，x1x2=x1lnx1.
令ℎ(x)=xlnx,0故当lnx+1>0即1e0，
则ℎ(x)在(1e,1)上单调递增；
当lnx+1<0，即x<1e时，ℎ′(x)<0，
则ℎ(x)在(0,1e)上单调递减.
故当x=1e时，ℎ(x)在(0,1)上取得最小值ℎ(1e)=1eln1e=−1e，
故x1x2的最小值为−1e.
故选D.
二、填空题
【答案】
y=2x−e
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于y′=lnx+1，
所以y′|x=e=2，
故曲线y=xlnx在点e,e处的切线方程为y−e=2x−e，
即y=2x−e．
故答案为：y=2x−e．
【答案】
−2
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：2a→+b→=(4,2)，
∵ c→⊥2a→+b→，
∴1×4+2λ=0，
解得λ=−2.
故答案为：−2.
【答案】
17250
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
根据已知x+π6∈π6，2π3,由因为sinx+π6=35<32,根据正弦函数的性质可得π6【解答】
解：因为x∈0，π2,
所以x+π6∈π6，2π3.
又因为sinx+π6=35<32,
根据正弦函数的性质可得π6故csx+π6=45,
所以sin2x+π3=2sinx+π6csx+π6=2425,
cs2x+π3=2cs2x+π6−1=725,
则sin2x+π12=sin2x+π3−π4=sin2x+π3csπ4−cs2x+π3sinπ4
=2425×22−725×22=17250.
故答案为：17250.
【答案】
27
【考点】
正弦定理
直线与圆的位置关系
两点间的距离公式
【解析】
根据题意，建立坐标系，求出D、C、B的坐标，设ABD三点都在圆E上，其半径为R，由正弦定理计算可得R=10，进而分析可得E的坐标，由于sinA为定值，则点A在以点E(−6, 8)为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，计算即可得答案．
【解答】
解：画出图像如下图所示，
由于 sinA=45, BD=16 为定值，
故A在以BD为弦的圆上运动，由正弦定理得
2R=1645=20,R=10
故圆心的坐标为(8,−6)，AC的最大值即CA′的值，
也即是CO+R的值，
由两点间的距离公式有CO+R=82+152+10=27.
故答案为：27.
三、解答题
【答案】
解：(1)根据乙投球2次均未命中的概率为116，两次是否投中相互之间没有影响，
设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，
由题意得(1−P(B))2=(1−p)2=116，
解得p=34或54（舍去），
∴ 乙投球的命中率为34．
(2)由题设和(1)知P(A)=12，P(A¯)=12，P(B)=34，P(B¯)=14，
ξ可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(A¯)P(B¯⋅B¯)=12×(14)2=132，
P(ξ=1)=P(A)P(B¯⋅B¯)+C21⋅P(B)P(B¯)P(A¯)
=12×(14)2+2×34×14×12=732，
P(ξ=3)=P(A)P(B⋅B)=12×(34)2=932，
P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=1532，
∴ ξ的分布表为
∴ Eξ=0×132+1×732+2×1532+3×932=2．
【考点】
离散型随机变量的分布列及性质
等可能事件的概率
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）根据乙投球2次均未命中的概率为116，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．
（2）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．
【解答】
解：(1)根据乙投球2次均未命中的概率为116，两次是否投中相互之间没有影响，
设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，
由题意得(1−P(B))2=(1−p)2=116，
解得p=34或54（舍去），
∴ 乙投球的命中率为34．
(2)由题设和(1)知P(A)=12，P(A¯)=12，P(B)=34，P(B¯)=14，
ξ可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(A¯)P(B¯⋅B¯)=12×(14)2=132，
P(ξ=1)=P(A)P(B¯⋅B¯)+C21⋅P(B)P(B¯)P(A¯)
=12×(14)2+2×34×14×12=732，
P(ξ=3)=P(A)P(B⋅B)=12×(34)2=932，
P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=1532，
∴ ξ的分布表为
∴ Eξ=0×132+1×732+2×1532+3×932=2．
【答案】
解：(1)由题可知c=1，又1a2+12b2=1 ，a2=b2+1，
∴ 1a2+12a2−1=1，
∴ 2a4−5a2+2=0，
∴ a2−22a2−1=0.
又a2>1,
∴ a2=2，b2=1，
∴ 椭圆C的方程为：x22+y2=1.
(2)设直线l与椭圆的交点为：Mx1,y1，Nx2,y2，
由 y=kx+1，x22+y2=1，
消y并化简，得1+2k2x2+4kx=0，
∴ x1+x2=−4k1+2k2，x1x2=0．
由|MN|=423，
得x1−x22+y1−y22=329，
∴ 1+k2x1−x22=329，
∴ (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=329．
即1+k2−4k1+2k22=329，
化简，得k4+k2−2=0，
∴ k2=1,
∴ k=±1．
∴ 所求直线l的方程是y=x+1或y=−x+1.
【考点】
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知c=1，又1a2+12b2=1 ，a2=b2+1，
∴ 1a2+12a2−1=1，
∴ 2a4−5a2+2=0，
∴ a2−22a2−1=0.
又a2>1,
∴ a2=2，b2=1，
∴ 椭圆C的方程为：x22+y2=1.
(2)设直线l与椭圆的交点为：Mx1,y1，Nx2,y2，
由 y=kx+1，x22+y2=1，
消y并化简，得1+2k2x2+4kx=0，
∴ x1+x2=−4k1+2k2，x1x2=0．
由|MN|=423，
得x1−x22+y1−y22=329，
∴ 1+k2x1−x22=329，
∴ (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=329．
即1+k2−4k1+2k22=329，
化简，得k4+k2−2=0，
∴ k2=1,
∴ k=±1．
∴ 所求直线l的方程是y=x+1或y=−x+1.
【答案】
解：(1)当a=2时，f(x)=2|x−1|−|x−2|=x，x≥2，3x−4，1≤x<2，−x，x<1，
当x≥2时，显然f(x)≥1，所以x≥2；
当1≤x<2时，令3x−4≥1，得53≤x<2；
当x<1时，令−x≥1，得x≤−1．
因此不等式的解集为(−∞,−1]∪53,+∞；
(2)由不等式f(x)≤a+1+|x−a|恒成立，
即2|x−1|−|x−a|≤a+1+|x−a|，
即2|x−1|−2|x−a|≤a+1，
即2(|x−1|−|x−a|)≤a+1．
由于|x−1|−|x−a|≤|a−1|，
所以2|a−1|≤a+1，
解得13≤a≤3，
即实数a的取值范围是13,3．
【考点】
不等式恒成立问题
绝对值不等式的解法与证明
其他不等式的解法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=2时，f(x)=2|x−1|−|x−2|=x，x≥2，3x−4，1≤x<2，−x，x<1，
当x≥2时，显然f(x)≥1，所以x≥2；
当1≤x<2时，令3x−4≥1，得53≤x<2；
当x<1时，令−x≥1，得x≤−1．
因此不等式的解集为(−∞,−1]∪53,+∞；
(2)由不等式f(x)≤a+1+|x−a|恒成立，
即2|x−1|−|x−a|≤a+1+|x−a|，
即2|x−1|−2|x−a|≤a+1，
即2(|x−1|−|x−a|)≤a+1．
由于|x−1|−|x−a|≤|a−1|，
所以2|a−1|≤a+1，
解得13≤a≤3，
即实数a的取值范围是13,3．