2020-2021学年江西省赣州市高三（下）5月月考数学（理）试卷 (1)北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（下）5月月考数学（理）试卷 (1)北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=x|x2−x≤0,B=x|x−a≥0，且A⊆B，则a的取值范围是（ ）
A.(−∞,1]B.[1,+∞）C.(−∞,0]D.[0,+∞)

2. 如图是一张条形图的部分占比图示，反映了不同人数的外出游玩小团体在全部外出游玩小团体中的占比，其中深灰色条形表示七夕当天各类游玩团体的占比，浅灰色条形表示平时各类游玩团体的占比．根据该条形图，下列结论错误的是（ ）

A.七夕当天，2人外出游玩的比例最高
B.平时1人外出游玩的比例最高
C.3人外出游玩的比例在七夕当天和平时的变化最小
D.七夕当天，1人外出游玩的比例下降最多

3. 设z1,z2 为复数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A.若1z1为纯虚数，则z1∈R
B.若z12∈R，则z1∈R
C.若z1,z2为纯虚数，则z1+z2 为纯虚数
D.若z¯1=z2，则z1+z2∈R

4. 已知△ABC为等边三角形，以A为圆心，边长的一半为半径作圆．若在△ABC内随机取一点，则此点取自圆内的概率为( )
A.π18B.2π18C.3π18D.π9

5. 设x，y满足约束条件x−y+2≥0,2x+3y+6≥02x−y≤0,，则z=x+y的最小值为（ ）
A.−145B.145C.−32D.32

6. 海水淡化即利用海水脱盐生产淡水，海水淡化的常用方法有反渗透法和蒸馏法等．在试验环境下，某型号海水淡化设备的海水淡化过程可以用指数模型：St=S0e−Kt描述海水盐度St（单位：g/kg）随时间t（单位：min）的变化规律，其中S0为海水盐度的初始值，常数K为试验参数．若试验中海水盐度的初始值为36g/kg，100分钟后海水盐度降低为8g/kg，据此可得实验参数K的估计值为（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）( )

7. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，且a=233csinA，1a+1b=1，则△ABC的面积为（ ）
A.1B.2C.3D.2

8. 已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，fx=x，且fx+1为偶函数．若fx≤ax−a+1，则（ ）
A.a0D.a∈R

9. 已知向量a→，b→满足|a→+2b→|=3，|2a→+3b→|=4，则a→⋅b→的最小值为( )
A.−170B.−140C.−70D.70

10. 已知A，B，C，D为球O的球面上的四个点，O为AD的中点，△ABC的外接圆面积为π4，三棱锥D−ABC的高为3，则球Ο的体积为（ ）
A.2π3B.πC.4π3D.5π3

11. 已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点，E，F为C上的点，四边形AEBF为平行四边形，|AB|=2|EF|．若AF⊥EF，则C的离心率为（ ）
A.33B.233C.55D.255

12. 已知ex+ey=ex+y,ex+ey+ez=ex+y+z，则（ ）
A.x+y的最小整数值为1B.x+y的最大整数值为1
C.z的最小整数值为0D.z的最大整数值为0
二、填空题

若tanα=1sinα，则cs2α+1csα的值为________ .
三、解答题

设等差数列an满足a1+a2=a3−a1=4，等比数列bn的前n项和Sn=2n+1−λ．
(1)求an的通项公式和λ；

(2)求数列anbn的前n项和Tn．

如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，∠ABC=45∘，E为CD的中点，AE⊥CD，PA=PB=PC．

(1)证明：平面PAE⊥平面PAB．

(2)若∠PBC=60∘，求PE与平面PBC所成角的正弦值．

科技研发作为衡量一个国家综合国力的重要因素，其重要性越来越受到人们的重视．某科技企业2017年投入科研经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年投入科研经费增加1亿元，近4年投入科研经费x（单位：亿元）和销售额y（单位：亿元）的相关数据如下表所示：

(1)若y与x可用线性回归模型拟合，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于x的回归方程；

(3)若保持以往的科研经费增加幅度，请预测到哪一年的销售额首次超过100亿元．参考数据：i=14yi−y¯2≈21.4,5≈2.2；
参考公式：相关系数 r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2，
b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2,a=y¯−bx¯．

设抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为kk>0的直线与C交于A，B两点，过点B作l的垂线，垂足为点E．
(1)若|AB|=3|BE|，求k；

(2)设P是C上一点，且AP⊥EF，求△ABP面积的最小值．

已知函数fx=xex−a−1x．
(1)若fx存在极值点0，求a；

(2)若fx−1≥lnx，求a的取值范围．

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=−1+22t,y=22t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ−2ρsinθ+1=0．
(1)求直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点Q在C上运动，求△ABQ面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由题意得A={x|0≤x≤1}，B={x|x≥a}，所以a≤0 .
【解答】
解：由题意得A={x|0≤x≤1}，B={x|x≥a}，
因为A⊆B，所以a≤0 .
故选C .
2.
【答案】
C
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由条形图可知，七夕当天，2人外出游玩的l比例达到0.45，故A正确；平时1人外出游玩的比例达到0.60，故B正确；4人外出游玩的比例在七少当天比平时增加0.01,3人外出游玩的比例在七夕耳天比平时增加0.05，故C错误；七夕当天，1人外出避玩的比例下降0.25，故D正确 .
【解答】
解：由条形图可知，七夕当天，2人外出游玩的l比例达到0.45，故A正确；
平时1人外出游玩的比例达到0.60，故B正确；
4人外出游玩的比例在七少当天比平时增加0.01,3人外出游玩的比例在七夕当天比平时增加0.05，故C错误；
七夕当天，1人外出游玩的比例下降0.25，故D正确 .
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
.
【解答】
解：设z1=a+bia,b∈R，
则1z1=1a+bi=a−bia+bia−bi=aa2+b2−ba2+b2i．
若1z1为纯虚数，则a=0，故A错误；
z12=a+bi2=a2−b2+2abi，若z12∈R，则ab=0，故B错误；
取z1=2i,z2=−2i,z1+z2=0∈R，故C错误；
取z2=a−bi，则z1+z2=2a∈R，故D正确．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】

【解答】
解：设△ABC的边长为a，则圆的半径为a2，△ABC的面积为3a24，
圆在△ABC内的面积为16π⋅a22=πa224，
所以在△ABC内随机取一点，此点取自圆内的概率
P=πa2243a24=3π18.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
结合图形可知，当直线y=−x+z过点A时，z取最小值，
联立x−y+2=0,2x+3y+6=0, 得 x=−125,y=−25,
所以A−125,−25，
所以zmin=−125−25=−145．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
函数模型的选择与应用
指数式与对数式的互化
对数及其运算
【解析】

【解答】
解：根据已知函数模型可知海水盐度St=36e−Kt，且当t=100时，St=8，
则8=36e−100K，
故e​−100K=29，
则−100K=ln29=ln2−2ln3≈−1.51，
所以K≈0.015.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
解三角形
三角形求面积
【解析】
.
【解答】
解：由正弦定理可得sinA=233sinCsinA，即sinC=32．
因为△ABC为锐角三角形，所以C=60∘．
由余弦定理得4=a2+b2−ab=a+b2−3ab．
由1a+1b=1，可得a+b=ab，
所以ab2−3ab−4=0，解得ab=4或ab=−1（舍去）.
所以△ABC的面积S=12absinC=3.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx+1为偶函数，
所以 fx的图象关于直线x=1对称．
由题意作出 fx的图象如图所示，
设y=ax−a+1=ax−1+1，
显然该直线过定点A1,1，
要满足 fx≤ax−a+1，则a=0.
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
平面向量的数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设a→+2b→=m→，2a→+3b→=n→，
则有|m→|=3，|n→|=4，a→=2n→−3m→，b→=2m→−n→，
所以a→⋅b→=(2n→−3m→)⋅(2m→−n→)
=−6|m→|2−2|n→|2+7m→⋅n→
=−86+84cs⟨m→,n→⟩.
当cs⟨m→,n→⟩=−1时，
a→⋅b→ 取最小值−170.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
答案模糊
【解答】
解：设△ABC外接阔的圆心为O′，AE为圆O′的直径．
因为O为AD的中点．
所以∠AED=90∘．
又因为AO′=O′E，
所以OO′ // DE，
则DE⊥平面ABC，且三棱能D−ABC的高DE=3，
所以OO′=32.
因为圆O′的面积为π4，
所以圆O′的半径O′A=12，
所以在Rt△OAO′中，OA=1，故球O的体积V=43π.
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
【解析】
.
【解答】
解：因为四边形AEBF为平行四边形，所以EF经过原点O，且|OE|=|OF| ，
不妨设点E在第一象限，由题意可知|OE|=12|OB|．
又因为AF⊥EF，所以在Rt△OEB中，∠EOB=60∘， |OE|=a2，
所以Ea4,3a4，
代入椭圆C的方程得a216a2+3a216b2=1，整理得a2=5b2，所以a2=5a2−c2，
即C的离心率e=ca=255.
故选D.
12.
【答案】
D
【考点】
基本不等式
指数函数的性质
【解析】
.
【解答】
解：由基本不等式，
得 ex+y=ex+ey≥2exey=2ex+y，
则有ex+y≥4，即x+y≥ln4，
当且仅当ex=ey，即x=y时取等号．
因为 1≤ln4≤2，
所以x+y的最小整数值为2，故A，B错误；
将ex+ey=ex+y代入ex+ey+ez=ex+y+z，
得 ex+y+ez=ex+y⋅ez，
整理得 ex=ex+yex+y−1=1ex+y−1+1≤14−1+1=43，
故z≤ln43．
因为0≤ln430，
则yA+yB=4k，yAyB=−4．
设P(x0,y0)，Bt24,t，
则A4t2,−4t，E−1,t，
则直线EF的斜率kEF=−t2．
因为AP⊥EF，所以直线AP的斜率kAP=2t，
故直线AP的方程为y+4t=2tx−4t2，
整理得2x−ty−4−8t2=0．
联立y2=4x,2x−ty−4−8t2=0,
整理得y2−2ty−8−16t2=0，Δ=4t2+32+64t2>0，
所以−4t+y0=2t，−4t⋅y0=−8−16t2，
所以|AP|=1+t24⋅2t2−4−8−16t2=4+t2×t2+16t2+8，,
点B到直线AP的距离d=t22−t2−4−8t24+t2=t2+16t2+824+t2，
所以△ABP的面积S=12|AP|⋅d=14t2+16t2+83≥16，
当且仅当t4=16，即t=±2时，等号成立．
所以△ABP面积的最小值为16．
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图，作AH⊥l于点H，BG⊥AH于点G，
根据抛物线的定义，可得|AF|=|AH|，|BF|=|BE|．
因为|AB|=3|BE|，
所以|AF|=|AH|=2|BE|，
故G为AH的中点，
所以|AB|=3|AG|，|BG|=22|AG|．
在Rt△ABG中，tan∠GAB=|BG||AG|=22，
故直线AB的斜率k=22 ．
(2)设直线AB的方程为y=kx−1，
联立y2=4x,y=k(x−1),
可得y2−4ky−4=0，Δ=16k2+16>0，
则yA+yB=4k，yAyB=−4．
设P(x0,y0)，Bt24,t，
则A4t2,−4t，E−1,t，
则直线EF的斜率kEF=−t2．
因为AP⊥EF，所以直线AP的斜率kAP=2t，
故直线AP的方程为y+4t=2tx−4t2，
整理得2x−ty−4−8t2=0．
联立y2=4x,2x−ty−4−8t2=0,
整理得y2−2ty−8−16t2=0，Δ=4t2+32+64t2>0，
所以−4t+y0=2t，−4t⋅y0=−8−16t2，
所以|AP|=1+t24⋅2t2−4−8−16t2=4+t2×t2+16t2+8，,
点B到直线AP的距离d=t22−t2−4−8t24+t2=t2+16t2+824+t2，
所以△ABP的面积S=12|AP|⋅d=14t2+16t2+83≥16，
当且仅当t4=16，即t=±2时，等号成立．
所以△ABP面积的最小值为16．
【答案】
解：(1)由题意得f′(x)=ex+xex+1−a，
由f(x)存在极值点0，得f′(0)=2−a=0，即a=2．
当a=2时，f′(x)=ex+xex−1=ex(x+1)−1，
当x>0时，ex>1，ex(x+1)>1，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x