2020-2021学年陕西省西安市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省西安市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 集合A={x|(x−6)(x+1)>0},B={x|y=lnx}，则∁RA∩B=( )
A.−1,6B.(0,6]C.6,+∞D.−1,0

2. 已知z=2+i1+i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上的对应点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 已知a→,b→是两个非零向量，则“a→，b→夹角为锐角”是“a→⋅b→>0”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

4. 设Sn是等比数列an的前n项和，若a5=16,a4=8，则Snan=( )
A.2n−1B.12n−1−1C.2−2n−1D.2−12n−1

5. 已知α是第二象限角，csπ2−α=14, 则csπ−α=( )
A.14B.154C.−14D.−154

6. 等差数列{an}的前n项和Sn=n2+kn，且a2=3，则a5=( )
A.5B.6C.9D.25

7. 已知a=lg252,b=1312,c=lg49，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

8. 将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位后得到函数fx的图象，则fx的对称轴方程为( )
A.x=π6+kπ2,k∈ZB.x=π3+kπ2,k∈Z
C.x=5π12+kπ2,k∈ZD.x=π12+kπ2,k∈Z

9. 等差数列an的前n项和为Sn，a1>0，|a2|=|a10|，则当Sn取最大值时，n的值为( )
A.5或6B.5或7C.6或7D.6

10. 已知fx在定义域−2,2上是偶函数，在0,2上单调递减，且fm2+1>fm2−2m+2，则m的取值范围是( )
A.−∞,12B.0,12C.−12,1D.12,+∞

11. 在△ABC中，D为BC的中点，AD=1,BC=23，则AB→⋅AC→= ( )
A.−2B.2C.23D.0

12. 若x=−2是函数fx=x2+ax−1⋅ex的极值点，则fx的极小值为( )
A.0B.3e−2C.−eD.−1
二、填空题

在△ABC中， A=120∘,BC=23，则△ABC的周长的取值范围是________.
三、解答题

等差数列an的前n项和为Sn，a1=1，a5是a4与S3的等差中项．
(1)求数列an的通项公式及Sn；

(2)若bn=1−an⋅2n−1Sn，求数列bn的前n项和Tn.

已知向量m→=2sinx,3csx,n→=csx,−2csx，函数fx=m→⋅n→.
(1)求fx的最小正周期及单调递增区间；

(2)若将函数fx的图象向左平移π6个单位后，再向上平移3个单位得到函数gx的图象．求函数gx在π6,2π3上的值域．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4csC−2sinπ2−2C=3.
(1)求角C的大小；

(2)若bcsC+ccsB=12a2，△ABC的面积为3，求c的值．

已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−1.
(1)求证数列an是等比数列，并求an；

(2)记bn=2n−1an，若数列bn的前n项和Tn>m恒成立，求整数m的最大值．

已知函数fx=alnx+2.
(1)函数fx在1,f1处的切线斜率为3，若fx≤3x+c，求实数c的取值范围．

(2)当a>0时，讨论函数ℎx=fx+12x2−a+1x−1的单调性．

已知函数fx=x−1ex−x2+1,gx=lnx−x+a+1.
(1)求fx的单调区间，并证明fx有且只有两个零点；

(2)若函数gx有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)若a≤e−2，求证：当x>1时，fxx−1>gx.
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高三（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
无
【解答】
解：由题知A=−∞,−1∪6,+∞，B=0,+∞，∁RA=−1,6 ，
故∁RA∩B=0,6．
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：由题知z=2+i1+i=32−12i，
所以复数z的共轭复数为z¯=32+12i，
故复数z的共轭复数对应点32,12，位于复平面第一象限．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：由题知，若a→，b→夹角为锐角，则a→⋅b→>0；
若a→⋅b→>0时，则a→，b→夹角为锐角或零;
所以“a→，b→夹角为锐角”是“a→⋅b→>0”的充分不必要条件.
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
无
【解答】
解：设等比数列公比为q．
由题知a5=a1q4=16，a4=a1q3=8，
解得a1=1，q=2，
所以an=2n−1 ，Sn=2n−1，
所以Snan=2−12n−1．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知，csπ2−α=sinα=14，
∵ α是第二象限角，
∴ csπ−α=−csα=1−sin2α=154 .
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知a2=S2−S1=4+2k−1+k=3+k=3，
解得k=0，
所以Sn=n2，
所以a8=S5−S4=25−16=9．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知，lg49=lg23>lg252>1，
0<1312<1，
所以c>a>b．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知，fx=sin2x−π6=sin2x−π3，
令2x−π3=π2+kπ,k∈Z，
解得x=5π12+kπ2,k∈Z .
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
等差数列的性质
数列与函数最值问题
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知，a1>0，d<0，a2+a10=0，
所以a6=0 ，
所以Sn取最大值时，n的值为5或6．
故选A．
10.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
无
【解答】
解：由题知，0因为fx在0,2上单调递减，
所以m2+1解得：0≤m<12．
故选B．
11.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知AB→⋅AC→=AD→+DB→⋅AD→+DC→．
因为D为BC的中点，
所以DB→=−DC→ .
所以AB→⋅AC→=AD→2−DC→2=|AD→|2−|DC→|2=−2．
故选A .
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
首先由x=−2为fx的极值点，求得a值，再求极值即可.
【解答】
解：由题意对fx求导可得：
f′x=2x+aex+x2+ax−1ex
=x2+a+2x+a−1ex ，
因为x=−2是函数fx=x2+ax−1ex的极值点，
所以f′−2=0，
即[−22+a+2×−2+a−1]e−2=0，
解得a=−1，
所以fx=x2−x−1ex，
f′x=x2+x−2ex，
令f′x=0，
即x2+x−2ex=0 ，
解得x=1或x=−2，
当x<−2时， f′x=x2+x−2ex>0，
即f(x)在区间−∞,−2上单调递增，
当x>1时，f′x=x2+x−2ex>0，
即f(x)在区间1,+∞上单调递增，
当−2即f(x)在区间−2,1上单调递减，
所以fx在x=1处取极小值，
极小值为f1=1−1−1e1=−e.
故选C．
二、填空题
【答案】
(43,4+23]
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
角的变换
【解析】

【解答】
解：在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a, b，c，
则a=23,
由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=23sin120∘=4,
所以b+c=4sinB+4sinC ，
又因为A=2π3 ，
所以B+C=π3 ，C=π3−B，
所以b+c=4sinB+4sinπ3−B
=4sinB+432csB−12sinB，
=2sinB+23csB
=4sinB+π3，
因为0所以π3所以32所以23所以43即△ABC周长a+b+c的取值范围是(43,4+23].
故答案为：(43,4+23]．
三、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列an的公差为d，
因为a5是a4与S3的等差中项，
所以2a5=a4+S3，
所以2a1+4d=a1+3d+3a1+3d，
由a1=1得d=1，
所以an=n，Sn=nn+12．
(2)由(1)知，
bn=1−an⋅2n−1Sn=1−n2n−1n(n+1)2=1−n2nnn+1，
所以bn=2nn−2n+1n+1，
所以Tn=b1+b2+⋯+bn
=2−222+222−333+⋯+2nn−2n+1n+1
=2−2n+1n+1.
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
等差数列的性质
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设等差数列an的公差为d，
因为a5是a4与S3的等差中项，
所以2a5=a4+S3，
所以2a1+4d=a1+3d+3a1+3d，
由a1=1得d=1，
所以an=n，Sn=nn+12．
(2)由(1)知，
bn=1−an⋅2n−1Sn=1−n2n−1n(n+1)2=1−n2nnn+1，
所以bn=2nn−2n+1n+1，
所以Tn=b1+b2+⋯+bn
=2−222+222−333+⋯+2nn−2n+1n+1
=2−2n+1n+1.
【答案】
解：(1)由题知fx=m→⋅n→=2sinxcsx−23cs2x
=sin2x−3cs2x−3
=2sin2x−π3−3，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
化简得：−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以函数fx的最小正周期为π，
单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπ，k∈Z.
(2)由题知gx=fx+π6+3
=2sin2x+π6−π3−3+3
=2sin2x，
因为x∈π6,2π3，
所以2x∈π3,4π3，
因为y=sint在π3,π2上单调递增，在π2,4π3上单调递减，
所以−32≤sin2x≤1，
所以−3≤2sin2x≤2，
所以gx在π6,2π3上的值域为−3,2．
【考点】
平面向量数量积
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题知fx=m→⋅n→=2sinxcsx−23cs2x
=sin2x−3cs2x−3
=2sin2x−π3−3，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
化简得：−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以函数fx的最小正周期为π，
单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπ，k∈Z.
(2)由题知gx=fx+π6+3
=2sin2x+π6−π3−3+3
=2sin2x，
因为x∈π6,2π3，
所以2x∈π3,4π3，
因为y=sint在π3,π2上单调递增，在π2,4π3上单调递减，
所以−32≤sin2x≤1，
所以−3≤2sin2x≤2，
所以gx在π6,2π3上的值域为−3,2．
【答案】
解：(1)因为4csC−2sinπ2−2C=3，
所以4csC−2cs2C=3，
所以4csC−22cs2C−1=3，
解得csC=12，
又因为0所以C=π3．
(2)由bcsC+CcsB=12a2及正弦定理得，
sinBcsC+sinCcsB=12asinA，
因为A+B+C=π，
所以sinB+C=sinA=12asinA，
又因为sinA≠0，
所以a=2．
由(1)知C=π3，
又因为S=12absinC=3，
所以b=2，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC
=4+4−2×2×2×12=4，
所以c=2．
【考点】
诱导公式
二倍角的余弦公式
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为4csC−2sinπ2−2C=3，
所以4csC−2cs2C=3，
所以4csC−22cs2C−1=3，
解得csC=12，
又因为0所以C=π3．
(2)由bcsC+CcsB=12a2及正弦定理得，
sinBcsC+sinCcsB=12asinA，
因为A+B+C=π，
所以sinB+C=sinA=12asinA，
又因为sinA≠0，
所以a=2．
由(1)知C=π3，
又因为S=12absinC=3，
所以b=2，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC
=4+4−2×2×2×12=4，
所以c=2．
【答案】
解：(1)因为Sn=2an−1，
当n=1时，a1=S1=2a1−1，
解得a1=2，
当n≥2时，Sn=2an−1①,Sn−1=2an−1−1②,
①−②得：an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，
即an=2an−1n≥2，
所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an=2⋅2n−1=2n .
(2)由(1)知bn=2n−1an=2n−12n=2n−1⋅12n，
所以Tn=1×12+3×122+5×123+⋯+2n−1⋅12n，
12Tn=1×122+3×123+5×124+⋯+
2n−3⋅12n+2n−1⋅12n+1，
两式相减得：
12Tn=12+2×[(12)2+(12)3+⋯+(12)n]−(2n−1)⋅(12)n+1
=12+121−12n−11−12−(2n−1)⋅12n+1
=32−n+32⋅12n，
所以Tn=3−2n+32n，
又因为n∈N∗，bn>0，Tn递增，
所以Tn的最小值为T1=12，
因为Tn>m恒成立，所以m<12 .
所以整数m的最大值为0 .
【考点】
等比数列的通项公式
等比关系的确定
数列递推式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为Sn=2an−1，
当n=1时，a1=S1=2a1−1，
解得a1=2，
当n≥2时，Sn=2an−1①,Sn−1=2an−1−1②,
①−②得：an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，
即an=2an−1n≥2，
所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an=2⋅2n−1=2n .
(2)由(1)知bn=2n−1an=2n−12n=2n−1⋅12n，
所以Tn=1×12+3×122+5×123+⋯+2n−1⋅12n，
12Tn=1×122+3×123+5×124+⋯+
2n−3⋅12n+2n−1⋅12n+1，
两式相减得：
12Tn=12+2×[(12)2+(12)3+⋯+(12)n]−(2n−1)⋅(12)n+1
=12+121−12n−11−12−(2n−1)⋅12n+1
=32−n+32⋅12n，
所以Tn=3−2n+32n，
又因为n∈N∗，bn>0，Tn递增，
所以Tn的最小值为T1=12，
因为Tn>m恒成立，所以m<12 .
所以整数m的最大值为0 .
【答案】
解：(1)因为fx=alnx+2，所以f′x=ax．
因为fx在1,f1处的切线斜率为3，所以f′1=a=3，
所以fx=3lnx+2，
所以fx≤3x+c等价于c≥3lnx−3x+2．
令gx=3lnx−3x+2，(x>0)，
则c≥gxmax，
则g′x=3x−3=31−xx．
令g′x>0得0令g′x<0得x>1；
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以gxmax=g1=−1，
所以c≥−1 ，
即c的取值范围是[−1,+∞)．
(2)由题知ℎx=fx+12x2−a+1x−1
=alnx+12x2−a+1x+1 ，(x>0)，
ℎ′x=ax+x−a+1
=x2−a+1x+ax
=x−ax−1x，（a>0，x>0），
当a=1时，ℎ′x=x−12x≥0，ℎx在0,+∞上单调递增；
当00得01，
由ℎ′x<0得a所以ℎx在0,a和1,+∞上单调递增，在a,1上单调递减；
当a>1时，由ℎ′x>0得0a，
由ℎ′x<0得1所以ℎx在0,1和a,+∞上单调递增，在1,a上单调递减；
综上可知，
当0当a=1时，ℎx在0,+∞上单调递增；
当a>1时，ℎx在0,1和a,+∞上单调递增，在1,a上单调递减．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为fx=alnx+2，所以f′x=ax．
因为fx在1,f1处的切线斜率为3，所以f′1=a=3，
所以fx=3lnx+2，
所以fx≤3x+c等价于c≥3lnx−3x+2．
令gx=3lnx−3x+2，(x>0)，
则c≥gxmax，
则g′x=3x−3=31−xx．
令g′x>0得0令g′x<0得x>1；
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以gxmax=g1=−1，
所以c≥−1 ，
即c的取值范围是[−1,+∞)．
(2)由题知ℎx=fx+12x2−a+1x−1
=alnx+12x2−a+1x+1 ，(x>0)，
ℎ′x=ax+x−a+1
=x2−a+1x+ax
=x−ax−1x，（a>0，x>0），
当a=1时，ℎ′x=x−12x≥0，ℎx在0,+∞上单调递增；
当00得01，
由ℎ′x<0得a所以ℎx在0,a和1,+∞上单调递增，在a,1上单调递减；
当a>1时，由ℎ′x>0得0a，
由ℎ′x<0得1所以ℎx在0,1和a,+∞上单调递增，在1,a上单调递减；
综上可知，
当0当a=1时，ℎx在0,+∞上单调递增；
当a>1时，ℎx在0,1和a,+∞上单调递增，在1,a上单调递减．
【答案】
解：(1)因为fx=x−1ex−x2+1,x∈R，
所以f′x=xex−2x=xex−2 ，
令f′x=0得x1=0, x2=ln2 ，
由f′x>0得x<0或x>ln2 ；
由f′x<0得0所以fx的单调递增区间为−∞,0和ln2,+∞，
单调递减区间为0,ln2 ，
所以fx极大值=f0=−1+1=0，
fx极小值=fln2=ln2−1×2−ln22+1
=−ln2−12<0，
又因为f1=0 ，
所以fx有且只有两个零点0和1．
(2)因为gx=lnx−x+a+1,x>0，
所以g′x=1x−1=1−xx．
由g′x>0得0由g′x<0得x>1，
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减
因为函数gx有两个零点，
由题知gxmax=gx极大值=g1=a>0，
所以实数a的取值范围是0,+∞．
(3)令ℎx=fxx−1−gx
=ex−x−1−lnx−x+a+1
=ex−lnx−a−2,x>1，
所以ℎ′x=ex−1x>0，
所以ℎx在1,+∞上单调递增．
所以当x>1时， ℎx>ℎ1=e−a−2 ．
因为a≤e−2，
所以ℎ1=e−a−2≥0，
所以ℎx>0．
所以当x>1时， fxx−1>gx．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点
不等式恒成立问题
【解析】



【解答】
解：(1)因为fx=x−1ex−x2+1,x∈R，
所以f′x=xex−2x=xex−2 ，
令f′x=0得x1=0, x2=ln2 ，
由f′x>0得x<0或x>ln2 ；
由f′x<0得0所以fx的单调递增区间为−∞,0和ln2,+∞，
单调递减区间为0,ln2 ，
所以fx极大值=f0=−1+1=0，
fx极小值=fln2=ln2−1×2−ln22+1
=−ln2−12<0，
又因为f1=0 ，
所以fx有且只有两个零点0和1．
(2)因为gx=lnx−x+a+1,x>0，
所以g′x=1x−1=1−xx．
由g′x>0得0由g′x<0得x>1，
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减
因为函数gx有两个零点，
由题知gxmax=gx极大值=g1=a>0，
所以实数a的取值范围是0,+∞．
(3)令ℎx=fxx−1−gx
=ex−x−1−lnx−x+a+1
=ex−lnx−a−2,x>1，
所以ℎ′x=ex−1x>0，
所以ℎx在1,+∞上单调递增．
所以当x>1时， ℎx>ℎ1=e−a−2 ．
因为a≤e−2，
所以ℎ1=e−a−2≥0，
所以ℎx>0．
所以当x>1时， fxx−1>gx．