2020-2021学年陕西省榆林市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年陕西省榆林市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数1+5i3−i在复平面内对应的点的坐标为( )
A.12,32B.32,32C.−14,154D.54,154

2. 已知集合A=x|y=lnx，B=x|x2−3x+2>0，则A∩B=( )
A.x|x>2B.{x|02}
C.{x|x>e}D.{x|x=1或x>2}

3. 已知α=660∘，若α终边在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A.233B.43C.2D.4

4. 已知a→，b→为非零向量，则a→⋅b→2=a→2b→2是a→，b→共线的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值(GDP)同比增长率，现从不包含日本的另外7个国家中任取1个国家，则这个国家和日本相比增长率差的绝对值大于5%的概率为( )

A.47B.12C.57D.58

6. 函数fx=2|x|−12x3在x∈−2,2上的图象大致为( )
A.B.
C.D.

7. 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S=3c2sinA4sinC，则sin(2A−C)的取值范围是( )
A.−1,1B.(−12,1]C.−12,12D.−32,32

8. 下表为2020年1∼6月全国规模以上工业企业各月累计利润率，若y与x具有线性相关关系，且回归方程为y=bx+a，且由数据可得a≠b，则( )
A.b>0，3b+a=4.47B.b<0，3b+a=4.47
C.b>0，3a+b=4.47D.b<0，3a+b=4.47

9. 矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E为CD中点，沿AE把△ADE折起，点D到达点P，使得平面PAE⊥平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为( )

A.14B.12C.22D.32

10. 已知函数fx=2|sinx|csx+3cs2x，若fx在0,m上有且仅有2个最大值点，则m的取值范围是( )
A.[11π12,13π12)B.[11π6,23π6)C.[23π12,25π12)D.[23π12,47π12)

11. 已知函数 fx=x2−ax+1,x≥0,a2x,x<0, 若存在x0∈0,+∞，使得fx≥fx0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[22−2,+∞)B.22−2,+∞C.0,22−2D.(0,22−2]

12. 已知椭圆C:x2m+y2=1m>1的左，右焦点分别为F1，F2，左，右顶点为M，N，以线段F1F2为直径的圆与椭圆C有4个公共点Pi(i=1，2，3，4)，则i=14(kPiM⋅kPiN)m的取值范围是( )
A.−425,0B.−1,0C.0,425D.0,1
二、填空题

曲线fx=ex+sinx+1在0,f0处的切线方程为________．
三、解答题

已知数列an的前n项和为Sn，若an>0，a2=8a1且Sn+1+Sn=12an+1．
(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn=Sn+Sn+1SnSn+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

如图，在三棱锥P−ABC中，∠PBA=∠CBA=2π3，AB=BC=BP=2，PC=6．

(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

蚂蚁森林是支付宝推出的公益活动，用户可以通过步行、在线缴费等减排行为获得积分，参与在荒漠化地区种树，该公益活动曾获得联合国“地球卫士奖”．蚂蚁森林2016年8月在支付宝上线，截止2020年8月，5.5亿蚂蚁森林用户一起累计种下超过2.2亿颗真树．用户通过蚂蚁森林一年种植3棵树，可获得当年度全民义务植树尽责证书．某高校学生会调查了该校100名学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的情况，已知这100名学生中有男生70名，男生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占男生总数67，女生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占女生总数23.
(1)填写下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的性别与通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书有关系？

(2)2020年该高校参与了蚂蚁森林高校公益林活动，学校师生踊跃为公益林浇水，该校某寝室6位同学在某
段时间内的浇水量（单位：kg）分别为：18，22，20，28，17，33，求这6位同学浇水量的平均数与方差．
附：
n=a+b+c+d，K2=nad−bd2a+bc+da+cb+d.

已知抛物线C:y2=2pxp>0，若圆D:x2+y2−8x+2my+m−9=0经过抛物线C的焦点F，且圆心D在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程及m的值；

(2)若M，N是抛物线上与点D不重合的动点，且直线DM与直线DN的斜率之和为−1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

已知函数fx=x2lnx−12−2axlnx−1．
(1)讨论fx的单调性；

(2)若1
已知fx=x2−|x−2|.
(1)求不等式fx>2|x|的解集；

(2)已知a，b∈−∞,0，若存在x0∈R，使得fx0≤a+b，求ab的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省榆林市高三（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的混合运算
【解析】
1+5i3−i−1=1+5i(3+i)(3−i)(3+i)−1−12+32i−12+32i，该复数在复平面内对应的点的坐标为12,32 .
【解答】
解：∵ 1+5i3−i=1+5i(3+i)(3−i)(3+i)
=1−12+32i=12+32i，
∴ 该复数在复平面内对应的点的坐标为12,32 .
故选A .
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
因为A={x|y=lnx}={x|x≥1},B=|x|x2−3x+2>0}={x|x<1或x>2}．所以A∩B={x|x>2} .
【解答】
解：∵ A={x|y=lnx}={x|x≥1}，
B={x|x2−3x+2>0}={x|x<1或x>2}，
∴ A∩B={x|x>2} .
故选A .
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ α=660∘，
∴ tanα=−ba=tan660∘=−3，
∴ ba=3，
∴ 双曲线C的离心率为e=1+ba2=2 .
故选C .
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设a→，b→的夹角为θ，
则(a→⋅b→)2=a→2⋅b→2⇔a→2b→2cs2θ=a→2b→2，
⇔csθ=±1⇔θ=0或θ=π⇔a→，b→共线 .
故a→⋅b→2=a→2b→2是a→，b→共线的充要条件.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
等可能事件的概率
【解析】
不包含日本的另外7个国家中，增长率和日本相比，增长率差的绝对值大于5%的有5个，所以所求概率P=57 .
【解答】
解：由条形图知，不包含日本的另外7个国家中，
增长率和日本相比，增长率差的绝对值大于5%的有5个，
故所求概率P=57 .
故选C .
6.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x∈−2,0时，
fx=2−x−12x3是减函数，排除BD；
当x∈0,2时，fx=2x−12x3，
则f1=2−12=32>1，排除C．
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：∵ S=3c2sinA4sinC=3c2a4c=34ac=12acsinB，
∴ sinB=32，B=π3.
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ π6∴ 2A−C=2A−2π3−A=3A−2π3，
即−π6<3A−2π3<5π6，
∴ −12故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
回归分析的初步应用
可线性化的回归分析
【解析】
无
【解答】
解：∵ y与x正相关，
∴ b>0.
∵ x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=3.54+3.94+4.45+5.00+5.425=4.47，
由x¯,y¯在回归直线y=bx+a上，
∴ 3b+a=4.47．
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为AB//CB，
所以异面直线AB与PC所成角就是∠PCE或其补角.
在△PCE中，EC=2，PE=2，
作DO⊥AE，垂足为O，如图，
则DO=2，OC=10，
所以PG=PO2+OC2=2+10=23，
所以cs∠PCE=PC2+EC2−PE22PC⋅EC
=12+22−222×23×2=32.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：当x∈0,π时，fx=sin2x+3cs2x=2sin2x+π3，
当x=π12时，fx第1次取到最大值；
当x∈(π,2π]时，fx=−sin2x+3cs2x=2cs2x+π6，
当x=23π12时，fx第2次取到最大值.
由f(x+2π)=f(x)可知，
当x=25π12时，fx第3次取到最大值，
所以23π12≤m<25π12．
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为存在x0∈0,+∞，使得fx≥f(x0)恒成立．
所以应先满足a>0.
当x≥0时，f(x)=x2−ax+1=(x−a2)2+1−a24≥1−a24；
当x<0时，fx=a2x>a，
所以a>0,1−a24≤a,
解得a≥22−2．
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
圆锥曲线的综合问题
椭圆的定义
【解析】
无
【解答】
解：∵ |F1F2|=2m−1，
且以线段F1F2为直径的圆与椭圆C有4个公共点，
∴ m−1>1，
∴ m>2.
设M−m,0，Nm,0，Pixi,yi，
则kPiM⋅kPiN=yixi+m⋅yixi−m
=yi2xi2−m=−1mxi2−mxi2−m=−1m，
∴ i=14(kPiM⋅kPiN)m=−4m2∈(−1,0)．
故选B．
二、填空题
【答案】
2x−y+2=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=ex+sinx+1，
所以f′(x)=ex+csx，f′(0)=2，
所以曲线fx在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+2，
即2x−y+2=0．
故答案为：2x−y+2=0．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为Sn+1+Sn=12an+1
=12(Sn+1−Sn)
=12(Sn+1+Sn)(Sn+1−Sn)，
所以Sn+1−Sn=2.
因为a2=8a1，
所以S2−S1=a1+a2−a1
=9a1−a1=2a1=2，
所以S1=a1=1，
因此数列{Sn}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以Sn=1+2n−1=2n−1，
即Sn=2n−12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−12−2n−32=8n−8，
所以an=1,n=1,8n−8,n≥2.
(2)由(1)知Sn=2n−12，
所以bn=2n−12+2n+124n2−1
=8n2+24n2−1
=2+42n−12n+1
=2+212n−1−12n+1，
所以Tn=2n+21−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=2n+21−12n+1
=2n+4n2n+1=4n2+6n2n+1．
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为Sn+1+Sn=12an+1
=12(Sn+1−Sn)
=12(Sn+1+Sn)(Sn+1−Sn)，
所以Sn+1−Sn=2.
因为a2=8a1，
所以S2−S1=a1+a2−a1
=9a1−a1=2a1=2，
所以S1=a1=1，
因此数列{Sn}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以Sn=1+2n−1=2n−1，
即Sn=2n−12，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−12−2n−32=8n−8，
所以an=1,n=1,8n−8,n≥2.
(2)由(1)知Sn=2n−12，
所以bn=2n−12+2n+124n2−1
=8n2+24n2−1
=2+42n−12n+1
=2+212n−1−12n+1，
所以Tn=2n+21−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=2n+21−12n+1
=2n+4n2n+1=4n2+6n2n+1．
【答案】
(1)证明：过点P作AB延长线的垂线，垂足为D．连接CD，
由△PBD≅△CBD，得CD⊥AB，
所以∠PDC是二面角P−AB−C的平面角.
因为∠PBA=∠CBA=2π3，AB=BC=BP=2，
所以PD=PB⋅sinπ3=3，CD=BC⋅sinπ3=3.
因为PC=6 ，
所以PD2+DC2=PC2，
所以∠PDC=π2，
所以平面PAB⊥平面ABC．
(2)由(1)知△ABC的面积
S1=12×AB×CD=12×2×3=3，
所以三棱锥P−ABC的体积
V1=13×PD×S1=13×3×3=1.
因为PB=BC=2，PC=6，
所以△PBC的边PC上的高为22−622=102，
所以△PBC的面积S=12×6×102=152.
设点A到平面PBC的距离为ℎ，
则三棱锥A−PBC的体积V2=13ℎ×152=15ℎ6，
由V2=V1，得15ℎ6=1，
解得ℎ=615=2155，
所以点A到平面PBC的距离为2155．
【考点】
平面与平面垂直的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：过点P作AB延长线的垂线，垂足为D．连接CD，
由△PBD≅△CBD，得CD⊥AB，
所以∠PDC是二面角P−AB−C的平面角.
因为∠PBA=∠CBA=2π3，AB=BC=BP=2，
所以PD=PB⋅sinπ3=3，CD=BC⋅sinπ3=3.
因为PC=6 ，
所以PD2+DC2=PC2，
所以∠PDC=π2，
所以平面PAB⊥平面ABC．
(2)由(1)知△ABC的面积
S1=12×AB×CD=12×2×3=3，
所以三棱锥P−ABC的体积
V1=13×PD×S1=13×3×3=1.
因为PB=BC=2，PC=6，
所以△PBC的边PC上的高为22−622=102，
所以△PBC的面积S=12×6×102=152.
设点A到平面PBC的距离为ℎ，
则三棱锥A−PBC的体积V2=13ℎ×152=15ℎ6，
由V2=V1，得15ℎ6=1，
解得ℎ=615=2155，
所以点A到平面PBC的距离为2155．
【答案】
解：(1)根据题意，2×2列联表如下：
则K2=10060×10−20×10270×30×80×20≈4.762>3.841．
所以有95%的把握认为该校男生更喜欢通过蚂蚁森林
获得2020年度全民义务植树尽责证书．
(2)这6位同学浇水量的平均数为
18+22+20+28+17+336=23，
方差为16[18−232+22−232+20−232
+28−232+17−232+33−232]=983．
【考点】
独立性检验
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意，2×2列联表如下：
则K2=10060×10−20×10270×30×80×20≈4.762>3.841．
所以有95%的把握认为该校男生更喜欢通过蚂蚁森林
获得2020年度全民义务植树尽责证书．
(2)这6位同学浇水量的平均数为
18+22+20+28+17+336=23，
方差为16[18−232+22−232+20−232
+28−232+17−232+33−232]=983．
【答案】
解：(1)圆D：x2+y2−8x+2my+m−9=0，
即x−42+y+m2=25，
圆心D4,−m在抛物线C上，且|DF|=5，
由抛物线定义，得4+p2=5，
所以p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x．
把D4,−m代入y2=4x，
解得m=16．
(2)设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN方程为x=ty+b，
联立x=ty+b，y2=4x，得y2−4ty−4b=0.
因为Δ=16t2+b>0，
所以y1+y2=4t，y1y2=−4b，
DM与DN斜率之和为y1+4x1−4+y2+4x2−4
=y1+4y124−4+y2+4y224−4=4y1−4+4y2−4=−1，
所以y1y2=16=−4b，
解得b=−4，
代入x=ty+b，得x=ty−4，直线MN经过定点−4,0，
所以直线MN过定点−4,0 ．
【考点】
圆锥曲线的综合问题
抛物线的定义
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)圆D：x2+y2−8x+2my+m−9=0，
即x−42+y+m2=25，
圆心D4,−m在抛物线C上，且|DF|=5，
由抛物线定义，得4+p2=5，
所以p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x．
把D4,−m代入y2=4x，
解得m=16．
(2)设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN方程为x=ty+b，
联立x=ty+b，y2=4x，得y2−4ty−4b=0.
因为Δ=16t2+b>0，
所以y1+y2=4t，y1y2=−4b，
DM与DN斜率之和为y1+4x1−4+y2+4x2−4
=y1+4y124−4+y2+4y224−4=4y1−4+4y2−4=−1，
所以y1y2=16=−4b，
解得b=−4，
代入x=ty+b，得x=ty−4，直线MN经过定点−4,0，
所以直线MN过定点−4,0 ．
【答案】
解：(1)因为fx=x2lnx−12−2axlnx−1，
所以f′x=2xlnx−12+x2⋅1x−2alnx−1−2ax⋅1x
=2x−alnxx>0，
①当a≤0，x∈0,1时，f′x<0，fx是减函数，
当x∈1,+∞时，f′x>0，fx是增函数；
②当0当x∈0,a或x∈1,+∞时，f′x>0，fx是增函数；
③当a=1时，f′x≥0，fx在0,+∞上是增函数；
④当a>1，x∈1,a时，f′x<0，fx是减函数，
当x∈0,1或x∈a,+∞时，f′x>0，fx是增函数．
综上可得，当a≤0时，fx在0,1上是减函数，在1,+∞上是增函数；
当0当a=1时，fx在0,+∞上是增函数；
当a>1时，fx在1,a上是减函数，在0,1，a,+∞上是增函数．
(2)由(1)知，当1fx在1,a上是减函数，在0,1，a,+∞上是增函数，
fa=a2lna−12−2a2lna−1=a232−lna
=a232−lna.
因为10，fa>0，
所以fx在1,+∞上没有零点.
fx=x2lnx−12−2axlnx−1
=xx−2alnx+2a−12x，
当1x−2a<0，lnx<0，2a−12x>0，
所以fx>0，
所以fx在0,1上没有零点．
综上可得，当1【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx=x2lnx−12−2axlnx−1，
所以f′x=2xlnx−12+x2⋅1x−2alnx−1−2ax⋅1x
=2x−alnxx>0，
①当a≤0，x∈0,1时，f′x<0，fx是减函数，
当x∈1,+∞时，f′x>0，fx是增函数；
②当0当x∈0,a或x∈1,+∞时，f′x>0，fx是增函数；
③当a=1时，f′x≥0，fx在0,+∞上是增函数；
④当a>1，x∈1,a时，f′x<0，fx是减函数，
当x∈0,1或x∈a,+∞时，f′x>0，fx是增函数．
综上可得，当a≤0时，fx在0,1上是减函数，在1,+∞上是增函数；
当0当a=1时，fx在0,+∞上是增函数；
当a>1时，fx在1,a上是减函数，在0,1，a,+∞上是增函数．
(2)由(1)知，当1fx在1,a上是减函数，在0,1，a,+∞上是增函数，
fa=a2lna−12−2a2lna−1=a232−lna
=a232−lna.
因为10，fa>0，
所以fx在1,+∞上没有零点.
fx=x2lnx−12−2axlnx−1
=xx−2alnx+2a−12x，
当1x−2a<0，lnx<0，2a−12x>0，
所以fx>0，
所以fx在0,1上没有零点．
综上可得，当1【答案】
解：(1)当x<0时，fx>2|x|，
即x<0,x2+x−2>−2x,
解得x<−3+172；
当0≤x≤2时，fx>2|x|等价于0≤x≤2,x2+x−2>2x,解集为⌀；
当x>2时，fx>2|x|等价于x>2,x2−x+2>2x,
解得x>2，
所以不等式fx>2|x|的解集为(−∞,−3+172)∪(2,+∞)．
(2)当x≤2时，fx=x2+x−2=x+122−94≥−94，
当x=−12时取等号；
当x>2时，fx=x2−x+2>4−2+2=4，
所以fx的最小值为−94，
若存在x0∈R，使得fx≤a+b，
所以0>a+b≥−94.
因为−a+−b≥2−a−b=2ab，
所以2ab≤94，
即ab≤8164，
当且仅当a=b=−98时取等号，
所以ab的最大值为8164．
【考点】
绝对值不等式
基本不等式在最值问题中的应用
不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当x<0时，fx>2|x|，
即x<0,x2+x−2>−2x,
解得x<−3+172；
当0≤x≤2时，fx>2|x|等价于0≤x≤2,x2+x−2>2x,解集为⌀；
当x>2时，fx>2|x|等价于x>2,x2−x+2>2x,
解得x>2，
所以不等式fx>2|x|的解集为(−∞,−3+172)∪(2,+∞)．
(2)当x≤2时，fx=x2+x−2=x+122−94≥−94，
当x=−12时取等号；
当x>2时，fx=x2−x+2>4−2+2=4，
所以fx的最小值为−94，
若存在x0∈R，使得fx≤a+b，
所以0>a+b≥−94.
因为−a+−b≥2−a−b=2ab，
所以2ab≤94，
即ab≤8164，
当且仅当a=b=−98时取等号，
所以ab的最大值为8164．月份
1∼2
1∼3
1∼4
1∼5
1∼6
月份代码x
1
2
3
4
5
累计利润率y%
3.54
3.94
4.45
5.00
5.42
男生
女生
合计
获得2020年度全民义务植树尽责证书
未获得2020年度全民义务植树尽责证书
合计
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
获得2020年度全民义务植树尽责证书
60
20
80
未获得2020年度全民义务植树尽责证书
10
10
20
合计
70
30
100
男生
女生
合计
获得2020年度全民义务植树尽责证书
60
20
80
未获得2020年度全民义务植树尽责证书
10
10
20
合计
70
30
100

2020-2021学年陕西省榆林市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版

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